2023-2024学年江苏省扬州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）
A．π
4
B．
π
3
C．
3π
4
D．
2π
3
2．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）
A．14B．16C．28D．32
3．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）
A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s
4．已知双曲线C：x 2
4−
y2
m
=1的一条渐近线方程为y=
3
4
x，则m＝（）
A．3B．6C．3
2
D．
9
4
5．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定
6．已知M是椭圆x2
3
+y2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（）
A．2B．9
2
C．
3√2
2
D．√3−√2
7．已知定义在R上的可导函数f（x），其导函数为f′（x），若2f（x）+f′（x）＞0，且f（1）＝e，则不等式e2x f（x）﹣e3＞0的解集为（）
A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，e）
8．在△ABC中，已知D为边BC上一点，CD＝λDB，∠BAD=π
4
．若tan∠ACB的最大值为2，则常数λ的值为（）
A．√10−3
4
B．
√10+3
4
C．
√10+1
4
D．
√10−1
4
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要9．已知l1，l2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）
A．若l1，l2斜率相等，则l1，l2平行
B．若l1，l2平行，则l1，l2的斜率相等
C．若l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直
D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 10．椭圆C 1：
y 225
+
x 29
=1与双曲线C 2：x 29+k −y 2
7−k
=1（﹣9＜k ＜7）（ ）
A ．有相同的焦点
B ．有相等的焦距
C ．有相同的对称中心
D ．可能存在相同的顶点
11．已知函数f(x)=
lnx
x
，下列说法中正确的有（ ） A ．函数f （x ）的极大值为1
e
B ．函数f （x ）在点（1，0）处的切线方程为y ＝x ﹣1
C ．20232024＜20242023
D ．若曲线y ＝f （x ）与曲线y ＝x α无交点，则α的取值范围是(1
e
−1，+∞)
12．已知无穷数列{a n }，a 1＝1．性质s ：∀m ，n ∈N *，a m +n ＞a m +a n ；性质t ：∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，a m ﹣1+a n +1
＞a m +a n ，下列说法中正确的有（ ） A ．若a n ＝3﹣2n ，则{a n }具有性质s B ．若a n ＝n 2，则{a n }具有性质t C ．若{a n }具有性质s ，则a n ≥n
D ．若等比数列{a n }既满足性质s 又满足性质t ，则其公比的取值范围为（2，+∞） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 .（写出一条直线即可） 14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =
|f″(x)|
[1+(f′(x))2]3
2
．已知
f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲
线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 ．
15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 ． 16．已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为
√a 2−b 2
的直线交
椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设c n＝a n﹣b n，求数列{c n}的前n项和．
18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．
19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）设c n=
1
4(log2b n)2−1
，数列{c n}的前n项和为T n，证明：
1
3
≤T n＜
1
2
．
20．（12分）已知点A（4，0），P是圆C：x2+y2＝4上的一动点，点Q（x，y）是线段AP的中点．（1）求点Q的轨迹方程；
（2）已知M，N是直线l：x﹣y+2＝0上两个动点，且MN＝6．若∠MQN恒为锐角，求线段MN中点G的横坐标取值范围．
21．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A（1，﹣2）．（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．
