MBA管理类联考数学公式大全

MBA联考数学公式大全数列
一.数列的定义
通常简记为{a n}
二.数列的通项公式
a n与n之间的关系，一般用a n=f(n)来表示
三.数列的分类
（1）有穷数列和无穷数列
（2）单调数列、摆动数列、常数列
四. a n与S n的关系
a n={s1(n=1)
s n−s n−1(n≥2)
等差数列
一.等差数列的定义
a n−a n−1=d(n∈N∗，n≥2)或a n+1−a n=d(n∈N∗)
二.等差数列的通项公式
a n=a1+(n−1)d=a1+dn−d=dn+a1−d
⇓⇓
d=a n−a1
n−1
a n与n的一次函数关系，其斜率为d，在y轴上的截距为a1−d
a n=a m+(n−m)d
⇓
d=a n−a m
n−m
(n≠m)
三.等差数列的增减性
d>0 递增数列
d<0 递减数列d=0常数列四.等差中项
A=a+b
2
⟺a,A,b三个数构成等差数列
五.等差数列的前n项和公式（重点）
S n=(a1+a n)n
2
=na1+
n(n−1)
2
d=
d
2
n2+(a1−
d
2
)n
（当公差d不为0时，可将其抽象为关于n的二次函数f(n)=d
2n2+(a1−d
2
)n）
六.等差数列的性质
1.若公差d>0，次数列为递增数列；若公差d<0，次数列为递减数列；若d=0，次数列为常数列。

2.有穷等差数列中，与首末两项距离相等的两项和相等，并且等于首末两项之和；特别的若项数为奇数，还等于中间项的2倍。

3.若m,n,p,k∈N∗,且m+n=p+k,则a m+a n=a p+a k，特别的若m+n=2p,则a m+
a n=2a p此条性质可推广到多项的情形，但要注意等式两边下标和相等，并且两边和的项数相等。

4.等差数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等差数列，但剩下的项不一定是等差数列。

5.等差数列连续几项之和构成的新数列依然是等差数列，即S n,S2n−S n,S3n−S2n⋯是等差数列，d∗=n2d（n代表片段里面的元素个数）
总结为：片段和公式(S2n−S n)−S n=n2d
6.若数列{a n}和数列{b n}是等差数列，则{ma n+kb n}也是等差数列，其中m,k为常数。

7.项数为偶数2n的等差数列a n，有S2n=n(a1+a2n)
七.等差数列的判定方法
1.定义法：a n −a n−1=d ⟺{a n }是等差数列；
2.通项公式法：a n =pn +q ⟺{a n }是等差数列；
3.中项公式法：2a n+1=a n +a n+2⟺{a n }是等差数列；
4.前n 项和公式法：S n =An 2+Bn ⟺{a n }是等差数列。

等比数列
一.等比数列的定义
a n a n−1
=q (n ∈N ∗,n ≥2)或者
a n+1a n
=q (n ∈N ∗)
（公比不能为0；当q =1时，数列为常数列） 二.等比数列的通项公式 a n =a 1q n−1=a k q n−k =a 1q
q n
三.等比数列的增减性
{a 1>o q >1或{a 1<o
0<q <1⟺{a n }为递增数列 {a 1>o 0<q <1或{a 1<o
q >1⟺{a n }为递减数列 q =1⟺{a n }为常数列 q <0⟺{a n }为摆动数列 四.等比中项
若G 是a 与b 的等比中项，则G 2=ab 五.等比数列的前n 项和公式（重点） 当q ≠1时，S n =
a 1(1−q n )1−q
=
a 1−a n q 1−q
当q =1时，S n =na 1
特点：当q ≠0，且q ≠1可以化为：S n =a 11−q −a
1
1−q q n
六.等比数列的性质
1.有穷等比数列中, 与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积；特别地若项数为奇数，还等于中间项的平方;
2.若m,n,p,k∈N∗∗,且m+n=p+k,则a m a n=a p a k，特别地若m+n=2p,则a m a n=
a p2;
3.等比数列每隔相同项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成新数列依然是等比数列，但剩下的项不一定是等比数列;
4.{λa n}(a≠0)，{|a n|}皆为等比数列;
5.等比数列连续几项之和构成的新数列依然是等比数列，即S n,S2n−S n,S3n−S2n是等比数列，即q∗=q n;
总结为：片段和公式,S2n−S n
S n
=q n
6.若数列{a n}和数列{b n}是等比数列，则{ma n b n}，{ma n
b n
}也是等比数列，其中m为常数。

