福建省莆田第九中学2017-2018学年高二上学期第二次月考(12月)数学(文)试题(解析版)

福建省莆田第九中学2017-2018学年高二上学期第二次月考(12月)
数学(文)
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（共12个小题,每小题5分,共60分.）
1.平行线和的距离是（）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
∵两条直线保持平行
∴m=8
平行线和的距离即平行线和的距离=2
故选：B
点睛：求两平行直线间距离时，注意把直线化成一般式，同时保证一次项系数相同.
2.数列中，已知，则的值为（）
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】
由题意可得：，则：
本题选择A选项.
点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
3.下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：
，，，.
本题选择C选项.
4.在等差数列中，若为方程的两根，则（）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 40
【答案】B
【解析】
由韦达定理可得：，
结合等差数列的性质可知：，
据此可得：.
本题选择B选项.
5.已知命题，有成立，则为（）
A. ，有成立
B. ，有成立
C. ，有成立
D. ，有成立
【答案】C
【解析】
特称命题的否定为全称命题，则：
若命题，有成立，
则为，有成立.
本题选择C选项.
6.在各项都为正数的等比数列中，，前三项的和为，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：设等比数列的公比为，则，由于，，化简得，解得，，故选C.
考点：等比数列的性质
7.设是曲线（为参数，）上任意一点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
由题意可得，曲线C是以为圆心，为半径的圆，目标函数表示圆上的点与坐标原点之间连线的斜率，如图所示，观察可得：的取值范围是.
本题选择D选项.
8.等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为（）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
【答案】C
【解析】
设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为，
则,所以，
结合等比数列求和公式有：，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
9.两个正数、的等差中项是，一个等比中项是，且，则双曲线的离心率等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
由题意可得：，结合求解方程组可得：，
则双曲线中：.
本题选择D选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
10.已知函数的图象如图所示，其中为函数的导函数，则的大致图象是
( )
【答案】B
【解析】
略
11.设函数的导函数，则数列的前项和是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
本题考查导数的运算,数列求和及转化思想.
则所以数列的前n项和为为
故选A
12.若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是“阶聚合”点集。

现有四个命题：
①若，则存在正数，使得是“阶聚合”点集；
②若，则是“阶聚合”点集；
③若，则是“2阶聚合”点集；
④若是“阶聚合”点集，则的取值范围是.
其中正确命题的序号为（）
A. ①④
B. ②③
C. ①②
D. ③④
【答案】A
【解析】
对于①：M={(x,y)|y=2x}，则点集为，(tx,ty)∈M，①正确；
对于②：∵M={(x,y)|y=x2}，取(2,4)，而点(1,2)∉M，②错误；
对于③：取为集合M上的一点，则点，③错误；
对于④：∵x2+y2⩽1，根据题意，得∴t2(x2+y2)⩽1恒成立，
则即
∵t∈(0,+∞)，∴t∈(0,1].④正确；
本题选择A选项.
点睛：此类问题一定要抓住题设中的定义与基础知识的紧密结合，细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13.已知函数的图像在点的处的切线过点，则.
【答案】1
【解析】
试题分析：
.
考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.
【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得
.
视频
14.已知函数=,则_______________.
【答案】
【解析】
由题意可得：，
令有：，
求解关于实数的方程可得：.
15.将曲线按伸缩变换公式变换后得到曲线，则曲线上的点到直线的
距离最小值为_____________.
【答案】
【解析】
伸缩变换即：，则伸缩变换之后曲线，
设曲线上点的坐标为：，结合点到直线距离公式有：
，
结合三角函数的性质可得，当时，距离取得最小值.
16.下列命题：
①“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
②“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
③“若，则”的逆命题.
其中真命题是________________.
【答案】①②
【解析】
“四边相等的四边形是正方形”的否命题为“正方形的四条边相等”，该命题为真命题，
命题“梯形不是平行四边形”是真命题，则其逆否命题是真命题；
“若，则”的逆命题是“若，则”
当时，该命题为假命题.
