上海民办邦德第四高级中学2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析

上海民办邦德第四高级中学2021-2022学年高三数学文模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）
A．y=e﹣x B．y=x3 C．y=lnx D．y=|x|
参考答案：
B
【考点】函数单调性的判断与证明．
【分析】根据函数单调性的性质分别进行判断即可得到结论．
【解答】解：对于选项A，y=e x为增函数，y=﹣x为减函数，故y=e﹣x为减函数，
对于选项B，y′=3x2＞0，故y=x3为增函数，
对于选项C，函数的定义域为x＞0，不为R，
对于选项D，函数y=|x|为偶函数，在（﹣∞．0）上单调递减，在（0，∞）上单调递增，
故选：B．
2. 设若是与的等比中项，则的最小值为（）
A．8 B．4 C． 1 D．
参考答案：
B
试题分析：由题意，所以，则
，故选B.
考点：1.等比数列的性质；2.均值不等式的应用.
3. 已知向量=（1，x），=（﹣1，x），若2﹣与垂直，则||=（）
A．B．C．2 D．4
参考答案：C
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【分析】根据向量的坐标运算先求出，然后根据向量垂直的条件列式求出x的值，最后运用求模公式求||．
【解答】解∵，，
∴2=（3，x），由?3×（﹣1）+x2=0，解得x=﹣，或
x=，
∴或，∴||=，或||=．
故选C．
4. 抛物线y2=2px（p＞0）的焦点是F，弦AB过点F，且|AB|=8，若AB的倾斜角是α，且cosα是|x ﹣1|+|x﹣|的最小值，则p的值为（）
A．1 B．6 C．4 D．3
参考答案：
D
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】利用绝对值不等式，求出|x﹣1|+|x﹣|的最小值，可得AB的倾斜角，设出直线AB的方程，与抛物线联立，利用抛物线的定义及弦长公式建立方程，即可得出结论．
【解答】解：由题意，|x﹣1|+|x﹣|≥|x﹣1﹣x+|=，
∵AB的倾斜角是α，且cosα是|x﹣1|+|x﹣|的最小值，
∴α=60°，
设过焦点的直线方程为y=（x﹣），
联立抛物线方程，可得3x2﹣5px+p2=0，
∴x1+x2=p，x1x2=p2，
∴|AB|=x1+x2+p=p=8，
∴p=3．
故选D．
5. 化简
A. B. C. D.
参考答案：
D
6. 若变量x、y满足约束条件的最大值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案：
C
7. 在复平面内，复数z=i（1+i），那么|z|=（）
A．1 B．C．D．2
参考答案：
B
【考点】复数求模．
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：复数z=i（1+i）=﹣1+i，
∴|z|=．
故选：B
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
8. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D 【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质
解析：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值．故选D.
【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．
9. 已知且，则复数
A.必为实数
B.必为虚数
C.是虚数但不一定是纯虚数
D.可能是实数，也可能是虚数参考答案：
A
10. 若，，且，则向量与的夹角为( )
A 30°
B 60°
C 120°
D 150°
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等比数列的值为．
参考答案：
3
12. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2013)＝__________．
参考答案：
3
略
13. 若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________. 参考答案：
9
根据不等式组约束条件可知目标函数在(3,0)处取得最大值为9.
14. 已知正数x，y满足，则当x______时，的最小值是______．
参考答案：
1
【分析】
将化简成只关于的解析式,再换元利用基本不等式求解即可.
【详解】正数x,y满足,
,可得,
,
令则且,
,
当且仅当即,此时取最小值1,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用,需要换元后再利用基本不等式,属于中等题型.
15. 化简：
参考答案：
-5
16. 在中，若，的面积为，则角 .
参考答案：
略
17. 已知，且，那么取最小值时，．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且
△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，设P（x1，y1），Q（x2，y2），于是设直线l的方程为y=x+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，结合垂心的定义和向量垂直的条件，化简整理计算即可得到所求直线方程．
【解答】解：（Ⅰ）由△OMF是等腰直角三角形，得c=b=1，，
故椭圆方程为
．
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F为△PQM的垂心，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），因为M（0，1），F（1，0），故k PQ=1．
于是设直线l的方程为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0．
由△＞0，得m2＜3，且，．
由题意应有，又，
故x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0．
即．
整理得．
解得或m=1．
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1．
当时，所求直线l存在，且直线l的方程为．
19. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/
千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 若该商品的成本为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
参考答案：
解：(Ⅰ)因为时，所以；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知该商品每日的销售量，
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
；
，令得
当，，在上递增；
当，，在上递减，所以当时函数取得最大值
答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.
略
20. 在等腰梯形ABCD中，，，，N是BC的中点．将梯形ABCD绕AB旋转，得到梯形（如图）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
A
C
D
B
N
参考答案：
（Ⅰ）证明：因为，N是BC的中点
所以，又
所以四边形是平行四边形，所以
又因为等腰梯形，，
x
z
y
A
C
D
B
N
所以，所以四边形是菱形，所以
所以，即
由已知可知平面平面，
因为平面平面
所以平面……………………………4分
（Ⅱ）证明：因为，，
所以平面平面
又因为平面，
所以平面
…………………………8分
（Ⅲ）因为平面
同理平面，建立如图如示坐标系
设，
则,, ，，………………………9分
则，
设平面的法向量为，有，，
得
…………………………11分
因为平面，所以平面平面
又，平面平面
所以平面
与交于点O，O则为AN的中点，O
所以平面的法向量……………………12分
所以
……………………………13分
由图形可知二面角为钝角
所以二面角的余弦值为
．……………………………14分
略
21. 已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.
参考答案：
（1）；（2）或
试题分析：（1）由题意可设，所求椭圆的方程为，且其离心率可由椭圆的方程知，因此，解之得，从而可求出椭圆的方程为.
22. （本小题满分12分）已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝2a n．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n。

参考答案：
（1）解：由已知得＝2·，∴是公比为2的等比数列，且首项为2，∴＝2·2n－1，a n＝2n·n2．
8.解：①
①×2得②
①-②得
=③
③×2得④
③—④得。