七.等比数列的判定方法
1.定义法：a n+1
a n
=q⟺{a n}是等比数列
2.通项公式法：a n=cq n⟺{a n}是等比数列
3.中项公式法：a n+12=a n a n+2⟺{a n}是等比数列
4.前n项和公式法：S n=A−Aq n⟺{a n}是等比数列
数列求和
一.裂项相消法
1 (n−1)n =
1
n−1
−
1
n
1
(2n−1)(2n+1)=
1
2
(
1
2n−1
−
1
2n+1
)
总结如下：
1 (大)(小)=
1
大−小
(
1
小
−
1
大
)
特殊列项：
1
√n+1+√n
=√n+1−√n
二.错位相减法
1.列举；
2.乘公比；
3.①-②；
4.等比求和；
5.化简
例：a n=(2n−1)∙(1
2)
n−1
,求{a n}前n项和.
列举：S n=a1+a2+⋯+a n−1+a n
S n=1∙(1
2)
+3∙(1
2
)
1
+⋯+(2n−1)∙(1
2
)
n−1
①
乘公比：
1 2S n=1∙(1
2
)
1
+3∙(1
2
)
2
+⋯+(2n−1)∙(1
2
)
n
②
①-②：
1 2S n=1+2∙(
1
2
)
1
+⋯+2∙(
1
2
)
n−1
−(2n−1)∙(
1
2
)
n
等比求和：
1 2S n=1+2∙
1
2(1−
1
2
n−1
)
1−
1
2
−(2n−1)(
1
2
)
n
化简：
1 2S n=1+2∙(1−
1
2
n−1
)−(2n−1)∙(
1
2
)
n
S n=(−4n−6)∙(1
2) n
特殊公式总结
1.若{a n}是等差数列，则S n,S
2n
−S n,S3n−S2n⋯也是是等差数列，新等差数列的公差d∗=n2d;
2.若{a n }是等比数列，则S n ,S 2n −S n ,S 3n −S 2n ⋯也是等比数列，新等比数列的 公比q ∗=q n ；
3.若{a n }是等差数列,且已知S m =n ，S n =m ，那么S m+n =−(m +n) ； 4 .若{a n }是等差数列,且已知S m =S n ，那么S m+n =0； 5.若{a n }是等差数列,且已知a m =n , a n =m ，那么a m+n =0；6.若等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，则有a k b k
=S
2k−1
T 2k−1
推导：
a k
b k
=2a k 2b k
=a 1+a 2k−1
b
1+b 2k−1
=
a 1+a 2k−1
2
(2k−1)b 1+b 2k−1
2
(2k−1)=S
2k−1
T 2k−1
7.1+2+⋯+n =
n (n+1)2
8.12+22+⋯+n 2=
n (n+1)(2n+1)
69.13
+23
+⋯+n 3
=[
n (n+1)2
]
2算术与代数
一. 实数的分类
实数（R ）
有理数 正有理数
负有理数
正整数
正分数 负整数
负分数
有限小数，无限循环小数
无理数
正无理数
负无理数
无限不循环小数
二.数的概念和性质
1.自然数（N）：零和正整数统称为自然数。

2.整数（Z）：正整数、零、负整数，统称为整数。

3.分数：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数叫做分数。

4.百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，通常用“%”表示。

5.质数：大于1 的正整数，如果除了1 和自身之外，没有其他约数的数就称为质数（素数）。

6.合数：一个正整数除了能被1 和自身整除之外，还能被其他正整数整除，这样的正整数就称为合数。

7.倍数与约数：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，称b为a的约数。

8.公约数与最大公约数：几个自然数公有的约数，称为这几个自然数的公约数；公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。

9.公倍数与最小公倍数：几个自然数共有的倍数称为这几个自然数的公倍数；其中除0 以外最小的一个公倍数，称为这几个数的最小公倍数。

10.奇数：不能被2整除的整数。

11.偶数：能被2整除的整数，包括0。

12.偶数奇数运算性质：
奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数；
奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数。

三.实数的运算
乘方与开方（乘积与分式的方根、根式的乘方与化简）：
a x∙a y=a x+y，a x
=a x−y
a y
(ab )x =a x b x ，(a x )y =a xy a
−m
=
1
a m ，(a b
)m =a m
b m ，a n
m
=√a n m
(√a n
)m
=√a m n
，√a mp np
=√a m n
(a ≥0)
注意：a 0=1(a ≠0)
绝对值
一.绝对值定义
1.实数a 的绝对值定义为：|a |={
a
a ≥0−a
a <0
2.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值还是零。