22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）
（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞1
2
x2+x+1成立；
（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．
2023-2024学年江苏省扬州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．直线x+y﹣1＝0的倾斜角是（）
A．π
4
B．
π
3
C．
3π
4
D．
2π
3
解：直线x+y﹣1＝0的斜率为﹣1，则直线的倾斜角为3π4
．
故选：C．
2．在等比数列{a n}中，a1＝2，a3＝8，则a5＝（）
A．14B．16C．28D．32
解：设等比数列{a n}的公比为q，a1＝2，a3＝8，则q2=a3
a1
=
8
2
=4，故a5=a3q2=8×4=32．
故选：D．
3．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，则当t＝5s时该质点的瞬时速度为（）
A．10m/s B．11m/s C．13m/s D．28m/s
解：位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为S（t）＝t2+3，
则S'（t）＝2t，当t＝5时，S'（5）＝2×5＝10m/s．
故选：A．
4．已知双曲线C：x 2
4−
y2
m
=1的一条渐近线方程为y=
3
4
x，则m＝（）
A．3B．6C．3
2
D．
9
4
解：由已知可得m＞0，且双曲线的焦点在x轴上，a＝2，b=√m，
又双曲线的渐近线为y＝±b
a
=±
√m
2
x，
双曲线C：x2
4
−
y2
m
=1的一条渐近线方程为y=
3
4
x，即
√m
2
=
3
4
，m=
9
4
，
故选：D．
5．已知k为实数，则直线l：kx﹣y+k﹣1＝0与圆x2+y2＝4的位置关系为（）A．相交B．相离C．相切D．无法确定解：由kx﹣y+k﹣1＝0，得k（x+1）﹣（y+1）＝0，
因为k 为实数，所以{x +1=0y +1=0，解得{x =−1
y =−1，所以直线l 恒过定点（﹣1，﹣1），
因为（﹣1）2+（﹣1）2＝2＜4，所以定点在圆内，所以直线与圆相交． 故选：A ． 6．已知M 是椭圆x 23
+y 2=1上一动点，则该点到椭圆短轴端点的距离的最大值为（ ）
A ．2
B ．92
C ．
3√2
2
D ．√3−√2
解：设M （√3cos θ，sin θ），θ∈[0，2π），设A 为椭圆的上顶点，则A （0，1）， 所以|MA |=√(√3cosθ)2+(sinθ−1)2=√4−2(sinθ+12)2+2×14，
当sin θ=−12时，|MA |max =3√2
2
．
故选：C ．
7．已知定义在R 上的可导函数f （x ），其导函数为f ′（x ），若2f （x ）+f ′（x ）＞0，且f （1）＝e ，则不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（ ） A ．（1，+∞）
B ．（e ，+∞）
C ．（﹣∞，1）
D ．（﹣∞，e ）
解：构造函数g （x ）＝e 2x f （x ），该函数的定义域为R ， 则g '（x ）＝2e 2x f （x ）+e 2x f '（x ）＝e 2x [2f （x ）+f '（x ）]＞0， 所以函数g （x ）在R 上为增函数，且g （1）＝e 2f （1）＝e 3，
由e 2x f （x ）﹣e 3＞0，可得e 2x f （x ）＞e 3，即g （x ）＞g （1），解得x ＞1， 所以不等式e 2x f （x ）﹣e 3＞0的解集为（1，+∞）． 故选：A ．
8．在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，CD ＝λDB ，∠BAD =π
4
．若tan ∠ACB 的最大值为2，则常数λ
的值为（ ） A ．
√10−3
4
B ．
√10+3
4
C ．
√10+1
4
D ．
√10−1
4
解：令BD ＝2，则CD ＝λDB ＝2λ且0≤λ≤1， 则△ABD 外接圆半径为r =
BD
2sin∠BAD =√
2，
若B （﹣1，0），D （1，0），
△ABD 的外接圆方程为（x ﹣m ）2+（y ﹣n ）2＝2，
所以{(m +1)2+n 2=2(m −1)2+n 2=2⇒⇒{m =0n =±1，令圆心（m ，n ）为（0，1）， 即点A 在圆x 2+（y ﹣1）2＝2被BD 分割的优弧上运动，如图，
要使tan ∠ACB 最大，只需AC 与圆相切，易知C （1+2λ，0）， 则|AC|=√(1+2λ)2+1−2=2√λ(λ+1)， 而|BC |＝2（λ+1），由圆的性质有∠DAC ＝∠B ， 在△ABC 中，
|AC|sin∠B
=
|BC|sin(∠B+π
4
)
，
∠ACB =π−(2∠B +π
4)=3π
4−2∠B ，显然 ∠B ＜3π
8，
由tan ∠ACB =tan(3π
4−2∠B)=2，则1+tan2∠B tan2∠B−1
=2⇒tan2∠B =3， 所以
2tan∠B 1−tan 2∠B
=3⇒3tan 2∠B +2tan∠B −3=0，可得tan ∠B =
√10−1
3
（负值舍），
故sin ∠B =
10−1√20−2√10
cos∠B =
