2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题4.6 正余弦定理(练)

专题4.6 正余弦定理
【基础巩固】
一、填空题
1．(2017·哈尔滨模拟)在△ABC 中，AB ＝
3，AC ＝1，B ＝30°，△ABC 的面积为3
2
，则C ＝________. 【答案】60°
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝23
3，则B ＝________.
【答案】π
6
【解析】∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝23
3，
∴由正弦定理a sin A ＝b
sin B 可得， sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝1
2.
∵A ＝2π3，∴B ＝π
6
.
3．(2017·海门中学月考)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观
察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为________ km.
【答案】3a
【解析】由题图可知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，
得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝3a 2
，解得AB ＝3a (km)．
4．(2017·盐城诊断)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为________． 【答案】直角三角形
5．(2016·山东卷改编)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2
＝2b 2
(1－sin A )，则A ＝________. 【答案】π
4
【解析】在△ABC 中，由b ＝c ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－a 22b
2
，又a 2＝2b 2
(1－sin A )，所以cos A ＝sin A ， 即tan A ＝1，又知A ∈(0，π)，所以A ＝π
4
.
6．(2017·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋2c ＝2b ，sin B ＝2sin C ，则cos A ＝________. 【答案】
24
【解析】由sin B ＝2sin C 结合正弦定理可得b ＝2c ，又a ＋2c ＝2b ，则a ＝2c ，由余弦定理可得cos
A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 2＋c 2－2c 222c
2
＝24.
7．(2015·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1
4，
3sin A ＝2sin B ，
则c ＝________. 【答案】4
【解析】由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，又a ＝2，所以b ＝3，故c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ＝4＋9
－2×2×3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14＝16，所以c ＝4. 8．(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则b
c ＝________.
【答案】1
二、解答题
9．(2016·江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π
4.
(1)求AB 的长；
(2)cos ⎝
⎛⎭⎪⎫A －π6的值．
解 (1)由cos B ＝4
5，B ∈(0，π)，
则sin B ＝1－cos 2
B ＝35
，
又∵C ＝π4，AC ＝6，由正弦定理，得AC sin B ＝AB
sin
π
4
，
即6
3
5
＝
AB
2
2
⇒AB＝5 2.
(2)由(1)得：sin B＝
3
5
，cos B＝
4
5
，sin C＝cos C＝
2
2
，
则sin A＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝
72
10
，
cos A＝－cos(B＋C)＝－(cos B cos C－sin B sin C)＝－
2
10
，则cos
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
A－
π
6
＝cos A cos
π
6
＋sin A sin
π
6
＝
72－6
20
.
10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
【能力提升】
11．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝23，a＋b＝6，
a cos B＋
b cos A
c
＝2cos C，则c＝________.
【答案】2 3
【解析】∵
a cos B＋
b cos A
c
＝2cos C，由正弦定理，
得sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin C cos C ，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝2sin C cos C ，由于0＜C ＜π，sin C ≠0，∴cos C ＝12，∴C ＝π
3
，
∵S △ABC ＝23＝12ab sin C ＝3
4ab ，∴ab ＝8，又a ＋b ＝6，⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝4
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝2，
c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4
＋16－8＝12，∴c ＝2 3.
12．(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 【答案】8
【解析】在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )， 由已知，sin A ＝2sin B sin C ，
13．(2017·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km 2
.
【答案】6－3
4
【解析】如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2
－2AB ·BC ·cos B ＝
3，故∠ACB ＝90°，∠CAB
＝30°，∠DAC ＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠DCA ，即AD ＝AC sin ∠DCA
sin ∠ADC
＝
3·
6－2
4
12
＝
32－6
2
， 故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2
)．
14．(2017·苏北四市调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos(B －C )＝1－cos A ，且b ，a ，c 成等比数列． (1)求sin B ·sin C 的值； (2)求A ；
(3)求tan B ＋tan C 的值．。