3.绝对值的几何意义：表示一个实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

其中：x =a 表示与原点的距离为a 的点 ；x − b =a 表示与b 点的距离为a 。

二.绝对值的性质
1.对称性：|−a|=|a | ，即互为相反数的两个数绝对值相等。

2.等价性：√a 2=|−a |，|−a |2 =a 2 （a ∈R ）。

3.自比性：−|−a |≤−a ≤|−a |，进而推理可得|x |x =x
|x |={
1 x >0
−1
x >0
4.非负性：即|a |≥0，任何实数a 的绝对值非负，其他具有非负性的因素：平方数（或偶 次乘方），如a 2,a 4；开偶次根号,√a ,√a 4。

5.同号异号性质：|x +y |=|x |+|y |⟹xy ≥0
|x −y |=|x |+|y |⟹xy ≤0 |x −y |>|x +y |⟹xy <0 |x −y |<|x +y |⟹xy >0
6.三角不等式：|a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b |
（其中：左边等号成立条件：ab <0且 |a |>|b |； 右边等号成立条件：ab ≥0）
推论：|a |-|b |≤|a −b |≤|a |+|b |，此时，左边等号成立条件为ab ≥0且|a |>|b |；右边 等号成立条件为ab ≤0 。

三.两个特殊绝对值模型
1.平底锅型：f(x) = |x −a|+|x −b| ，此种函数表达式，没有最大值，只有最小值。

且在两个零点之间取得最小值 |a −b| 。

图像的表现为两头高，中间平，类似于平底锅。

2.Z 字型： f(x) = |x −a|-|x −b|此种函数表达式，既有最大值也有最小值，分 别在 零点的两侧取得且两个最值为±| a −b|。

图像的表现为两头平，中间斜。

例： f (x)=|x −1|−|x −3| max =2 min =−2 四.基本不等式
|x |<a (a >0)的实数所有对应的就是全部与原点距离小于a 的点
即|x |<a⟹−a <x <a (a >0)；同理可得|x |>a⟹x <−a 或x >a （a >0） 总结：大于取两边，小于取中间
比与比例
一.比
两个数相除，又称为这两个数的比，即a:b =a
b ； 二.比例的基本性质
1.两个外项的积等于两个内项的积，即a:b =c:d ⟺ad =bc
2.比的前项后项同时乘或除以相同的数（除0），比值不变；
3.a:b =c:d⟺b:a =d:c⟺a:c =b:d ⟺c:a =d:b 三.比例的基本定理 1.合比定理：a
b =c
d ⟺a+b b
=c+d d 2.分比定理：a
b =
c
d ⟺
a−b b
=
c−d d
3.合分比定理：a b
= c d
=
a±mc b±md 4.等比定理：a
b = c
d =e
f =a
b =a+c+e
b+d+f
平均值
一.算术平均值
设n 个数x 1, x 2,⋯x n ，称x ̅=x 1+ x 2+⋯+x n
n
为这n 个数的算术平均值，简记为x
̅=∑x i
n i=1n
二.几何平均值
设n 个正整数x 1, x 2,⋯x n ，称x g =√x 1x 2⋯x n n 为这n 个数的几何平均值，简记为x g =√∏x i n i=1n （几何平均值是相对于正数而言） 三.基本定理
当x 1, x 2,⋯x n 为n 个正数时，他们的算术平均值不小于几何平均值 即:
x 1+ x 2+⋯+x n
n
≥√x 1x 2⋯x n n ，当且仅当x 1= x 2=⋯=x n 时，等号成立。

四.其他定理 1.若a >0,b >0,则
a+b 2
≥√ab 当且仅当a =b 时等号成立。

2.当a +1
a ≥2,(a >0),即对正数而言互为倒数的两个数之和不小于2，且当a =1时取得最小值是2。

代数式
一.代数式的分类
有理式
无理式
整式
分式
单项式
多项式
代数式
二.整式（单项式、多项式）
1.常用公式
•平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)
•完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2
•立方和与立方差公式：a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)
•三元完全平方和公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
•完全立方和公式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
•(a−b)2+(a−c)2+(b−c)2=2[a2+b2+c2−ab−bc−ac]
2.多项式因式的分解
把一个多项式表示成几个整式之积的形式，叫作多项式的因式分解。