3√20−2√10，而√λsin∠B =√λ+1
sin(∠B+π4
)，
所以
√λsin∠B
=
√2(λ+1)
sin∠B+cos∠B ⇒λ
sin 2∠B =
2(λ+1)
1+2sin∠Bcos∠B
，
整理得11−2√10=7+2√10
，则λ=10
4(√10−1)=√10−14．
故选：D ．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 9．已知l 1，l 2为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（ ） A ．若l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行 B ．若l 1，l 2平行，则l 1，l 2的斜率相等
C ．若l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1，则l 1，l 2垂直
D ．若l 1，l 2垂直，则l 1，l 2的斜率乘积等于﹣1 解：l 1，l 2斜率相等，则l 1，l 2平行，故A 正确； l 1，l 2平行，该两条直线斜率可能不存在，故B 错误；
l1，l2的斜率乘积等于﹣1，则l1，l2垂直，故C正确；l1，l2垂直，则l1，l2的斜率可能不存在，故D错误．故选：AC．
10．椭圆C1：y2
25
+
x2
9
=1与双曲线C2：
x2
9+k
−
y2
7−k
=1（﹣9＜k＜7）（）
A．有相同的焦点B．有相等的焦距C．有相同的对称中心D．可能存在相同的顶点
解：椭圆C1：y2
25
+
x2
9
=1的焦点为（0，±4），焦距为8，对称中心为坐标原点，左右顶点为（±3，
0），上下顶点为（0，±5），
双曲线C2：x2
9+k −
y2
7−k
=1（﹣9＜k＜7）的焦点在x轴上，焦距为8，对称中心为坐标原点，
当k＝0时，双曲线C2的顶点为（±3，0），
综上，椭圆C1与双曲线C2的焦点不同，焦距相同，对称中心相同，顶点可能相同．故选：BCD．
11．已知函数f(x)=lnx
x
，下列说法中正确的有（）
A．函数f（x）的极大值为1 e
B．函数f（x）在点（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1
C．20232024＜20242023
D．若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，则α的取值范围是(1
e
−1，+∞)
解：易知函数f(x)=lnx
x
的定义域为（0，+∞），则f′(x)=
1−lnx
x2
，
令f′（x）＝0可得x＝e，
当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，可得f（x）在（0，e）上单调递增，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，可得f（x）在（e，+∞）上单调递减，
对于A，由单调性可得f（x）在x＝处取得极大值f(e)=1
e
，即A正确；
对于B，易知切线斜率为k=f′(1)=1−ln1
12
=1，
所以切线方程为y＝x﹣1，即B正确；
对于C，利用f(x)=lnx
x
的单调性可得f（2023）＞f（2024），
即ln2023
2023
＞
ln2024
2024
，也即2024ln2023＞2023ln2024，
可得ln20232024＞ln20242023，所以20232024＞20242023，即C错误；
对于D，若曲线y＝f（x）与曲线y＝xα无交点，即方程lnx
x
=xα没有实数根，也即xα+1﹣lnx＝0无解，
令g（x）＝xα+1﹣lnx，则g′(x)=(α+1)xα−1
x
=
(α+1)xα+1−1
x
，
若α+1≤0，g′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，
不妨取α＝﹣2，则g（x）＝x﹣1﹣lnx，
易知g（1）＝1﹣ln1＞0，g（e2）＝e﹣2﹣lne2＝e﹣2﹣2＜0，此时g（x）在（1，e2）上有解，不合题意，
若α+1＞0，令g′（x）＝0，解得x=(
1
α+1
)
1
α+1，
所以当0＜x＜(
1
α+1
)
1
α+1时，g′（x）＜0，此时g（x）在0＜x＜(
1
α+1
)
1
α+1时单调递减，
当x＞(
1
α+1
)
1
α+1时，g′（x）＞0，此时g（x）在x＞(
1
α+1
)
1
α+1时单调递增，
此时g（x）在x=(
1
α+1
)
1
α+1处取得极小值，也是最小值，
即g(x)min=g((
1
α+1
)
1
α+1)=
1
α+1
−
1
α+1
ln(
1
α+1
)=
1
α+1
(1−ln(
1
α+1
))=
1
α+1
(1+ln(α+1))，
依题意可得g(x)min=
1
α+1
(1+ln(α+1))＞0，所以1+ln（α+1）＞0即可，解得α＞1e−1，
即α的取值范围是(1
e
−1，+∞)，所以D正确．
故选：ABD．
12．已知无穷数列{a n}，a1＝1．性质s：∀m，n∈N*，a m+n＞a m+a n；性质t：∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1＞a m+a n，下列说法中正确的有（）
A．若a n＝3﹣2n，则{a n}具有性质s
B．若a n＝n2，则{a n}具有性质t
C．若{a n}具有性质s，则a n≥n
