矩阵知识点归纳

矩阵知识点归纳
(一)二阶矩阵与变换
1．线性变换与二阶矩阵
在平面直角坐标系xOy 中，由(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表b ,c d ))称为二阶矩阵，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．
2．矩阵的乘法
行矩阵[a 11a 12]与列矩阵的乘法规则为[a 11a 12]＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵b ,c d ))与列矩阵的乘法规则为
3(1)(2)(3) －1))；若关于y M 3＝0, 0(4)(5)；
(6)，若沿y
4α＋β＝.
(1)α)＝λMα，②M (α＋(2)(二)1(1)可逆．并且称σ是(2)阵A (3)(A －1．
(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1.
(5)已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C .
(6)对于二阶可逆矩阵A ＝b ,c d ))(ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝－b ad －bc ,－c ad －bc a ad －bc
)). 2．二阶行列式与方程组的解
对于关于x ，y 的二元一次方程组我们把b ,c d ))称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A )＝b ,c d ))＝ad －bc .
若将方程组中行列式b ,c d ))记为D ，b ,n d ))记为D x ，m ,c n ))记为D y ，则当D ≠0时，方程组的解为
3．二阶矩阵的特征值和特征向量
(1)特征值与特征向量的概念
设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．
(2)特征多项式
设λ是二阶矩阵A ＝b ,c d ))的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则A ＝λ，即也即(*) 定义：设A ＝b ,c d ))是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝－b ,－c λ－d ))＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc 称为A 的特征多项式．
(3)矩阵的特征值与特征向量的求法
如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，即f (λ)＝0，此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可得到一组非零解，于是非零向量即为A 的属于λ的一个特征向量
．
1001M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
：点的变换为(,)(,)x y x y →--变换前后关于原点对称 0110M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
：点的变换为(,)(,)x y y x →变换前后关于直线y x =对称 旋转变换：cos sin sin cos M θ
θθθ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦：逆时针090：0110M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦；顺时针090：0110M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
旋转变化矩阵还可以设为：a b M b a -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦
投影变换： 1000M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上 点的变换为(,)(,0)x y x →
0001M ⎡⎤=⎢⎥
：将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上 101M k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
：把平面上的点沿y 轴方向平移||kx 个单位 点的变换为(,)(,)x y x kx y →+。