在指定数集内因式分解时，通常要求最后结果中的每一个因式均不能在该数集内继续分解。

多项式因式分解常用方法如下：
方法一：提公因式法
方法二：公式法（乘法公式从右至左，即为因式分解公式）
方法三：求根法
若方程a0x n+a1x n−1+a2x n−2+⋯+a n=0
有n个根x1,x2,⋯,x n，则多项式
a0x n+a1x n−1+a2x n−2+⋯+a n=a0(x−x1)(x−x2)(x−x3)⋯(x−x n)
方法四：二次三项式的十字相乘法
方法五：分组分解法
方法六：待定系数法
3.余数定理和因式定理
①余数定理：F(x)=a0x n+a1x n−1+a1x n−2+⋯+a n，则F(x)除以一次因式(x−a)所得的余数一定是F(a)；因为F(x)=(x−a)g(x)+r，令x=a，必有F(a)=r.
②因式定理：多项式F(x)含有因式(x−a)，即F(x)被(x−a)整除的充要条件是F(a)=0
（即r=0）
二.分式及运算
1.定义：若A、B表示两个整式，且B≠0，B中含有字母，则称A
B
是分式。

分子和分母没有正次数的公因式的分式，称为最简分式（或既约分式）.
2.基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不
变，即有A
B =mA
mB
(m≠0).
方程与不等式
一.方程
1.一元一次方程、二元一次方程
一元一次方程的形式是ax+b=0，其中a≠0，它的根为x=−b
a
二元一次方程组的形式是{a1x+b1y=c1
a2x+b2y=c2
，如果a1b2−a2b1≠0，则方程组有唯一解(x,y) 2.一元二次方程
一元二次方程的形式是ax2+bx+c=0(a≠0)
（1）判别式：∆=b2−4ac
（2）求根公式：x=−b±√b2−4ac
2a
(b2−4ac≥0)
（3）根与系数的关系（韦达定理）：
x1+x2=−b
a
，x1x2=c
a
利用韦达定理可以求出关于两个根的扩展式：
①：1
x1+1
x2
=x1+x2
x1x2
②：1
x12+1
x22
=(x1+x2)2−2x1x2
(x1x2)2
③：|x1−x2|=√(x1−x2)2=√(x1+x2)2−4x1x2=√∆
|a|④：x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2
⑤：x 13+x 23=(x 1+x 2)(x 12−x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)3−3x 1x 2(x 1+x 2)⑥：√x 1x 2
+√x
2x
1
=
12√x x （4）二次函数图像与根的关系
y =ax 2
+bx +c =a (x +b 2a )2+
4ac −b 2
4a
其图像是以x =−
b
2a
为对称轴，(−b
2a
,
4ac−b 24a
)为顶点的抛物线
3.简单的指数方程和对数方程 对数函数运算性质：
log a xy =log a x +log a y ，log a x
y =log a x −log a y
log a x y =y log a x ，log a x =log b x log b a
log a b =
1log b a
y =log 10x =lgx （常用对数） 二.不等式
1.不等式的基本性质及基本不等式、绝对值不等式
x
y
o x
y
o x
y
o
（1）不等式运算
①a>b⟺a+c>b+c
②若c>0，a>b⟺ac>bc；若c<0，a>b⟺ac<bc
③a>b，c>d⟺a+c>b+d；a>b，c>d⟺a−d>b−c
④若a，b同号，则a>b⟺1
a <1
b
⑤若a>0，b>0，则a>b⟺a n>b n；若a>0，b>0，则a>b⟺√a
n>√b
n （2）基本不等式
基本不等式的形式：
a2+b2≥2ab (a，b∈R)
根式形式：
a+b 2≥√ab，
a+b+c
3
≥√abc
3 (a，b，c∈R
+
)
分式形式：
a b +
b
a
≥2 (a，b∈R+)
倒数形式：
a+1
a
≥2 (a∈R+)，a+
1
a
≤−2 (a∈R−)
（3）绝对值不等式
①|a+b|≤|a|+|b|(ab≤0等号成立)
②|a+b|≥|a|−|b|(等式成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|)
③|a−b|≤|a|+|b|(ab≤0等号成立)
④|a−b|≥|a|−|b|(等式成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|)
⑤−|a|≤a≤|a|
⑥有限个实数之和的绝对值不大于它们的绝对值之和，即：
|a1+a2+⋯+a n|≤|a1|+|a2|+⋯+|a n|
当它们同号时等号成立
2.一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的求解
（1）一元二次不等式
记f(x)=ax2+bx+c (a>0)，方程f(x)=0的两根为α，β，且α>β，∆=b2−4ac
①∆<0，f(x)>0的解集为R，f(x)>0的解集为空集；
②∆=0，f(x)>0的解集为{x|x≠−b
2a
，x∈R}，f(x)<0的解集为空集；
③∆>0 ，f(x)>0的解集为{x|x>α或x<β}，f(x)<0的解集为{x|β<x<α}
一元二次不等式的解，也可根据二次函数y=ax2+bx+c的图像求解。

