2020年高考数学金榜冲刺卷(北京版)(一)(含答案解析)

2020年高考数学金榜冲刺卷（一）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．在复平面内，复数
1
1i
-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．集合{}
2,A x x x R =>∈，{
}
2
230B x x x =-->，则A B =I （ ）
A ．(3,)+∞
B ．(,1)(3,)-∞-+∞U
C ．(2,)+∞
D ．(2,3)
3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?
上单调递增的是（ ）
A ．y =
B ．()sin f x x x =
C ．()2
f x x x =+
D ．1y x =+
4．已知直线l 过点()2,0P -，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围为（ ）
A ．(-
B ．⎛ ⎝⎭
C ．(
D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A ．
310
B ．
15
C ．
110
D ．
120
6．已知函数()4
4
cos sin x x f x =-,下列结论中错误的是( )
A ．()cos2f x x =
B ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称
C ．()f x 的最小正周期为π
D ．()f x 的值域为⎡⎣
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺
8．如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与
11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（ ）
A ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个
B ．()3
f x x =可以是某个圆的“优美函数”
C ．正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”
D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 二、填空题共5题，每题5分，共25分．
11．抛物线2y ax =的焦点为()
1,0-，则a =______.
12．已知向量(3,2)m =u r ，(,1)n λ=r ，其中R λ∈.若向量m u r 与23m n -u r r
共线，则λ=_____.
13．已知双曲线22
2:1(0)4x y C b b
-=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，且直线PA 与直
线PB 的斜率之积为1，则双曲线C 的焦距为__________.
14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 构成等比数列{}n b 的前3项,则139
2410
a a a a a a ++=++________;
又若2d =,则数列{}n b 的前n 项的和n S =________.
15．对定义在[0,1]上的函数()f x ，如果同时满足以下两个条件：
（1）对任意的[0,1]x ∈总有()0f x …
； （2）当10x …
，20x …，121x x +„时，总有()()()1212f x x f x f x ++…成立. 则称函数()f x 称为G 函数.若()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数，则实数a 的取值范围为________.
三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）
如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；
（2）求AM 与平面A 1MD 所成角的正弦值． 17．（本小题14分）
已知ABC V 满足 ，
且23b A π==
，求sinC 的值及ABC V 的面积.（从①4
B π
=，
②a =
③a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）
18．（本小题14分）
如图是2019年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图.
（1）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；
（2）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X 表示新增确诊的人数超过140的天数，求X 的分布列和数学期望；
（3）根据这20天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势. 19．（本小题15分）已知函数()sin ln f x x x =+．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点ππ(,())22
M f 处的切线方程；
（Ⅱ）证明：函数()f x 在区间(1,3)上存在唯一的极大值点； （Ⅲ）证明：函数()f x 有且仅有一个零点. 20.（本小题14分）
已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>离心率为45，椭圆上的点到右焦点的最小距离是1，直线:1l y kx =+交
椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）求椭圆的方程；
（2）求三角形AOB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程. 21．（本小题14分）
数字()1,2,3,...,2n n ≥的任意一个排列记作()12,,...,n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合.集合
(){12,,...,n n n A a a a S =∈任意整数,.1,i j i j n ≤<≤都有}i j a i a j -≤-，集合(){12,,...,n n n B a a a S =∈任
意整数,,1,i j i j n ≤<≤都有}
i j a i a j +≤+
（1）用列举法表示集合33,A B ；
（2）求集合n n A B I 的元素个数；
（3）记集合n B 的元素个数为n b ，证明：数列{}n b 是等比数列.
2020年高考数学金榜冲刺卷（一）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．在复平面内，复数
1
1i
-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D
【解析】
11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122
i -对应点为11(,)22-，在第四象限，故选D. 2．集合{}
2,A x x x R =>∈，{
}
2
230B x x x =-->，则A B =I （ ）
A ．(3,)+∞
B ．(,1)(3,)-∞-+∞U
C ．(2,)+∞
D ．(2,3)
【答案】A
【解析】{}
()()2
230,13,B x x x =-->=-∞-⋃+∞，{}
2,A x x x R =>∈，故(3,)A B =+∞I .
