湖南省岳阳市岳阳县2024-2025学年高二上学期入学考试数学试题含答案

2024年高二秋季数学入学试题试题（答案在最后）
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1.直线3y =+的倾斜角为（
）A.30° B.60° C.120° D.150°
2.若复数z 满足：(1i)3i 0z --+=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.设点()3,3A -，()2,2B --，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（
）
A.1k ≥或4
k ≤- B.1k ≥或2k ≤-C.41k -≤≤ D.21k -≤≤4.在三棱锥P ABC -中，2PA PB PC ===，,,,PA PB PA PC PB PC ⊥⊥⊥则该三棱锥的外接球的表面积为（
）
A. B.12π
C.48π
D.5.过点()1,4A 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（
）A.30
x y -+= B.50x y +-=C.40x y -=或50x y +-= D.40x y -=或30
x y -+=6.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin sin 5sin b B a A c C -=，1cos 2A =，则b c
=（
）A.6
B.5
C.4
D.37.如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若12AB =，则该模型中一个小球的体积为（）
A.3π
B.3π
2 C.6π D.96π
16
8.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为70 ，P 为空间内一定点，过点P 作与平面,αβ所成的角都是35 的直线l ，则这样的直线l 有且仅有（）
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9.已知,a b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，下列命题中正确的是（
）A.若//,//a b b α，则//a α
B.若,//a ααβ⊥，则a β
⊥C.若αβγγ⊥⊥，，则//αβ
D.若,//αββγ⊥，则αγ
⊥10.已知0a >，0b >，且2a b ab +=，则（
）A .8ab ≥ B.32
a b +≤+C.2
b > D.1a >11.若,Ox Oy 是平面内两条相交成60︒角的数轴，1e 和2e 是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量
12f xe ye =+u r u r u r ，则规定有序数对(,)x y 为向量f u r 在坐标系xOy 中的坐标，记作(,)f x y =u r ，设(1,1),(1,1),a b ==-r r (2,2),(2,3),c d ==r u r 则（
）A.2a = B.//a c r r C.a b ⊥ D.12
b d ×=r u r 12.数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，且其体积小于正四面体外接球体积．如图，在勒洛四面体中，正四面体ABCD 的棱长为4，则下列结论正确的是（）
A.勒洛四面体最大的截面是正三角形
B.若P 、Q 是勒洛四面体ABCD 表面上的任意两点，则PQ 的最大值可能大于4
C.勒洛四面体ABCD 的体积是6π
D.勒洛四面体ABCD 内切球的半径是46
-三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13.sin160cos 40sin 250cos50-o o o o =_____________.
14.若直线()210mx m y ++-=与直线()10m x my -+=互相垂直，则m =__________.
15.正四棱锥P ABCD -中，4PA AB =
=，,E F 为棱,PB PD 的中点，则异面直线,AE BF 所成角的余
弦值为________.
16.命题p ：“[]22,8log 10x m x ∃∈+≥，”是真命题，则实数m 的取值范围为________________.四．解答题（共6小题，70分）
17.已知ABC V 的三个顶点是()1,2A ，()2,1B --，()3,2C -.求：
（1）边AC 上的中线BD 所在直线方程；
（2）边AC 上的高BE 所在直线方程.
18.如图，在ABC V 中，2π3,4,,1,23
AB AC BAC AE AF ==Ð=
==，D 为BC 的中点，AD 与EF 交于G 点.设AB a =，AC b = .
（1）试用,a b 表示BG ；
（2）求cos ,AG BG 〈〉
.
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形.
（1）若点E 是PD 的中点，证明：PB ∥平面ACE ；
（2）若PA PD AD ==，120BAD ∠= ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角P AC D --的正弦值.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，3,2,11,2AB AD PC PA ====E 为AD 的中点，点F 在棱PB 上．
（1）若13
PF PB =，求三棱锥P FAC -的体积；（2）在线段PB 上是否存在点F ，使得EF ∥平面PCD ？若存在，求:PF PB 的值，若不存在，请说明理由．
21.甲、乙、丙、丁4名棋手进行围棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“胜者i ”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为34
，而乙，丙、丁相互之间胜负的可能性相同.
（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率；
（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
22.如图，在ABC V 中，2AB AC =，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，AD kAC =．
（1）求k的取值范围；
V面积为1，当线段BC最短时，求实数k．（2）已知ABC
2024年高二秋季数学入学试题试题一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】B
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】C
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】BCD
【12题答案】
【答案】BD
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】【答案】0或1
2-
【15题答案】
【答案】15
【16题答案】
【答案】[)
1,-+∞四．解答题（共6小题，70分）
【17题答案】
【答案】（1）420
x y --=（2）20
x y -=【18题答案】
【答案】（1）4155
BG a b =-+ ；（2）1cos ,26
AG BG =-uuu r uu u r .【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）5
【20题答案】【答案】（1）
13；（2）存在，1:2.
【21题答案】
【答案】（1）
38
（2）81128
（3）37 128
【22题答案】
【答案】（1）
4 0,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭
（2）
5
k=．。