注意对任意 x 都成立的情况：
ax2+bx+c>0对任意都 x 成立，则有：a>0 且 ∆<0;
ax2+bx+c<0对任意都 x 成立，则有：a<0 且 ∆<0 .
（2）其他不等式
①简单的分式不等式
f(x) F(x)>0⟺{
f(x)F(x)>0
F(x)≠0
f(x) F(x)≥0⟺{
f(x)F(x)≥0
F(x)≠0
②简单的绝对值不等式
|f(x)|>a⇔f(x)>a或f(x)<−a(a>0)
|f(x)|<a⇔−a<f(x)<a(a>0)
|f(x)|>|F(x)|⟺f2(x)>F2(x)
|f(x)|<|F(x)|⟺f2(x)<F2(x)排列组合与概率
一.两个原理
1.加法原理
如果完成一件事可以有n 类办法，在第i 类办法中有m i 种不同的方法(i =1,2,⋯,n )，那么完成这件事共有N =m 1+m 2+⋯+m n 种不同的方法。

2.乘法原理
如果完成一件事需要分成n 个步骤，做第i 步有m i 种不同的方法(i =1,2,⋯,n )，那么完成这件事共有N =m 1∙m 2∙⋯∙m n 种不同的方法。

二.排列与组合数 1.排列与排列数
（1）定义：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个，按照一定的顺序排列成一列，称为从n 个元素中取出m 个元素的一个排列，所有这些排列的个数，称为排列数，记A n m
（2）排列数公式：
A n m =n (n −1)(n −2)⋯(n −m +1)=
n!
(n −m )!
注：阶乘（全排列）A n m =m! 2.组合与组合数
（1）定义：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个并成一个组，称为从n 个元素中取出m 个元素的一个组合，所有这些组合的个数，称为组合数，记为C n m
（2）组合数公式：
C n
m =A n m m!=
n!m!(n −m )!
（3）基本性质：
C n m =C n n−m ，C n+1m =C n m +C n
m−1
∑C n k n
k=0
=2n
三.古典概率的基本概念 1.概率的性质
0<P(A)<1，P(∅)=0，P(Ω)=1
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
如A，B互不相容，则P(A∪B)=P(A)+P(B)
2.几种特殊事件发生的概率
（1）等可能事件（古典概型）：P(A)=m
n
（2）互不相容事件：P(A∪B)=P(A)+P(B)
对立事件：P(A)+P(A̅)=1
（3）相互独立事件：P(A∩B)=P(A)P(B)
（4）独立重复试验
如果在一次试验中某件事件发生的概率为p，那么在n这次独立重复试验中这件事件恰好发生k次的概率为：P n(k)=C n k p k(1−p)n−k
四.随机事件与概率
1.概率运算公式
（1）P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)（加法公式）
A，B互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（2）P(A̅)=1−P(A)
（3）P(AB)=P(A)∙P(B)（A，B独立）（乘法公式）
2.独立试验序列
（1）伯努利概型：n次试验中事件发生k次的概率
P n(k)=C n k p k(1−p)n−k
（2）直到第k次试验，事件才首次发生
P k=(1−p)k−1∙p
（3）做几次伯努利试验，直到第n次，事件才发生k次
P =C n−1k−1p k (1−p )
n−k
几何
平面几何 一.三角形
（1）三角形内角之和等于180° 三角形外角等于不相邻的两个角之和。

（2）三角形的面积公式：
S =
1
2ah =12
ab sin C =√p(p −a )(p −b )(p −c ) 其中h 是a 边上的高，C 是a ，b 边所夹的角，p 为三角形周长的一半. （3）三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. （4）三角形三条中线的交点是重心，则AG ：GD=2：1
（5）连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且长度等于第三边的一半.
（6）几种特殊的三角形（直角，等腰，等边）： 勾股定理：c 2=a 2+b 2
常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,13
射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

