2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第二册：第4章 4.3 4.3.1 第1课时 等比

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的比为常数，则该数
列为等比数列．
()
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．
()
(3)常数列一定为等比数列．
()
(4)任何两个数都有等比中项．
()
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数 时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数列 的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时，该 数列才是等比数列；(4)错误，当两数同号时才有等比中项，异号时 不存在等比中项．
合作 探究 释疑 难
等比数列通项公式的基本运算
【例 1】 在等比数列{an}中， (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
[解] 设首项为 a1，公比为 q.
(1)法一：因为aa47＝＝aa11qq36，， 所以aa11qq36＝＝28
①， ②.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
2．下列数列是等比数列的是( )
A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464
C．13，16，19，112，115
D．4，－8，16，－32，64
D [A、B、C 均不满足定义中aan＋n 1＝q，只有 D 满足aan＋n 1＝－2. 故选 D.]
③ ④
④ 由③得
q＝12，从而
a1＝32，
又 an＝1，∴32×12n－1＝1. 即 26－n＝20，所以 n＝6.
法二：因为 a3＋a6＝q(a2＋a5)， 所以 q＝12. 由 a1q＋a1q4＝18，知 a1＝32. 由 an＝a1qn－1＝1，知 nห้องสมุดไป่ตู้6.
1．等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其 中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1 和 q 是等比数列的 基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．
(2)结论：G__叫做 a，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G2＝_a_b__.
思考：当 G2＝ab 时，G 一定是 a，b 的等比中项吗？ [提示] 不一定，如数列 0，0，5 就不是等比数列．
3．等比数列的通项公式
一般地，对于等比数列{an}的第 n 项 an，有公式 an＝__a_1_·q_n_－_1___.
B [∵a1，a3，a4 成等比数列．∴a1a4＝a23，即 a1(a1＋6)＝(a1＋ 4)2，解得 a1＝－8，∴a2＝a1＋d＝－8＋2＝－6.故选 B.]
5．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，则 a3＝________.
8 [由 an＋1＝2an 知{an}为等比数列，q＝2. 又 a1＝2，∴a3＝2×22＝8.]
这就是等比数列{an}的通项公式，其中 a1 为首项，q 为公比．
4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为 an＝aq1·qn，而 y＝aq1·qx(q≠1)是一 个不为 0 的常数aq1与指数函数 qx 的乘积，从图象上看，表示数列aq1·qn
中的各项的点是函数 y＝aq1·qx 的图象上的孤__立__点．
(易错点).
养逻辑推理素养.
情境 导学 探新 知
传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要 奖赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着 国际象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上 一粒麦子，在第二格内放两粒麦子，第三格内放 4 粒，第四格内放 8 粒，……按这样的规律放满 64 格棋盘格．国王反对说，这么一点点 麦子算不上什么赏赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾 尽国家财力还不够支付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个 国家的财力？
第四章 数列
4.3 等比数列 4.3.1 等比数列的概念 第1课时 等比数列的概念及简单表示
学习目标
核心素养
1.理解等比数列的概念(重点). 1.通过等比数列的通项公式及等
2.掌握等比数列的通项公式和等 比中项的学习及应用，体现了数学
比中项及其应用(重点、难点). 运算素养.
3.熟练掌握等比数列的判定方法 2.借助等比数列的判定与证明，培
2．关于 a1 和 q 的求法通常有以下两种方法： (1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法． (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟进训练] 1．在等比数列{an}中， (1)已知 an＝128，a1＝4，q＝2，求 n； (2)已知 an＝625，n＝4，q＝5，求 a1； (3)已知 a1＝2，a3＝8，求公比 q 和通项公式．
② 由①得
q3＝4，从而
q＝3
4，而
a1q3＝2，
2n－5
于是 a1＝q23＝12，所以 an＝a1qn－1＝2 3 .
法二：因为 a7＝a4q3，所以 q3＝4，q＝3 4.
2n－5
所以 an＝a4qn－4＝2·(3 4)n－4＝2 3 .
(2)法一：因为aa23＋＋aa56＝＝aa11qq＋2＋aa1q1q4＝5＝198
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是( )
A．1
B．－1
C．±1
D．2
C [设 2＋ 3和 2－ 3的等比中项为 a， 则 a2＝(2＋ 3)(2－ 3)＝1.即 a＝±1.]
4．已知等差数列{an}的公差为 2，若 a1，a3，a4 成等比数列，则 a2＝( )
A．－4 B．－6 C．－8 D．－10
[解] (1)∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2， ∴4·2n－1＝128， ∴2n－1＝32， ∴n－1＝5，n＝6. (2)∵an＝a1·qn－1＝625，n＝4，q＝5，∴a1＝qan－n 1＝5642－51＝5.
1．等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前
文字 一项的比都等于_同_一__个__常__数__，那么这个数列叫做等比
语言 数列，这个常数叫做等比数列的_公_比__，公比通常用字
母 q 表示(q≠0)
符号 语言
aan＋n 1＝_q_(q 为常数，q≠0，n∈N*)
2.等比中项 (1)前提：三个数 a，G，b 成等比数列．