2020届浙江省杭州市上学期高三年级期末教学质量检测(一模)数学试题(解析版)

2019学年杭州市高三期末教学质量统一检测卷试题
一､选择题
1.设集合{}|2A x x =>，()(){}
|130B x x x =--<，则A B =I （ ） A. {}|1x x > B. {}|23x x <<
C. {}3|1x x <<
D. {}|2,1x x x ><
【答案】B 【解析】 【分析】
求出集合B ，然后可求A B I .
【详解】{}|13B x x =<<，{}|23A B x x =<<I ， 故选：B.
【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题.
2.双曲线2
214
x y -=的离心率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
双曲线2214x y -=中，22222
4,1,5,2
a b c a b e ==∴=+=∴== 本题选择C 选项.
3.已知a →,b →
为非零向量，则“•0a b >r r
”是“a →与b →夹角为锐角”的（ （
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
根据向量数量积的定义式可知，若0a b ⋅>r r ，则a r 与b r 夹角为锐角或零角，若a r 与b r
夹角为锐角，则一定有0a b ⋅>r r ，所以“0
a b ⋅>r r ”是“a r 与b r
夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.
4.若,x y 满足0,
{1,
0,
x y x x y +≥≥-≥则下列不等式恒成立的是（ ）
A. 1y ≥
B. 2x ≥
C. 20x y +≥
D. 210x y -+≥
【答案】D 【解析】
试题分析：作出不等式所表示的平面区域，显然选项A ，B 错；由线性规划易得的取值范围为，
故
不成立；在B 处取得最小，故
考点：线性规划
5.设正实数x ，y 满足()
y
x y x
e e e
⋅=，则当x y +取得最小值时，x =( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】 【分析】 由()
y
x
y
x e e e
⋅=可得x y xy +=，再利用基本不等式求最值，整理计算即可.
【详解】(
)
y
x
y
x x e e y xy e
⇒+=⋅≥=x y =时，等号成立，
222x x x ∴=⇒=.
故选：B.
【点睛】本题考查基本不等式求最小值，注意等号的成立条件，是基础题
.
6.已知随机变量ξ
取值为()0,1,2i i =.若()1
05
P ξ==
，()1E ξ=，则( ) A. ()()1P D ξξ=< B. ()()1P D ξξ==
C. ()()1P D ξξ=>
D. ()()1
15
P D ξξ==
【答案】C 【解析】 【分析】
设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】设()1P x ξ==， 则()425P x ξ==
-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫
=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭
，
解得()315P ξ==，()1
25P ξ==， 则()()()()222
13120111215555
D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，
故()()1P D ξξ=>， 故选：C.
【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
7.下列不可能．．．
是函数()()()2
2a
x
x x a Z f x -=+∈的图象的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C 【解析】 【分析】
的
对a 取特殊值，代入分析函数()f x 的定义域、奇偶性以及单调性，利用排除法即可得答案. 【详解】当0a =时，
()()()220x x f x x -=+≠，偶函数，在()0,∞+上单调递增，图像如选项A 所示（
当1a =-时，
()()220x x x f x x -+=≠，奇函数，()()()()222ln 22'20x x x x f x x x x
----+=≠，在()0,∞+上，当0x →时，(
)22
ln 20x x
x --→，()2
2x
x -+→+∞，此时()'0f x <，当x →+∞时，
()()2
2ln 2222ln 22x
x x x x x x x ----+→-，此时()'0f x >，故()f x 先减后增，图像如选项B 所示（
当2a =-时，
()()2220x x x f x x -+=≠，为偶函数，()()()()322ln 22'20x x x x f x x x x
----+=≠，同样()f x 在()0,∞+上先减后增，图像如选项D 所示， 故选：C.
【点睛】本题考查函数图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的分析，是中档题. 8.若函数()y f x =，()y g x =定义域为R ，且都不恒为零，则( ) A. 若()()
y f g x =为周期函数，则()y g x =为周期函数 B. 若()()
y f g x =为偶函数，则()y g x =为偶函数
C. 若()y f x =，()y g x =均为单调递增函数，则()()y f x g x =⋅为单调递增函数
D. 若()y f x =，()y g x =均为奇函数，则()()
y f g x =为奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】
举例说明A ，B ，C 错误；利用函数奇偶性的定义证明D 正确.