故选：A .
3．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?
上单调递增的是（ ）
A ．y =
B ．()sin f x x x =
C ．()2
f x x x =+
D ．1y x =+
【答案】C
【解析】A ：y =
B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；
C ：2
y x
x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；
D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C.
4．已知直线l 过点()2,0P -，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围为（ ）
A
．(- B
．,44⎛- ⎝⎭
C
．( D ．11,88⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】B
【解析】直线l 为20kx y k -+=，又直线l 与圆22
2x y x +=有两个交点，
1<
，∴44k -<<，故选B ．
5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）
A ．
3
10
B ．
15
C ．
110
D ．
120
【答案】C
【解析】试题分析：从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为
1
10
，故选C. 6．已知函数()4
4
cos sin x x f x =-,下列结论中错误的是( )
A ．()cos2f x x =
B ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称
C ．()f x 的最小正周期为π
D ．()f x
的值域为⎡⎣
【答案】D
【解析】由442222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos2f x x x x x x x x =-=+-=，故A 正确；
由定义可知()cos 2f x x =为偶函数，故B 正确；由周期公式可得()f x 的最小正周期为：22
T π
π==，故C 正确；由余弦函数的性质可得()cos 2f x x =的值域为[1-，1]，故D 错误；故选：D ．
7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）
A ．10000立方尺
B ．11000立方尺
C ．12000立方尺
D ．13000立方尺 【答案】A
【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：
沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的体积V 1=1
2×3×2×2=6， 四棱锥的体积V 2=1
3×1×3×2=2，
由三视图可知两个四棱锥大小相等，∴V =V 1+2V 2=10立方丈=10000立方尺．故选A ．
8．如图：在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是1B C 的中点，动点M 在其表面上运动，且与平面11A DC 的距离保持不变，运行轨迹为S ，当M 从P 点出发，绕其轨迹运行一周的过程中，运动的路程x 与
11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】画出图象如图所示,由于平面1//B AC 平面11A DC ,故三角形1AB C 即M 点的运行轨迹.以D 为坐标
原点建立空间直角坐标系,故()()111
,0,1,0,1,1A C .当M 在11,1,22P ⎛⎫
⎪⎝⎭时,0l =,当M 在()11,1,1B
是,102l l =>,由此排除,A C 两个选项.根据图象的对称性可知,当M 在1PB 和1B Q 上运动时,图象应该对称,故排除B 选项.所以选D.
9．“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】数列{}n a 既是等差数列又是等比数列，则可知{}n a 是常数列，所以充分性成立；
若{}n a 是0n a =常数列，则{}n a 不是等比数列，所以必要性不成立，所以“数列{}n a 既是等差数列又是等比数列”是“数列{}n a 是常数列”的充分不必要条件，故选A ．
10．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（ ）
B ．对于任意一个圆，其“优美函数“有无数个 B ．()3
f x x =可以是某个圆的“优美函数”
C ．正弦函数sin y x =可以同时是无数个圆的“优美函数”
D ．函数()y f x =是“优美函数”的充要条件为函数()y f x =的图象是中心对称图形 【答案】D
【解析】对于A ：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A 正确；
对于B ：因为函数()3
f x x =图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数()3
f x x =是该
圆的“优美函数”，故选项B 正确；
对于C ：将圆的圆心放在正弦函数sin y x =的对称中心上，则正弦函数sin y x =是该圆的“优美函数”，故选项C 正确；
对于D ：函数()y f x =的图象是中心对称图形，则函数()y f x =是“优美函数”，但是函数()y f x =是“优美函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图所示：
，
所以函数()y f x =的图象是中心对称图形是函数()y f x =是“优美函数”的充分不必要条件，故选项D 错误，故选：D.
二、填空题共5题，每题5分，共25分．
11．抛物线2y ax =的焦点为()
1,0-，则a =______. 【答案】-4
【解析】由焦点为()1,0-，得抛物线开口向左0a <，且12
p
=，即2p =，所以24a p =-=-. 故答案为：4-
12．已知向量(3,2)m =u r ，(,1)n λ=r ，其中R λ∈.若向量m u r 与23m n -u r r
共线，则λ=_____.