在下图直角三角形ABC 中，∠C 为直角，斜边AB 上的高CD 分斜边为AD 和 BD ，则有：
CD 2=AD ∙BD ； AC 2=AD ∙AB ； BC 2=BD ∙BA 等腰直角三角形的三边之比为1：1：√2 等腰三角形底边上的中线和高重合
G
b D
B
C a c
A
A
B
D
C
（7）三角形四心：
内心：三条内角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）；
外心：三条边的垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）；
重心：三条中线的交点；
垂心：三条高线的交点；
注意：等边三角形“四心”合一
二.四边形
1.矩形（正方形）
矩形两边长为a，b，面积为S=ab，周长为l=2(a+b)，对角线长为√a2+b2
2.平行四边形（菱形）
平行四边形两边长是a，b，设底边为b，高为h，面积为S=bh，周长为l=2(a+b)
性质：①平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分；
②一对对边平行且相等的四边形是平行四边形；
③平行四边形的面积为底乘高：S=a h（其中a,b分别为平行四边形两边长，以a
为底边的高为h）；周长c=2(a+b)
3.梯形
上底为a，下底为b，高为h，中位线为1
2(a+b),面积为S=1
2
(a+b)h
三.圆和扇形
1.圆
圆的圆心为o，半径为R，则：周长为l=2πR
面积为S=πR2
2.扇形的弧长 l =rθ=
α
360
×2πr 其中θ为扇形角的弧度，α为角度，r 为扇形半径 3.角的弧度
把圆弧长度和半径的比值称为圆周角的弧度。

度与弧度的换算关系：1弧度=
180°π
,1°=
π180°
几常用的角：360°=2π，180°=π，90°=π2
， 60°=π3
，45°=π4
，30°=π6
3.扇形
扇形OAB 中，圆心角为θ，则AB 弧长l =Rθ，扇形面积S =12
Rl =1
2
R 2θ，弓形面积：S =
S 扇
−S ∆AOB
4.圆的图形特点
圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任一直线，反映圆的轴对称性质的定理是“垂径”定理及其逆定理：凡（1）过圆心的线，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的弧，在图形中出现两个，就能推出其他两个。

圆有旋转不变性，反映这条性质的“弦、弧、弦心距、圆心角之间的关系”定理：在同圆或等圆中，（1）弦相等，（2）弧（劣弧）相等，（3）弦心距相等，（4）圆心角相等，只要具有其中一个，就能推出其他几个。

4.圆的性质
在圆o 中，半径为r ，线段AB 1,AB 2是过圆外点A 的两条切线，则： （1）半径为r 的圆，面积等于πr 2,圆周长等于2πr ； （2）直径所对的圆周角是直角；
（3）弧所对应的圆周角是其所对应的圆心角的一半；
（4）等弧对等角（圆周角、圆心角）；
（5）圆的切线在切点处与半径垂直；
（6）从圆外一点所作圆的两根切线相等。

即：AB1=AB2
解析几何
一.平面直角坐标系
1.基本概念：
（1）平面直角坐标系、象限
平面内点的坐标表示为：P(x,y)
其中：x为点的横坐标，y为点的纵坐标。