综上可得，真命题是①②.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17.已知
（Ⅰ）当时，判断是的什么条件；
（Ⅱ）若“非”是“非”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
【答案】(Ⅰ)充分不必要条件；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：
(Ⅰ)首先确定命题p,q，据此可知当时是的充分不必要条件；
(Ⅱ)由题意可得关于实数m的不等式组：，求解不等式组可得实数的取值范围为
.
试题解析：
(Ⅰ)
则当m=4时，q:
当时是的充分不必要条件
(Ⅱ)“非”是“非”的充分不必要条件，
是的充分不必要条件.
，
实数的取值范围为.
18.设命题；命题：关于的不等式的解集是空集，
若“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】.
【解析】
试题分析：
求解不等式可得：.或.满足题意时，有且只有一个为真，据此分类讨论可得实数的取值范围是.
试题解析：
由得即，.
.
由关于的不等式的解集是空集，得，
或.或.
为真，为假，
有且只有一个为真，
若为真，为假，则且，；
若为假，为真，则或，同时或，
或.
的取值范围是.
19.如图所示，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，且，
（1）求证：点的坐标为；
（2）求证：；
（3）求面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)1.
【解析】
试题分析：
(1)联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理即可证得点坐标是；
(2)结合(1)的结论可证得，利用平面向量垂直的充要条件即可证得
；
(3)由题意可得△AOB的面积表达式：，则当时，取最小值1.
试题解析：
（1）设，直线方程为代入得，是此方程的两根
①即点坐标是
（2）证明：，则；
（3）由方程①得，又
当时，取最小值1.
20.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，
．
（Ⅰ）求与．
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．
【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）有已知条件得，解出，，即得与（Ⅱ）由，
，裂项相消法求和
试题解析：
（Ⅰ）设等差数列公差为，
由题目列出各方程：
即，
即，
得，解出，，
∴，
．
（Ⅱ）∵
,
．
．
．
21.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析.
【解析】
【详解】试题分析：
(1)由题意得到关于 b 的方程：
，解方程可得椭圆 的方程为
.
(2) 联立直线与椭圆的方程有： 可得： 试题解析：
（1）因为 的焦点在 轴上且长轴长为 4，
结合韦达定理， ，所以， 为定值.
，据此计算
故可设椭圆 的方程为
因为点 解得 .
在椭圆 上，所以
所以，椭圆 的方程为
.
（2）设
，由已知，直线 的方程是
，
由 设
消去 得， ，则 是方程 的两个根，
所以有， =
，所以：
= = = = =5 所以， 为定值.
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点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方 程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0 或不存在等特殊情形．
22.已知椭圆 （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设直线 与圆
的离心率为 ，且过点
相切于点 ，且 与椭圆 只有一个公共点 .
①求证： ②当 为何值时，
； 取得最大值？并求出最大值.
【答案】(Ⅰ) 【解析】
；(Ⅱ)①.证明见解析；②.答案见解析.
试题分析：(1)椭圆的离心率为
，又椭圆过已知点，即
，再加上
，联立可求得
；
（2）直线与圆及椭圆都相切，因此可以把直线方程与椭圆方程(或圆方程)联立方程组，此方程组只有一解， 由此可得到题中参数的关系式，当然直线与圆相切，可利用圆心到直线的距离等于圆的半径来列式，得到的两 个等式中消去参数 即可证得①式；而②要求 的最大值，可先求出 ，注意到 ，因此
，这里设 不等式知识就可求得最大值.
，由①中的方程(组)可求得 ，最终把
用 表示，
，利用
试题解析：(1)椭圆 E 的方程为
4分
（2）①因为直线 与圆 C: 即 ①5分
相切于 A,得
,
又因为 与椭圆 E 只有一个公共点 B，
由 则
得
,且此方程有唯一解. 即
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②由①②,得
8分
②设
，由
得
由韦达定理,
∵
点在椭圆上,∴
∴
10 分
在直角三角形 OAB 中,
∴
12 分
考点：椭圆的标准方程，直线与圆相切，直线与椭圆相切.
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