【答案】
32
【解析】由题可得23(63,1)m n λ-=-u r r ，因为向量m u r 与23m n -u r r
共线，
所以(63)230λ-⨯-=，解得32
λ=
.故答案为：32.
13．已知双曲线22
2:1(0)4x y C b b
-=>的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在双曲线C 上，且直线PA 与直
线PB 的斜率之积为1，则双曲线C 的焦距为__________.
【答案】【解析】由双曲线方程知：()2,0A -，()2,0B ，
设()00,P x y ，则2
00020001224
PA PB
y y y k k x x x ⋅=⋅==+--，即22004x y -=， 又2200214x y b
-=，24b ∴=，2228c a b ∴=+=，∴双曲线C
的焦距为2c =.
故答案为：.
14．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,且139,,a a a 构成等比数列{}n b 的前3项,则139
2410
a a a a a a ++=++________;
又若2d =,则数列{}n b 的前n 项的和n S =________.
【答案】
13
16
31n - 【解析】因为139,,a a a 构成等比数列{}n b 的前3项，
所以2
319a a a =，则()()2
11128a d a a d +=+，化简得1a d =，
所以*
()n a nd n N =∈，
1392410(139)13
(2410)16
a a a d a a a d ++++==++++；
当2d =时，1392,6,18a a a ===， 所以等比数列{}n b 的首项为2，公比为3，
数列{}n b 的前n 项和()2133113
n n n
S -==--.
故答案为：
13
16
；31n - 15．对定义在[0,1]上的函数()f x ，如果同时满足以下两个条件：
（1）对任意的[0,1]x ∈总有()0f x …
； （2）当10x …
，20x …，121x x +„时，总有()()()1212f x x f x f x ++…成立. 则称函数()f x 称为G 函数.若()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数，则实数a 的取值范围为________.
【答案】{}1
【解析】因为()21x
h x a =⋅-是定义在[0,1]上G 函数，所以对任意的[0,1]x ∈总有()0h x ≥，
则1
2
x a ≥
对任意的[0,1]x ∈恒成立，解得1a ≥， 当1a ≥时，
又因为10x …
，20x …，121x x +„时， 总有()()()1212h x x h x h x ++…
成立， 即()()()1
2
1112122
221x x x x h x x h x h x a a a ++-+=⋅-⋅-⋅+⎡⎤⎣⎦
()()12212110x x a a =--+-≥恒成立，
即
()()121
2121x x a a
-≤--恒成立， 又此时(
)(
)
122121x
x
--的最小值为0，
即
1
0a a
-≤恒成立， 又因为1a ≥
解得1a =. 故答案为：{}1
三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（本小题14分）
如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；
（2）求AM 与平面A 1MD 所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2【解析】（1）连接ME ，BC ∵M ，E 分别为B 1B ，BC 的中点 ∴11
2
ME B C =
P
又∵11A B AB CD ==P
P
∴A 1DCB 1是平行四边形 ∴1
1A D B C =P
∴ND ME =P
∴NDEM 是平行四边形 ∴NM ∥DE 又NM ⊄平面C 1DE ∴NM ∥平面C 1DE
(2)由题意得DE 与BC 垂直，所以DE 与AD 垂直：以D 为原点，DA ，DE ，DD 1三边分别为x ，y ，z 轴，建立空间坐标系O -xyz
则A （2，0，0），A 1（2，0，4），M （1
2） 设平面A 1MD 的法向量为(,,)n x y z =r
则100n DA n DM ⎧⋅=⎨⋅=⎩
u u u u v v u u u u v v
∴240
20x z x z +=⎧⎪⎨
++=⎪⎩ 解得(2,0,1)n =-r
又(2)AM =-u u u u r
∴
cos 5AM n AM n AM n
⋅⋅===-u u u u r r
u u u u r r u u u u r r ∴AM 与平面A 1MD
19．（本小题14分）
已知ABC V 满足 ，
且23b A π==
，求sinC 的值及ABC V 的面积.（从①4
B π
=，
②a =
③a =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.） 【答案】见解析
【解析】选择①时：4
B π
=
,2
3A π=
，故(
)sin sin sin cos cos sin 4
C A B A B A B =+=+= 根据正弦定理：
sin sin a b A B =，故3a =
，故1sin 2S ab C ==
.