象限中的点坐标关系如右图所示。

（2）两点间距离公式：
两点A(x A,y A)及B(x B,y B)间的距离d=√(x A−x B)2+(y A−y B)2
特别的：点P(x,y)与坐标原点O(0,0)的距离d为d=√x2+y2
（3）中点公式：
设A(x A,y A),B(x B,y B)
则线段AB的中点C(x C,y C)的坐标为：x C=1
2(x A+x B),y C=1
2
(y A+y B).
二.平面直线
1.直线的倾斜角与斜率：
①直线的倾斜角：直线与x轴正方向的夹角，记为α，且0°<α<180°
②直线的斜率：反映直线的倾斜程度，记为k= tanα，（α≠90°）常见直线切斜角所对应的直线斜率值：
第一象限x>0,y>0
第二象限
x<0,y>0
第三象限
x<0,y<0第四象限
x>0,y<0
x y
2.斜率计算公式
经过点A (x A , y A )和B (x B , y B )的直线L 的斜率为 k = tanα=
y A −y B x A −x B
3.直线方程的常见形式：
①水平直线与竖直直线：过点(x 0, y 0)的水平直线为y =y 0；竖直线为x =x o ；②直线的点斜式：y −y 0=k (x −x 0)，表示斜率为k ，且过点(x 0, y 0)的一条直线；③直线的斜截式：y = kx +b 表示：斜率为k 且与y 轴相交于点(0, b ) 的直线，其中称b 为直线的纵截距；
④直线的两点式：过点A (x A , y A )和B (x B , y B )且斜率为k =y A −y B x A −x B
的直线方程为：
y −y A =k(x −x A )=y A −y
B x A
−x B
(x −x A )⟺y−y A
y
B −y A
=x−x A
x
B −x A
；
⑤直线的截距式：x a
+y
b
=1.表示：直线与 x 轴及 y 轴都相交且直线与 x 轴交于点
(a,0)，与 y 轴交于点(0, b)，称a 为直线的横截距，b 为直线的纵截距； ⑥直线的一般方程：ax + by +c =0（a 与b 不全为 0）若a =0，方程则为水平直线 y =−c
b ；
若b =0 ，方程则为竖直直线 x =−c
a ； 若c =0，直线经过原点(0,0)；
若b ≠0，则方程可改写为 y =−a
b x −c
b ，
此时： 直线的斜率为 k =−a
b
，纵截距为 y =−c
b
，
横截距为：x =−c
a 4.两直线位置关系：
斜截式 : y =k 1x +b 1, y =k 2x +b 2；
一般式：a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0；
5.两直线的夹角公式：
设直线l1和直线l2的斜率分别为k1和k2，
记θ是两直线夹出的锐角，则tanθ=|k1−k2
|
1+k1k2
性质：①两直线l1和l2平行（含重合）的充要条件是k1=k2；
②两直线l1和l2互相垂直的充要条件是k1k2=−1.
推论：对于两直线l1：a1x+b1y+c1=0和l2:a2x+b2y+c2=0，若l1//l2⇔a1b2−a2b1=0；若l1⊥l2⇔a1a2+b1b2=0.
6.点到直线的距离公式：
设点(x0,y0)是直线ax+by+c=0外的一个点，则它到直线的距离d的计算公式为d=00如果l取y=kx+b的形式，则为d=00
推论:
①两平行直线ax+by+c1=0与ax+by+c2=0间距离为d=12；
②两平行直线y=kx+b1与y=kx+b2间距离为d=12
三.圆
1.圆的定义：
O
第一定义：在一个平面内，线段OA 绕固定端点O 旋转一周， 另一个端点A 随之旋转形成的图形叫做圆。

第二定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的方程：
（1）圆的标准方程： 以O (a ，b) ,为圆心，r 为半径的圆的方程为(x −a )2+(y −b )2=r 2.
（2）圆的一般方程：形如x 2+y 2+Dx +Ey + F = 0的方程，称为圆的一般方程。

（一般式成立的条件, D,E,F 必须使方程能化为圆的标准方程， 即： (x +D 2)2
+(y +E 2)2
=
D 2+
E 2−4F
4
. 当且仅当：
D 2+
E 2−4F
4
>0，即D 2+E 2−4F >0时成立）
3.直线与圆的位置关系 直线l :y =kx +b ;
圆O ：(x −x 0)2+(y −y 0)2=r 2 ；d 为圆心（x 0, y 0）到直线l 的距离.
4.圆与圆的位置关系
圆O 1：(x −x 1)2+(y −y 1)2=r 12 ；圆O 2：(x −x 2)2+(y −y 2)2=r 22(设r 1>r 2); d 为圆心（x 1, y 1）到圆心（x 2, y 2）的距离。