D．若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，则其公比的取值范围为（2，+∞）
解：由a n＝3﹣2n，可得a m+n﹣a m﹣a n＝3﹣2（m+n）﹣3+2m﹣3+2n＝﹣3＜0，即有a m+n＜a m+a n，故A错误；
由a n＝n2，可得∀m，n∈N*，2≤m＜n，a m﹣1+a n+1﹣a m﹣a n＝（m﹣1）2+（n+1）2﹣m2﹣n2＝2n﹣2m+2＞0，即a m﹣1+a n+1＞a m+a n，故B正确；
若{a n}具有性质s，可得a1+n＞a1+a n＝1+a n，则a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（a n﹣a n﹣1）≥1+1+...+1＝n，故C正确；
若等比数列{a n}既满足性质s又满足性质t，设公比为q，则q m+n﹣1＞q m﹣1+q n﹣1，令m＝n＝1，可得q
＞2， 又1q m
+
1q
n
＜12m
+
12n
≤
12
+
12
=1恒成立，
又q ＞2时，∀m ，n ∈N *，2≤m ＜n ，可得q m ﹣
2+q n ﹣q m ﹣
1﹣q n ﹣
1＝（q ﹣1）（q n ﹣
1﹣q m ﹣
2）＞0恒成立， 即有a m ﹣1+a n +1＞a m +a n ，故其公比的取值范围是（2，+∞），故D 正确． 故选：BCD ．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．写出过点（1，2）的被圆C ：x 2+y 2＝4所截的弦长为2√3的直线方程 x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0） .（写出一条直线即可）
解：设圆心到直线的距离为d ，
由圆的弦长公式得：2√4−d 2=2√3，所以d ＝1，
当直线的斜率不存在时，直线方程为：x ＝1，此时圆心到直线的距离为1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：y ﹣2＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +2＝0， 则d =
|−k+2|
√k +1
=1，解得k =34
，
所以直线l 的方程为：34x −y −3
4
+2=0，即3x ﹣4y +5＝0，
所以直线l 的方程为x ＝1或3x ﹣4y +5＝0． 故答案为：x ＝1（或3x ﹣4y +5＝0）．
14．曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若f ′（x ）是f （x ）的导函数，f ″（x ）是f ′（x ）的导函数，则曲线y ＝f （x ）在点（x ，f （x ））处的曲率K =|f″(x)|
[1+(f′(x))2]3
2
．已知f （x ）＝2cos （x ﹣1），则曲
线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的曲率为 2 ． 解：f （x ）＝2cos （x ﹣1），
则f '（x ）＝﹣2sin （x ﹣1），f ''（x ）＝﹣2cos （x ﹣1）， 故f '（1）＝﹣2sin0＝0，f ''（1）＝﹣2， 故K =
|f″(1)|
[1+(f′(1))2]3
2
=2．
故答案为：2．
15．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差会成等差数列．在杨辉之后，对这类高阶等差数列的研究一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前5项分别为1，4，10，20，35，则该数列的第6项为 56 ．
解：设该数列的第6项为x ，
对前6项作差可得，3，6，10，15，x ﹣35，对该算式继续作差可得，3，4，5，x ﹣50， 则x ﹣50＝6，解得x ＝56． 故答案为：56． 16．已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作斜率为
√a 2−b 2
的直线交
椭圆C 于A ，B 两点，以AB 为直径的圆过F 1，则椭圆C 的离心率为 √5
5
． 解：由椭圆的方程可得F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 因为
√a 2−b 2
=b
c ，由题意可设直线AB 过椭圆的下顶点A （0，﹣b ）， 由题意可设直线AB 的方程为y =b
c
（x ﹣c ），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
联立{y =b
c (x −c)x 2a 2+y 2b
2=1，整理可得（a 2+c 2）x 2﹣2a 2
cx ＝0，解得x B =2a 2c a 2+c 2，y B =b 3
a 2+c 2，
即B （2a 2c a 2+c 2，b 3
a 2+c
2），
因为以AB 为直径的圆过F 1，所以F 1A →•F 1B →
=0， 即（c ，﹣b ）•
（2a 2c a 2+c 2
+c ，
b 3a 2+
c 2
）＝0，
整理可得2a 2c 2
a 2+c
2+c 2
=b
4
a 2+c 2，而
b 2＝a 2﹣
c 2，
所以2a 2c 2+a 2c 2+c 4＝a 4﹣2a 2c 2+c 4，即a 2＝5c 2， 所以椭圆的离心率e =c a =1
√5=√55
． 故答案为：
√5
5