选择②时，a =
b ，故B A >，A 为钝角，故无解.
选择③时，a B =，根据正弦定理：sin sin a b
A B
=
=
，
解得sin B ，(
)sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 根据正弦定理：
sin sin a b A B =，故3a =
，故19sin 24
S ab C -==
.
20．（本小题14分）
如图是2019年11月1日到11月20日，某地区甲流疫情新增数据的走势图.
（1）从这20天中任选1天，求新增确诊和新增疑似的人数都超过100的概率；
（2）从新增确诊的人数超过100的日期中任选两天，用X 表示新增确诊的人数超过140的天数，求X 的分布列和数学期望；
（3）根据这20天统计数据，预测今后该地区甲流疫情的发展趋势.
【答案】（1）
320；（2）分布列见解析，()2
3
E X =；（3）见解析 【解析】（1）由图知，在统计出的20天中，新增确诊和新增疑似人数超过100人的有3天， 设事件A 为“从这20天中任取1天，新增确诊和新增疑似的人数都超过100”，则()3
20
P A =. （2）由图知，新增确诊的日期中人数超过100的有6天中，有2天人数超过140， 所以X 的所有可能值为0，1，2.
所以()2426205C P X C ===，()11242
68115
C C P X C ===，()2
2261
215C P X C ====. 所以X 的分布列为
所以X 的数学期望为()012515153
E X =⨯
+⨯+⨯=. （3）预测一：新增确诊和新增疑似的人数逐渐减少. 预测二：新增确诊和新增疑似的人数每天大致相当. 预测三：该地区甲流疫情趋于减缓.
预测四：该地区甲流疫情持续走低，不会爆发.
（答案不唯一，只要结论是基于图表的数据得出的，都给分）. 19．（本小题15分）已知函数()sin ln f x x x =+．
（Ⅰ）求曲线()y f x =在点ππ(,())22
M f 处的切线方程；
（Ⅱ）证明：函数()f x 在区间(1,3)上存在唯一的极大值点； （Ⅲ）证明：函数()f x 有且仅有一个零点. 【答案】（Ⅰ）2π
=
ln π2
y x +（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）因为()sin ln ,0f x x x x =+>，
所以1'()cos 0f x x x x
=+>，，
π2'()2π
k f ==，
又因为ππ()1+ln
22
f =，
所以切线方程为π2π(1ln )()2π2
y x -+=
-， 即：2π
=
ln π2
y x +. （Ⅱ）证明：因为cos y x =和1
y x
=
在()1,3上单调递减， 所以
'()f x 在()1,3上单调递减，
且'(1)cos110f =+>．
又121111
'(3)cos3cos π0333236
f =+
<+=-+=-<， 所以在()1,3内有且仅有一个实数0x ，使得0'()f x =0，
并且当01x x <<时，0'()'()0f x f x >=，
当03x x <<时，0'()'()0f x f x <=， 所以()f x 在区间()1,3上有唯一的极大值点0x . （Ⅲ）证明：当еx >时，
ln 1x >，sin 1x ≥-，
此时()sin ln 0f x x x =+>. 当1еx ≤≤时，
ln 0x ≥，sin 0x >，
此时()sin ln 0f x x x =+>.
当01x <<时，
因为1
'()cos 0f x x x
=+
>，所以()f x 在()0,1内单调递增. 因为11
()1sin
0ее
f =-+<，(1)sin10f =>， 所以()f x 在()0,1上有且仅有一个零点. 综上所述，函数()f x 有且仅有一个零点. 20.（本小题14分）
已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>离心率为45，椭圆上的点到右焦点的最小距离是1，直线:1l y kx =+交
椭圆于A 、B 两点，O 为坐标原点， （1）求椭圆的方程；
（2）求三角形AOB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.