【详解】选项A:()sin f x x =，()2g x x =，()()
sin 2y f g x x ==为周期函数，()2g x x =不是周期函数，故错误（
选项B:()cos f x x =，()2g x x =，()()
cos2y f g x x ==为偶函数，()2g x x =不是偶函数，故错误（
选项C:()f x x =，()2g x x =，()()2
2y f x g x x =⋅=不是单调函数，故错误（
选项D:()()()()()()()()
f g x f g x f g x f g x -=-⇒-=-，所以()()
y f g x =为奇函数，故正确. 故选：D
【点睛】本题考查复合函数的单调性，奇偶性，周期性，通过代入特殊函数，可很快排除错误选项，是基础题.
9.已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线()2
20y px p =>的焦点为2F ，设
两曲线的一个交点为P ，若2
21216
PF F F p ⋅=u u u u r u u u u r ，则椭圆的离心率为( )
A.
12
B.
2
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】
设()00,P x y ，由221216PF F F p ⋅=u u u u r u u u u r ，2p c =，可得02
3
x c =，由椭圆、抛物线焦半径公式可得00x c a ex +=-，
整理可得答案.
【详解】由题意可知2p c =，则抛物线的方程为2
4y cx =，
设不妨设()00,P x y 在第一象限，且有数量积的投影可知()22212012263PF F F c c x p c ⋅=-==u u u u r u u u u r ，则02
3
x c =，
由椭圆的焦半径公式可知20PF a ex =-， 由抛物线的定义20PF x c =+，
则0001a c
x c a ex x e -+=-⇒=
+， 所以02
13
a c x c e -=
=+，即1213e e e -=+，
解得12
e =
. 故选：A.
【点睛】本题考查了椭圆、抛物线的性质，运用焦半径公式计算使得解题过程简化，属于中档题. 10.已知非常数列{}n a 满足()*12n n
n a a a n N αβαβ
+++=
∈+，若0αβ+≠，则( ) A. 存在α，β，对任意1a ，2a ，都有{}n a 为等比数列 B. 存在α，β，对任意1a ，2a ，都有{}n a 为等差数列 C. 存在1a ，2a ，对任意α，β，都有{}n a 为等差数列 D. 存在1a ，2a ，对任意α，β，都有{}n a 为等比数列 【答案】B 【解析】 【分析】
本题先将递推式进行变形，然后令t β
αα=
+，根据题意有常数0t ≠，且1t ≠，将递推式通过换元法简化
为21(1)n n n a ta t a ++=+-，两边同时减去1n a +，可得()211(1)n n n n a a t a a +++--=-，此时逐步递推可得
()1121(1)n n n a a t a a -+∴-=--.根据题意有210a a -≠，则当2t =，20αβ+=时，可得到数列{}n a 是一
个等差数列，由此可得正确选项. 【详解】解：由题意，得112n n
n n n a a a a a αβαβαβαβαβ++++=
=++++.
令t β
αα=
+，则
1t βαβ
=-+，
,αβQ 为非零常数且0αβ+≠，
,1t t ∴-均为非零常数，
∴常数0t ≠，且1t ≠. 故21(1)n n n a ta t a ++=+-. 两边同时减去1n a +，可得
()21111(1)(1)n n n n n n n a a ta a t a t a a +++++-=-+---=，
∵常数0t ≠，且1t ≠，
0t ∴≠，且10t -≠.
()(()21111221(1)(1))(1)n n n n n n n a a t a a t a a t a a -+---∴-=--=--=⋯=--，
∵数列{}n a 是非常数数列，
210a a ∴-≠，
则当11t -=，即2t =，即
2ααβ
=+，即20αβ+=时，
111221n n n n n n a a a a a a a a +----=-=-=⋯=-.
此时数列{}n a 很明显是一个等差数列.
∴存在,αβ，只要满足,αβ为非零，且20αβ+=时，对任意12,a a ，都有数列{}n a 为等差数列. 故选：B.
【点睛】本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列的基本性质，换元法的应用，逻辑思维能力和数学运算能力，是一道难度较大的题目.
二､填空题
11.设复数z 满足()12i z i +⋅=(i 为虚数单位)，则z =______，z =______.
【答案】 (1). 1i + (2).
【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.
