4.3定积分的简单应用

ቤ������������
������ = ������ ������
例2 一个半径为1的球可以看成是曲线������ = ������ − ������������与x 轴围成的区域绕x轴旋转一周得到了球，求球的体积.
y ������ = ������ − ������������
-1 O
������
������������ = ������ ������




课堂小结
旋转体的体积
������
������ = ������ න [������(������)]������ ������������
������
������ = ������
������
������
= න ( ������ − ������) ������������ + න (������ − ������) ������������
O ������ ������
x
������
������
������ ������ ������ = ������ − ������
=−
������ ������
������������
−
������������
ቤ������������ +
������ ������
������������
−
������������
ቤ������������
������ ������ = ������ + ������
������ = ������
������ = ������������ + ������������ + ⋯ + ������������
������
������ = න ������(������) ������������
������
������������ = ������������������������∆������������ ≈ ������������������(������������)∆������������
2x )dx= . 4
y
( 1, 1) 2
y2=2x
2x ห้องสมุดไป่ตู้2=0
o1
x
2
2
(2, 2)
§4.3.2 简单几何体的体积
由 y = f(x), y = 0, x = a, x = b 所围成的图形
绕 x 轴旋转一周，得一旋转体 求旋转体的体积 V
y
y = f (x)
������������ ≈ ������(������������) y
4
0
2xdx (x 4)dx 4
=
22 3
3
x2
|80
( 1 2
x2

4x)
|84 =
40 3
变式：求由抛物线 y2=2x 及直线 2x y2=0所围图形的面积。
解：解方程组

y2=2x
2x y2=0
得交点为( 1 ，1)，(2，-2)。 2
1
2
2
9
A=2 0
2xdx 1 (22x 2
������
������ = ������ න [������(������)]������ ������������
O
������
x
������
������
= ������ න ������������ ������������
������
=
������ ������
������������������
O1 2
x
������ = ������ න (������������)������ ������������
������������
= ������ න ������������ ������������
������
=
������ ������
������������������
ቤ������������
−y������(������)
微积分基本定理应用
y=f (x)
(1)求被积函数的原函数
b
a f (x)d x
(2)求积分上下限原函数值的差 O a
x
b
例1：求如图所示阴影部分面积
b
定积分 f ( x)dx 的几何意义： a
它是介于 x 轴、函数 f (x) 的图象及两条直线
y
x = a, x= b之间的各部分的“面积”代数和.(在 x 轴上 方的取正号，在 x 轴下方的取负号)
y
y = f (x)
y = g(x)
ao
b
特别，f (x) g(x) 时,
b
A = a [ f ( x) g( x)]dx
x
例3：求如图所示阴影部分面积
������ = ������ 解：������ = ������与������ = ������围交点坐标为(0,0),(1,1)
y
������ = ������������ + ������������
例3：求如图所示阴影部分面积
������ = ������
y
������ = ������
y
y = f (x)
O ������ ������
x
y = g(x)
ao
c
b
x
面积:
A=
b
f ( x) g( x) dx
a
例������计算由直线������ = ������ − ������, 曲线������ = ������������以及������轴所围图形的面积������.
= ������
变式：求如图所示阴影部分面积
y
������ = ������������ − ������������
O
������ = ������ x
������ = ������������ + ������������
= − ‫׬‬������������ ������������ − ������������ ������������ + ‫׬‬������������ ������������ − ������������ ������������
������������)
ቤ������������
=
������ ������ ������
变式：一个半径为1的球可以看成是曲线������ = ������������与x=1, x=2,x轴围成的区域绕x轴旋转一周形成几何体A，求A 的体积.
y
������
������ = ������������
������
= ������ ������������ − ������������
������
ቤ������������
=������
������
变式：计算由曲线������2 = ������, ������ = ������2所围图形的面积������.
y= x
y = x2
������
������ = න
������ ������
������ ≈ ෍ ������������������(������������)∆������������ ������ = න ������������������(������) ������������
������=������
������
旋转体的体积
������
������ = ������������
������
������
������ = න ������������ ������������ − න ������������ ������������
O
������
������
������
������
x
= න (������������ − ������������) ������������
������
������������������
−
������
න ������������������������
������
=
������ ������
������������������|������������
−
������ ������
������������|������������
1 =3
解: 曲线与直线的交点
y = 2x
y = 2x y = x 4 直线与x轴交点为(4,0)
S1
S2
y= x4
4
8
8
S = S1 S2 = 0
2xdx [ 4
2xdx (x 4)dx] 4
4
8
8
8
8
= (0
2xdx 4
2xdx) (x 4)dx =
y = f (x)
������(������������) A
a
∆������������
bx
∆������������
a
x
b
∆������������
������ ≈ ������ ������1 ∆������1 + ������ ������2 ∆������2 + ⋯ + ������ ������������ ∆������������
������
−������
������
������ = ������ න ������������������������ ������������
O
x
������ = ������������������������
=
������
������(−������������������������)
ฬ������������
������ = ������ න [������(������)]������ ������������
������
y = f (x)
a
b
x
A(x) = [ f (x)]2
dx
例1 给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边 旋转一周，得到一个圆锥体，试利用积分求其体积
y ������ =x




������
������ = න ������(������) ������������ .
������
例2：求������ = ������������与������ = ������������围成平面图形的面积
y
������ = ������������ ������
解：������ = ������������与������ = ������������围交点坐标为(0,0),(2,4)
������ = ������ න [ ������ − ������������]������ ������������
1x
−������ ������
= ������ න (������ − ������������) ������������
−������
=
������(������ −
������ ������
微积分基本定理
课前复习
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即������ ������ = ������′(������),则有
������
න ������ ������ ������������ = ������ ������
������
ቤ������������
= ������ ������