【答案】（1）221259x y +=（2
）面积的最大值为
3
，此时直线l 的方程是1y =. 【解析】（1）因为45c a =，1a c -=，所以5a =，4c =，3b =，22
1259
x y +=，
（2）把直线:1l y kx =+代入椭圆，得，(
)2
2
925502000k x
kx ++-=，>0∆
设()11,A x y ，()22,B x y ，则12250925k x x k -+=
+，12
2
200
925x x k -=+
AB ===O
到
直线l 的距离为d =
12S AB d ==
，设29259t k =+≥，则
S ===1109t ⎛⎫<≤ ⎪
⎝⎭
当1
19t
=
，即9t =，即0k =时，max 3
S =，此时直线l 的方程是1y =. 21．（本小题14分）
数字()1,2,3,...,2n n ≥的任意一个排列记作()12,,...,n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合.集合
(){12,,...,n n n A a a a S =∈任意整数,.1,i j i j n ≤<≤都有}i j a i a j -≤-，集合(){12,,...,n n n B a a a S =∈任
意整数,,1,i j i j n ≤<≤都有}
i j a i a j +≤+
（1）用列举法表示集合33,A B ；
（2）求集合n n A B I 的元素个数；
（3）记集合n B 的元素个数为n b ，证明：数列{}n b 是等比数列.
【答案】(1)(){}
31,2,3A =,()()()(){}
31,2,3,1,3,2,2,1,3,3,2,1B = ；(2) n n A B I 的元素个数为1；(3)证明见解析
【解析】(1)(){}
31,2,3A =,()()()(){}
31,2,3,1,3,2,2,1,3,3,2,1B = (2)考虑集合n A 中的元素()12,,...,n a a a .
由已知,对任意整数,.1,i j i j n ≤<≤都有i j a i a j -≤-,
所以i j a i i a j j -+≤-+,
所以<i j a a .
由,i j 的任意性可知,()12,,...,n a a a 是1,2,3,...,n 的单调递增排列,
所以(){}
1,2,3,...,n A n =.
又因为当()
,1k a k k N k n +
=∈≤≤时,对任意整数,.1,i j i j n ≤<≤ 都有i j a i a j ≤++.
所以()1,2,3,...,n n B ∈,所以n n A B ⊆.
所以集合n n A B I 的元素个数为1.
(3)由(2)知,0n b ≠.
因为()(){}
21,2,2,1B =,所以22b =. 当3n ≥时,考虑n B 中的元素()12,,...,n a a a .
(i )假设()
,1k a n k N k n +
=∈≤≤.由已知, ()11k k a k a k ++≤++,
所以()111k k a a k k n +≥+-+=-,
又因为11k a n +≤-,所以+11k a n =-.
依此类推,若k a n =,则+11k a n =-,+22k a n =-,n a k =. ①若1k =,则满足条件的1,2,3,...,n 的排列()12,,...,n a a a 有1个.
②若2k =,则234,1,2,...,2n a n a n a n a ==-=-=.
所以11a =.
此时满足条件的1,2,3,...,n 的排列()12,,...,n a a a 有1个. ③若2k n <<,
只要()121,,...,k a a a -是1,2,3,...,1k -的满足条件的一个排列,就可以相应得到1,2,3,...,n 的一个满足条件的排列.
此时,满足条件的1,2,3,...,n 的排列()12,,...,n a a a 有1k b -个.
(ii )假设n a n =,只需()121,,...,n a a a -是1,2,3,...,1n -的满足条件的排列,此时满足条件的1,2,3,...,n 的排列
()12,,...,n a a a 有1n b -个.
综上23111...,3n n b b b b n -=+++++≥.
因为3221142b b b =++==,
且当4n ≥时, ()2321111...2n n n n b b b b b b ---=++++++=,
所以对任意,3n N n +
∈≥,都有
1
2n
n b b -=. 所以{}n b 成等比数列.。