． 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1，b 2＝2，b 3＝4，a 8＝b 4． （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）设c n ＝a n ﹣b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设等比数列{b n }的公比为q ， 由b 2＝2，b 3＝4 可得q =
b 3
b 2
=2，b n =b 2q n−2=2⋅2n−2=2n−1， 设等差数列{a n }的公差为d ， 由a 1＝b 1＝1，a 8＝b 4＝8．所以d =
a 8−a 18−1=8−1
8−1
=1，
所以a n＝a1+（n﹣1）d＝1+（n﹣1）×1＝n，
所以a n＝n，b n=2n−1．
（2）c n=a n−b n=n−2n−1，
所以数列{c n} 的前n项和为：
c1+c2+…+c n＝（1﹣1）+（2﹣2）+…+（n﹣2n）＝（1+2+3+…+n）﹣（1+2+22+…+2n）
=n(n+1)
2
−
1−2n
1−2
=
n2+n
2
−2n+1．
18．（12分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b在x＝2处取得极小值5．
（1）求实数a，b的值；
（2）当x∈[0，3]时，求函数f（x）的最小值．
解：（1）由f（x）＝2x3﹣ax2+12x+b，得f'（x）＝6x2﹣2ax+12，
因为f（x）在x＝2处取极小值5，所以f（2）＝24﹣4a+12＝0，解得a＝9，
此时f'（x）＝6x2﹣18x+12x＝6（x﹣1）（x﹣2），
所以f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x＝2时取极小值，符合题意，
所以a＝9，f（x）＝2x3﹣9x2+12x+b．
又f（2）＝4+b＝5，所以b＝1，
所以a＝9，b＝1．
（2）f（x）＝2x3﹣9x2+12x+1，所以f'（x）＝6（x﹣1）（x﹣2），
f（x）和f'（x）随着x的变化情况如下表所示．
所以x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝1．
19．（12分）已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且S n+1＝2S n+n+1（n∈N*）．设b n＝a n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；
（2）设c n=
1
4(log2b n)2−1
，数列{c n}的前n项和为T n，证明：
1
3
≤T n＜
1
2
．
解：（1）∵S n+1=2S n+n+1(n∈N∗)①，∴S n＝2S n﹣1+n（n≥2）②，
由①﹣②得：a n+1＝2a n+1（n≥2），
∴a n +1+1＝2（a n +1）（n ≥2），即b n +1＝2b n （n ≥2）， 在①中令n ＝1，得S 2＝2S 1+2，即a 1+a 2＝2a 1+2， 而a 1＝1，故a 2＝3，
则a 2+1＝2（a 1+1），即b 2＝2b 1， 又∵b 1＝2≠0，∴b n+1b n
=2(n ∈N ∗)，
∴数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴b n =2n ；
（2）证明：∵b n =2n ， ∴c n =
14(log 2b n )2−1=14n 2
−1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−1
2n+1
)， ∴T n =12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)＜1
2
，
又∵c n =
1
4n 2−1
＞0，∴T n ≥c 1=1
3
，
∴13≤T n ＜12
． 20．（12分）已知点A （4，0），P 是圆C ：x 2+y 2＝4上的一动点，点Q （x ，y ）是线段AP 的中点． （1）求点Q 的轨迹方程；
（2）已知M ，N 是直线l ：x ﹣y +2＝0上两个动点，且MN ＝6．若∠MQN 恒为锐角，求线段MN 中点G 的横坐标取值范围． 解：（1）设P （x ′，y ′），
则由题意得{
x =
x′+4
2y =y′2
，即{x ′=2x −4y′=2y ， 因为点P 在圆C ：x 2+y 2＝4上，
所以x ′2+y ′2＝4，即（2x ﹣4）2+（2y ）2＝4， 所以点Q 的轨迹方程为（x ﹣2）2+y 2＝1． （2）设G （a ，b ），则b ＝a +2，
当P 在圆C 上运动时，∠MQN 恒为锐角，
等价于以MN 中点G 为圆心，3为半径的圆与圆：（x ﹣2）2+y 2＝1外离． 所以√(a −2)2+b 2＞3+1，解得a ＜﹣2或a ＞2，
所以线段MN 中点G 的横坐标取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．
21．（12分）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点A （1，﹣2）．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若抛物线C开口向右，准线l上两点P，Q关于x轴对称，直线P A交抛物线C于另一点M，直线QA交抛物线C于另一点N，证明：直线MN过定点．
（1）解：设抛物线C的标准方程为y2＝2px（p＞0）或x2＝﹣2py（p＞0），