【详解】由题意得()()()
2121111i i i z i i i i ⋅-=
==+++⋅-，z =
故答案为（1i +.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.
12.已知二项式()6
0a x a x ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭的展开式中含2x 的项的系数为15，则a =______，展开式中各项系数和等
于______.
【答案】 (1). 1 (2). 64 【解析】 【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式，求出a 的值，再令x ＝1，可得展开式中各项系数和.
【详解】由题意得662166r
r r r
r r r a T C x C a x x --+⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭，
取2r =，则222
36T C a x =⋅， 则22
615C a ⋅=，又0a >，
解得1a =（
令1x =，则各项系数和为6
14116⎛⎫ ⎪⎭
=+⎝. 故答案为（1（64.
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题. 13.在ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 边交于点D ，sin 2sin C B =，则BD
CD
=______;若1AD AC ==，则BC =______.
【答案】 (1). 2 (2). 2
【解析】 【分析】
第一空，根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求出
BD
CD
的值； 第二空，由余弦定理列出方程，即可求得BD 、CD 和BC 的值. 【详解】由题意sin 2sin C B =，得到2c b =，由角平分线定理，得到2BD AB c
DC AC b
===（ 因为1AD AC ==，则2AB =， 令2BD t =，则CD t =， 由cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，
得到（2241411022121t t t t
+-+-+=⋅⋅⋅⋅，
解得2
t =
，
则32
BC t ==
，
故答案为：2；
2
.
【点睛】本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题.
14.已知函数()210
cos 0
x x f x x x π⎧-≤=⎨
>⎩，则()()2019f f =______;若关于x 的方程()0f x a +=在(),0-∞内有唯一实根，则实数a 的取值范围是______. 【答案】 (1). 0 (2). 11,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
【解析】 【分析】
推导出()()20190f f =，作出函数()210
cos 0
x x f x x x π⎧-≤=⎨>⎩的图象，结合图形，能求出实数a 的取值范围.
【详解】()()()()2019cos201910f
f f f π==-=，
()f x 图象如图，
设()f x 与x 轴从左到右的两个交点分别为()1,0A -､1,02B ⎛⎫
⎪⎝⎭
， ()f x a +与()f x 的图象是平移关系，
由图可知，11,2
a ⎛⎤∈- ⎥⎝
⎦
，
即实数a 的取值范围是11,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
.
故答案为：0；11,2
⎛⎤- ⎥⎝
⎦
.
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
15.在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，那么共有______种不同的志愿者分配方案.(用数字作答) 【答案】21 【解析】 【分析】 由题意可以分
四类，根据分类计数原理可得．
【详解】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C 项目，乙只能参见A 项目，B 项目有3种方法，
若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C 项目，A ，B 项目，有2
36A =种方法， 若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A 项目，B ，C 项目，有2
36A =种方法， 若甲不参加，乙不参加，有3
36A =种方法，
根据分类计数原理，共有366621+++=种． 故答案为21.
【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题．
16.已知函数()3
9f x x x =-，()()2
3g x x a a R =+∈，若方程()()f x g x =有三个不同实数解1x ，2x ，
3x ，且它们可以构成等差数列，则a =______.
【答案】11-
【解析】
【分析】
问题等价为函数()3239F x x x x a =---有三个不同零点，设12x x d =-，32x x d =+，则
()()()()222F x x x d x x x x d =----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，展开，利用系数相等列方程组求a 的值.
【详解】令()()()32
39F x f x g x x x x a =-=---，则()0F x =有三个不同的实数解成等差数列即12x x d =-，32x x d =+，
()()()()222F x x x d x x x x d =----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()322232222233x x x x d x x x d =-+--+
即2222322
23339x x d x x d a -=-⎧⎪-=-⎨⎪-+=-⎩，得（11a =-
故答案为：11-.
【点睛】本题考查方程的根与函数的零点的关系，根据根与系数的关系设()()()()123F x x x x x x x =---是关键，考查了学生计算能力，属于中档题.
17.在平面凸四边形ABCD 中，2AB =，点M ，N 分别是边AD ，BC 的中点，且32
MN =
，若()32MN AD BC ⋅-=u u u u r u u u r u u u r ，则AB CD ⋅=u u u r u u u r ______. 【答案】2-
【解析】
【分析】
取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值.
