高中数学 同步教学 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算

标为______________________．
【答案】(－8,6)
平面向量的坐标表示
【例1】 如图所示,若向量e1,e2是一 组单位正交向量,则向量a＋b在平面直角 坐标系中的坐标为( )
A．(3,4) B．(2,4) C．(3,4)或(4,3) D．(4,2)或(2,4)
【解题探究】以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立坐 标系，可得向量 a＝(2,1)，b＝(1,3)，结合向量坐标的线性运算 性质，即可得到向量 a＋b 在平面直角坐标系中的坐标．
【点拨】本题考查向量的坐标运算,向量相等的充要条件 的应用,注意平行四边形的字母顺序．
如图，已知 O 是坐标原点，点 A 在第一象限， |O→A|＝4 3，∠xOA＝60°，求向量O→A的坐标．
【解析】设 A(x，y)，利用三角函数的定义，可得 sin 60°
＝
y →
，cos
60°＝
x →
，
|OA|
|OA|
∴y＝|O→A|sin 60°＝4 3× 23＝6，
x＝|O→A|cos 60°＝4 3×21＝2 3.
【方法规律】(1)在进行平面向量的坐标运算时,应先将平 面向量用坐标的形式表示出来,再根据向量的坐标运算法则进 行计算．
(2)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结 合思想的运用．
(2019 年山东潍坊模拟)已知 O 为坐标原点，向 量O→A＝(－1,2)，O→B＝(2,1)，若 2A→P＝A→B，则点 P 的坐标为 ________．
2．已知M→N＝(2,3)，则点 N 位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．不确定
【答案】D
3．已知 M(2,3)，N(3,1)，则向量N→M的坐标是( )
A．(2，－1)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(1，－2)
【答案】B
4．已知向量 m＝(2，－4)，n＝(－6,2)，则向量 n－m 的坐
【答案】12，32 【解析】设 P(x，y)，由O→A＝(－1,2)，O→B＝(2,1)，可得A→B ＝O所以
3＝2x＋1， －1＝2y－2，
解得xy＝＝1232，，
则 P12，32.
平面向量坐标运算的综合应用 【示例】 已知平面上三个点坐标为A(3,7),B(4,6),C(1,－ 2),求点D的坐标,使得这四个点构成平行四边形的四个顶点． 【分析】利用四边形是平行四边形,通过向量相等,结合坐 标运算求解即可．
向线段的__终_点___的坐标减去__起__点____的相应坐标
1．判一判(判断下列说法的正误) (1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不 同．( ) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)在平面直角坐标系中,两相等向量的终点坐标一 样．( ) 【答案】(1)× (2)× (3)×
【答案】A
【解析】以向量a,b公共的起点为坐标原点,建立如图坐标 系．
∵e1＝(1,0),e2＝(0,1),∴a＝(2,1),b＝(1,3)．∴a＋b＝(2,1)＋ (1,3)＝(3,4),即a＋b在平面直角坐标系中的坐标为(3,4)．故选A.
【方法规律】求点和向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标,可以转化为求该点相对于坐标原点的 位置向量的坐标． (2)在求一个向量时,可以首先求出这个向量的起点坐标和 终点坐标,再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．
加、减法 于这两个向量_相_应__坐__标__的_和__(差__)___
实数与 向量的 积
若 a＝(x，y)，λ∈R，则 λa＝_(λ_x_,λ_y)____，即实数与向 量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的_相__应__坐_标__
向量的 已知向量A→B的起点 A(x1，y1)，终点 B(x2，y2)，则A→B＝ 坐标 (_x2_－__x1_,y_2_－_y_1_) ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有
∴A(2 3，6)．∴O→A＝(2 3，6)．
平面向量的坐标运算 【例 2】 已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求A→B， A→C，A→B＋A→C，A→B－A→C，2A→B＋21A→C. 【解题探究】 点的坐标 → A→B与A→C → 线性运算
【解析】∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)， ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)， A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)． ∴A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)， A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)， 2A→B＋12A→C＝2(3，－1)＋21(－3,2) ＝(6，－2)＋－32，1＝92，－1.
运算法则进行有关的运算
1．平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个__互__相__垂__直____的向量,叫做把向量 正交分解．
2．平面向量的坐标表示
单位
相同
有且只有 a＝xi＋yj
(x,y)
x
y
a＝(x,y)
3．平面向量的坐标运算
向量的 若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝_(x_1＋__x_2,_y_1＋__y_2)_， a－b＝_(x_1_－_x_2_,y_1－__y_2)，即两个向量和(差)的坐标分别等
【解析】设点 D 的坐标为(x，y)． ①当平行四边形为 ABCD 时，A→B＝D→C， ∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)． ∴1－－2－x＝y＝1，－1. ∴yx＝＝－0，1. ∴D(0，－1)． ②当平行四边形为 ABDC 时，仿(1)可得 D(2，－3)． ③当平行四边形为 ADBC 时，仿(1)可得 D(6,15)． 综上可知点 D 的坐标可能为(0，－1)，(2，－3)或(6,15)．
目标定位
重点难点
重点：掌握平面向量的坐标运 1.掌握平面向量的正交分解及
算,能准确运用向量的加法、 其坐标表示
减法、实数与向量的积的坐标 2.掌握平面向量的坐标运算,能
运算法则进行有关的运算 准确运用向量的加法、减法、
难点：准确运用向量的加法、 实数与向量的积的坐标运算法
减法、实数与向量的积的坐标 则进行有关的运算