将A坐标代入y2＝2px，得p＝2，所以y2＝4x；
将A坐标代入x2＝﹣2py，得p=1
4
，所以x2=−
1
2
y，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或x2=−1
2 y．
（2）证明：由抛物线C开口向右得标准方程为y2＝4x，准线l：x＝﹣1，
设P（﹣1，m），Q（﹣1，﹣m），（m≠±2），则l AP：y+2=m+2
−2
(x−1)，即x=
−2
m+2
y+
m−2
m+2
，
由{y+2=
m+2
−2
(x−1)
y2=4x
，得y2+
8
m+2
y−
4(m−2)
m+2
=0，所以y M⋅y A=−
4(m−2)
m+2
，
所以y M=2(m−2)
m+2
，x M=−2
m+2
y M+
m−2
m+2
=(
m−2
m+2
)2，
所以M(m−2
m+2
)2，
2(m−2)
m+2
)，
用﹣m代m，得N(m+2
m−2
)2，
2(m+2)
m−2
)，
则k MN=m2−4 m2+4
，
所以l MN：y−2(m−2)
m+2
=
m2−4
m2+4
[x−(
m−2
m+2
)2]，化简得l MN：y=
m2−4
m2+4
(x+1)，
所以直线MN过定点（﹣1，0）．
22．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣alnx﹣be．（e＝2.71828…是自然对数的底数）（1）若a＝﹣1，b＝1，求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若a＝b＝0，证明：对任意x∈（0，+∞），f（x）＞1
2
x2+x+1成立；
（3）若b＝1，试讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．解：（1）当a＝﹣1，b＝1时，f（x）＝e x+lnx﹣e（x＞0），
则f′(x)=e x+1
x
＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）＝0，∴f（x）＞0的解集为（1，+∞）．
（2）证明：当a＝b＝0时，令m(x)=f(x)−1
2
x2−x−1=e x−
1
2
x2−x−1(x＞0)，则m'（x）＝e x
﹣x﹣1，
令n（x）＝m（x），则n'（x）＝e x﹣1＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴n（x）在（0，+∞）上单调递增，又n（0）＝0，∴n（x）＞n（0）＝0，即m'（x）＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，
又m（0）＝0，∴m（x）＞m（0）＝0，
∴对任意x∈（0，+∞），f(x)＞1
2
x2+x+1成立．
（3）当b＝1时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e（x＞0），则f′(x)=e x−a
x
=
xe x−a
x
，
①当a≤0时，f（x）＞0对x＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点；
②当a＞0时，令g（x）＝f（x），g′(x)=e x+a
x2
＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
令h（x）＝xe x﹣a，（x＞0），则h（0）＝﹣a＜0，h（a）＝a（e a﹣1）＞0，
又∵h（x）＝xe x﹣a在（0，+∞）上单调递增，
∴存在唯一x0∈（0，a），使得h（x0）＝0，即f'（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，f'（x0）＜0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，f'（x0）＞0，∴f（x）在（x0，+∞）上单调递增，
∴f（x）极小值＝f（x0），
若x0＝1，则f（x）极小值＝f（1）＝0，∴f（x）仅有1个零点，此时a=x0e x0=e，若0＜x0＜1，则f（x）在（x0，+∞）上递增且f（1）＝0，
∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0．
当x∈（0，x0）时，f（x）＝e x﹣alnx﹣e＞﹣alnx﹣e，∴f(e−e
a)＞0，
∵a＞0，∴0＜e−e
a＜1，又x∈[x0，1）时，f（x）＜0，e−
e
a∈(0，x0)，
∴f（x）在（0，x0）上仅有一个零点，
∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(0，e)，若x0＞1，则f（x）在（0，x0）上递减且f（1）＝0，
∴f（x）在（0，x0）上仅有1个零点，且f（x0）＜f（1）＝0，
当x∈（x0，+∞）时，由（2）可知，e x＞1
2
x2+x+1＞x，
两边取对数得x＞lnx，又e x＞1
2
x2+x+1＞12x2，
∴f(x)=e x−alnx−e＞12x2−ax−e，
不妨取x1=max{2x0，a+√a2+2e}，则x1∈（x0，+∞）且f（x1）＞0，又∵f（x0）＜0，∴f（x）在（x0，+∞）上仅有1个零点．
∴f（x）在（0，+∞）上共有两个零点，此时a=x0e x0∈(e，+∞)．
综上，当a≤0或a＝e时，函数f（x）有1个零点；
当a＞0且a≠e时，函数f（x）有2个零点．。