O
O
四.常用对称关系 设点坐标为(x ,y )
关于X 轴对称的对称点的坐标为(x ,−y ) 关于Y 轴对称的对称点的坐标为(−x , y ) 关于原点对称的对称点坐标为(−x ,−y )
关于点(a ,b )对称的对称点坐标为(2a −x ,2b −y ) 关于直线y =x 对称的对称点坐标为(y ,x ) 关于直线y =−x 对称的对称点坐标为(−y ,−x ) 关于直线y =x +m 对称的对称点坐标为(y −m , x +m ) 关于直线y =−x +m 对称的对称点坐标为(m −y , m −x )
·o 1
o 2· ·o
1
o 2· ·o 1
o 2·
·o 1
o 2·
·o 1
o 2·
立体几何
一.长方体
1.体积V=abc，
2.全面积S
全
=2(ab+ac+bc)，
3.体对角线d=√a2+b2+c2
4.当a=b=c时，称为正方体
体积：V=a3
全面积：S
全
=6a2
体对角线：d=√3a
二.圆柱体
圆柱体底面半径为r，高为h，则：
1.体积V=πr2h；
2.侧面积S=2πrh；其侧面展开图为一个长为2πr，宽为h的长方形
3.全面积S
全=S
侧
+S
上底+下底
=2πrh+2πr2.
三.圆锥体
设圆锥体的底面圆半径是r,高为h，母线长为l 1.体积：V=1
3
πr2h
2.母线：l=√r2+h2
3.侧面积：S
侧=πrl=πr∙√r2+h2，其侧面展开图为扇形，圆心角为θ=2πr
l
4.全面积：S
全
=πr2+πrl=πr2+πr∙√r2+h2四.球体
c
b
a
d
a
a
a
h
r
h
l
r
A
r
o
1.半径为r的球体，体积V=4
3
πr3；
2.表面积S=4πr2
函数与数据分析
一.函数
1.指数函数
（1）概念：一般地，函数y=a x（a＞0且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量；（2）指数运算法则：
①a r∙a s=a r+s
②a r÷a s=a r−s
③(a r)s=a rs
④(ab)r=a r b r
⑤a0=1,a−p=1
a p
(a≠0)
2.对数函数
（1）对数的意义：若a b=N,则b=log a N(a>0且a≠1);
（2）b=log a N中a叫做底数，N叫做真数，b叫做以a为底N的对数；
（3）对数恒等式：a log a N=N(a>0,a≠1且N>0)
（4）对数运算法则：
①log a(MN)=log a M+log a N
②log a(M
N
)=log a M-log a N
③log a M n=n log a M
④log
a N
b M=M
N
log a b
B
0<a<1
1 1
0<a<1
1
a>1
⑤log a1=0;log a a=1;lg2+lg5=1
（5）换底公式及其推论：log a N=log b N
log b a
（6）常用对数与自然对数：
①以10为底的对数叫做常用对数，记作log10N，简记为lgN；
②以无理数e（e=2.71828…）为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为ln N.
3.指数函数与对数函数的比较
二.数据分析
一.平均数、众数与中位数
1.平均数：分为算术平均数和加权平均数。

（平均数、众数、中位数是刻画数据“平均水平”的数据代表）
（1）算术平均数：是指n个数据的和的平均值，公式：x=1
n (x1+x2+x3+⋯+x n)；
1 a>1
（2）加权平均数：即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。

平均数的大小不仅取决于总体中各单位的标志值（变量值）的大小，而且取决于各标志值出现的次数（频数），由于各标志值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用，因此叫做权数。

2.众数：是一组数据中出现次数最多的数。

3.中位数：顾名思义是一组数据中间位置的数，但考虑一组数可能有偶数个或奇数个，所以要注意强调取中位数的方法。

一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数。

二.极差、方差与标准差
（极差、方差、标准差是刻画数据“离散程度”的统计量）
1.极差：是指一组数据中最大数据与最小数据的差。

极差越大，表示这组数据越分散。

2.方差：是各个数据与平均数之差的平方的平均数
公式：S2=1
[(x1−x̅)2+(x2−x̅)2+⋯+(x n−x̅)2]
n
注意：连续五个整数的方差都是2；一组数据中每个数据增加相同数后的方差不变；
每个数据都扩大相同倍数后方差变为平方倍。

3.标准差：是方差的算术平方根，可以用来表征一组数据波动情况。

公式：s=√S2
三.二项式
1.基本概念
①二项式公式：(a+b)n=C n0a n+C n1a n−1b+⋯+C n r a n−r b r+⋯+C n n b n(n∈N∗)
②二项式展开式：右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式.
③二项式系数：展开式中各项的系数C n r(r=0,1,2,⋯,n).
④项数：共(r+1)项，是关于a与b的齐次多项式.
⑤通项：展开式中的第r+1项C n r a n−r b r叫做二项式展开式的通项。

用T r+1=C n r a n−r b r 表示.
2.关键点
①项数：展开式中总共有(n+1)项
②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。

(a+b)n与(b+a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列；b的指数从0逐项减到n，是升幂排列；各项的次数和等于n
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是C n0,C n1,C n2,⋯,C n r,⋯,C n n 项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。