2021年高三下学期第二次阶段考试数学(文)试题含答案

2021年高三下学期第二次阶段考试数学（文）试题含答案
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．已知是虚数单位，则复数的虚部是
A ．0
B ．
C ．
D ．1
2．若角的终边过点，则的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1（a >0，b >0）的一条渐近线为，则它的离心率为
A ．32
B ．2
3
C ．
35
5
D ．
52
4．下列函数为偶函数的是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．“”是“，使得”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．设在△ABC 中，，，AD 是边BC 上的高，则的值等于（ ）
A ．0
B ．
C ． 4
D ．
7．设集合，集合。

若中恰含有一个整数u ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．等差数列的前n 项和为，且满足，，则，，…，中最大的项为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的体积是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知双曲线的两个焦点分别为，，P 是双曲线上的一点，且，则双曲线方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．在如图所示的程序框图中，当时，函数等于函数的导函数，若输入函数，则输出的函数
可化为（）
A．B．
C．D．
12．已知函数，若，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）
13．方程的根，则k=_____。

14．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，，若，则实数t=_______。

15．某几何体的三视图如图所示，当xy最大时，该几何体的体积为_________。

16．数列的通项，其前n项和为，则为_______。

三、解答题
17．（12分）已知函数
2
()4cos43cos1,
f x x x x x R
=+-∈。

（1）求函数的最小正周期、最大值及取最大值时自变量的取值集合；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ；若a ，b ，c 成等比数列，且，
求的值。

18．（12分）某高校在xx 年的自主招生考试中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第一组
∴
∴
22
731cos sin 812sin 4)12
(+=
+=+=-
B B B B f π
（12分）
18．解：（1）由题设可知，第三组的频率为0．06×5=0．3 第四组的频率为0．04×5=0．2 第五组的频率为0．02×5=0．1（3分） （2）第三组的人数为0．3×100=30 第四组的人数为0．2×100=20 第五组的人数为0．1×100=10因为第三、四、五组共有60名学生， 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组抽到的人数分别为：第三组 第四组
第五组，所以第三、四、五组分别抽取3人，2人，1人。

（6分） （3）设第三组的3位同学为，第四组的2为同学为, 第五组的1为同学为C 1，则从6为同学中抽2位同学有：
1213111211232122(,),(,),(),(,)(,),(,),(,),(,)A A A A A B A B A C A A A B A B
21313231121121(,),(,),(,)(,),(,),(,)(,)
A C A
B A B A
C B B B C B C 共15种可能……（9分）
其中第四组的2为同学中至少1为同学入选有，共9种可能。

所以第四组至少有1位同学被甲考官面试的概率为。

（12分）
19．解：（1）证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB ⊥AB ，平面ABCD∩平面ABEF=AB ， ∴CB ⊥平面ABEF ，∵AF 平面ABEF ，∴AF ⊥CB ，……2分 又∵AB 为圆O 的直径，∴AF ⊥BF ，∴AF ⊥平面CBF 。

……4分 （2）设DF 的中点为N ，则MN ，又， 则，MNAO 为平行四边形，………………6分
∴OM ∥AN ，又AN 平面DAF ，PM 平面DAF ，∴OM ∥平面DAF 。

8分 （3）过点F 作FG ⊥AB 于G ，∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，
∴FG ⊥平面ABCD ，∴，………………10分
∵CB⊥平面ABEF，∴
1111
3326
F CBE C BFE BFE
V V S CB EF FG CB FG --∆
==⋅=⋅⋅⋅=
，
∴………………12分
20．解：（1）因为点在椭圆C上，所以，又椭圆C的离心率为，所以，即，所以，
所以椭圆C的方程为（4分）
（2）设，，
①当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为，，
由，得
22222
000
(34)(88)(48412)0
k x ky k x y ky k
++++++-=
，
所以，因为P为MN中点，所以，即，
所以，因为直线，所以，所以直线的方程为
，即，显然直线恒过定点（10分）
②当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为，
此时直线为x轴，也过点综上所述，直线恒过定点（12分）（此题还可以用点差法）
21．解：（1）当时，
∴
∵，∴时，；时，
即在上单调递减，在上单调递增
∴在处取得最小值，即。

（2）由题意，对任意的，总有成立。

令，，则函数在上单调递增
∴在上恒成立，
∴在上恒成立。

构造函数则
∴F（x）在上单调递减，在上单调递增
（i）当，即时，F（x）在上单调递减，在上单调递增
∴∴，从而
（ii）当，即时，在上单调递增
，从而
综上，当时，，时，
22．解：（1）连结DE，交BC为G，由弦切角定理得，，而，故．又因为DB⊥BE，所以DE 为直径，，由勾股定理，可得DB=DC。

（2）由（1），，DB=DC，故DG是BC的中垂线，所以，圆心为O，连结BO，则，，所以CF⊥BF，故外接圆半径为。

23．解：（1）将，消去参数t，化学普通方程，
即：，
将代入得
所以极坐标方程为。

（2）C2的普通方程为，解得或。

所以C1与C2交点的极坐标为。

24．解：（1）当a=-2时，不等式化为，
设函数，则
1
5,
2
1
2,1
2
36,1
x x
y x x
x x
⎧
-<
⎪
⎪
⎪
--≤≤
⎨
⎪
->
⎪
⎪⎩
其图象如图所示
从图象可知，当且仅当时，y<0，所以原不等式的解集是；
（2）当，，不等式化为，
所以对都成立，故，即，
从而a的取值范围是。

126402 6722 朢uJ33992 84C8 蓈38904 97F8 韸25955 6563 散23723 5CAB 岫39881 9BC9 鯉30505 7729 眩30420 76D4 盔22106 565A 噚22383 576F 坯。