【详解】解：取BD 的中点O ，连接OM ，ON ，
可得1()
2MN MO ON AB DC =+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r ， 平方可得()()
2222119242444MN AB DC AB DC DC AB DC =++⋅=++⋅=u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， .
即有25122AB DC DC ⋅=-u u u r u u u r u u u r ，3()2MN AD BC ⋅-=u u u u r u u u r u u u r ， 即有1()()2AB DC AB BD BC +⋅+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()
2221113()()42222
AB DC AB CD AB CD CD =+⋅+=-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 解得21CD =u u u r ， 所以2151522222AB CD DC ⋅=-=-=-u u u r u u u r u u u r ， 故答案为：−2.
【点睛】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题. 三､解答题
18.已知函数()()22sin cos 3f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝
⎭. (1)求()f x 的最小正周期;
(2)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的值域.
【答案】(1)π;(2)1,24⎡-⎢⎣⎦
【解析】
【分析】
（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式1()sin 226f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，再根据正弦函数的周期性，得出结论.
（2）由,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得52,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而利用正弦函数的性质可得最值.
【详解】(1)()22sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭Q 2
21sin cos 22x x x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
22231sin sin cos cos 424
x x x x x =-+-
()221cos sin 2sin cos 44x x x x =--+
12cos244
x x =- 1sin 226x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭. 所以2T π
πω==（
(2)因为,34x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦，所以52,663x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦. 当262x ππ-
=-时，即6x π=-时，min 12f =-，
当263x π
π-=，即4x π
=时，max 4
f =.
所以()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为12⎡-⎢⎣⎦
. 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题. 19.已知函数()2
12f x x k x =+--. (1)当1k =时，求函数()f x 的单调递增区间;
(2)若2k ≤-，试判断方程()1f x =-的根的个数.
【答案】(1)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
;(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）写出1k =时的函数解析式，分别讨论各段的单调增区间即可得()f x 的单调增区间；
（2）解出各段上函数的解析式，再结合k 的取值范围得到方程根的个数. 【详解】(1)1k =时，()22
23,1121,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥=+--=⎨--<⎩，
∵23y x x =+-在[)1,+∞上单调递增，21y x x =--在1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递增， ∴()f x 的单调递增区间为1
,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
（
(2)显然，1x =为方程()1f x =-的根，另外
当1x >时，由()1f x =-得210x kx k +--=，即()()110x x k -++=，∴1x k =--，
当1x <时，由()1f x =-得210x kx k -+-=，即()()110x x k -+-=，∴1=-x k ，
故当2k <-时，1111k k -->⎧⎨-<⎩
，方程有三个不等根， 当2k =-时，11131
k k --=⎧⎨-=-<⎩，方程有两个不等根.
【点睛】本题考查函数单调区间的求法，考查方程根的个数，分类讨论是关键，属于中档题.
20.如图，在ABC ∆中，23
BAC π∠=，3AD DB =u u u r u u u r ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r ，若ABC ∆
的面积为
(1)求m 的值;
(2)求AP u u u r 的最小值.
【答案】(1)
13;(2)43 【解析】
【分析】 （1）建立如图所示直角坐标系，设AC b =，AB c =，求出CD uuu r ，PD u u u r 的坐标，可知由C ，P ，D 三点
共线，即//CD PD u u u r u u u r ，列方程即可求出m 的值；
（2）由(1)得2AP uuu r ，由面积可得8bc =，利用基本不等式可得最小值.
【详解】(1)建立如图所示直角坐标系，设AC b =，AB c =，
则(),0B c ，2b C ⎛- ⎝⎭
，
由3AD DB =u u u r u u u r 得3,04c D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
故3,422c b CD ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u r ， 由12AP mAC AB =+u u u r u u u r u u u r
得22c bm P ⎛- ⎝⎭
，
所以,42c bm PD ⎛=+ ⎝
⎭u u u r ， 因为C ，P ，D 三点共线，所以//CD PD u u u r u u u r ，
所以304242c b c bm ⎛⎛⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭， 解得13
m =.
(2)由(1)
得,266c b P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
，
因12sin 234
ABC S bc π∆=== 所以8bc =，
所以2
22224266943c b AP b c ⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u
r 4433≥=， 所以min 43AP =u u u r
，当且仅当b =
c =时取得等号. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角形面积公式，属于中档题.
21.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2a 是1a 与4a 的等比中项，612a =，11221a b a b ==.
(1)求n a ，n S 与n T ;
(2)
若n c =:()1222
n n n c c c +++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)2n a n =，()1n S n n =+，112n n T =-
;(2)见解析 【解析】
【分析】
（1）由题意得，2214a a a =，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n
项和可求，再将12,a a 代入11221a b a b ==，利用等比数列通项公式求出1b ，q ，进而可得n T ；
（2）由
n c =，结合10112n
⎛⎫<-< ⎪⎝⎭
恒成立，即
可得
到12n c n <<=+，结合等差数列的前n 项和公式即可证明()1222
n n n c c c +++⋅⋅⋅+<. 【详解】(1)根据定义求解.
由题易知()()2111135120a d a a d a d d ⎧+=+⎪+=⎨⎪≠⎩
解得122a d =⎧⎨=⎩， 故()112n a a n d n =+-=，()()112n n a a n S n n +==+，
1122111241a b a b b b q ==⇒==解得112b =
，12q =， 则1112n n n b b q -==，()11112
n n n b q T q -==--，n N +∈. (2)由题可知
n c =10112n ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭
，
12n <+， 121(1)1(2)1232222
n n n n n c c c n n n ++∴++⋯+<+++++=+=L ， 即()1222
n n n c c c ++++<L 成立.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题.
22.设函数()x
f x e ax =+，a R ∈. (1)若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围;
(2)若对任意的[)0,x ∈+∞均有()22
23f x x a +≥+，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(),e -∞-
;(2)ln 3⎡-⎣
【解析】
【分析】
（1）()f x 零点即为方程x
e a x
-=的根，设()x e g x x =，利用导数研究()g x 的单调性，画出()g x 的图像，通过图像可得结果；
（2）表示出()()22
23F x f x x a =+--，求出其导数，构造函数，再利用导数判断出()F x 单调区间，进而求出a 的取值范围
【详解】(1)()f x 的零点即为方程x
e a x
-=的根， 设()x
e g x x =，则()()'21x e x g x x
⋅-=， 则当1x ≥时，()'0g x ≥，当0x <或01x <<时，()'
0g x ≤. 因此()g x 在(),0-∞上单调递减，在(]0,1上单调递减，在[
)1,+∞上单调递增，
且()lim 0x g x →-∞=，()0lim x g x -→=-∞，()0
lim x g x +→=+∞，()lim x g x →+∞=+∞， 从而()g x 的大致草图如下: 的
由此要使得方程x
e a x
-=有两个不同实根，则()1a g e ->=，即a e <-. 综合上述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为(),e -∞-（
(2)设()()()2222
232230x F x f x x a e x ax a x =+--=-+-+≥，下面我们通过讨论()F x 的单调性求解()F x 的最小值()min F x ，并保证()min 0F x ≥.
由于()'222x F x e x a =-+，()''220x F x e =-≥，
则()'
F x 在[)0,+∞上单调递增， 从而()())''0,F x F ⎡∈+∞⎣，即()[)'
22,F x a ∈++∞. ①当220a +≥，即1a ≥-时，()'
0F x ≥，故()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()2
min 050F x F a ==-≥，从而1a -≤≤
②当220a +<，即1a <-时，则()'F x 在[)0,+∞上存在唯一零点0x ，则当00x x ≤≤时，()'0F x ≤;当
0x x ≥时，()'0F x ≥，
从而()()022000min 223x F x F x e x ax a ==-+-+，考虑到002220x
e x a -+=， 从而()()022
000min 223x F x F x e x ax a ==-+-+220002223x a x ax a =--+-+ ()()()2002131x a x a a =-++-+-()()00310x a x a =-++-+≥，
即013a x a -≤≤+.
由于0x 是单调递增函数()'222x
F x e x a =-+在[)0,+∞上的唯一零点， 要使得()0131a x a a -≤≤+<-，则只需003x a ≤≤+，
故只需保证()()'3322320a F a e a a ++=-++≥，即33a e +≥，
故实数ln331a -≤<-.
综合上述，满足条件的实数a 的取值范围为ln 3⎡-⎣.
【点睛】本题考查函数导数求单调区间，考查参数的取值范围，综合性较强，属于难题.。