2019-2020学年安徽省浮山中学等重点名校高三(上)第一次月考数学试卷(理科)word解析版

2019-2020学年安徽省浮山中学等重点名校高三（上）第一次月考
数学试卷（理科）（9月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.已知集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|ln x≥0}，则A∩B=（）
A. 0,
B.
C. D.
2.已知复数，则下列说法正确的是（）
A. 复数z的实部为3
B. 复数z的虚部为
C. 复数z的共轭复数为
D. 复数的模为1
3.椭圆的一个焦点坐标为（）
A. B. C. , D.
4.已知m=log40.4，n=40.4，p=0.40.5，则（）
A. B. C. D.
5.曲线y=（x3+x2）e x在x=1处的切线方程为（）
A. B. C. D.
6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=11，S15=15，则a2=（）
A. 18
B. 16
C. 14
D. 12
7.要得到函数的图象，只需将函数y=sin3x+cos3x的图象（）
A. 向右平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向左平移个单位长度
8.若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为（）
A. B. C. D.
9.定义在R上的奇函数f（x）满足，当x≤0时f（x）=e x-e-x，则不等式f（x2-2x）-f（3）＜0的解集为
（）
A. B.
C. ∞∞
D. ∞∞
10.过原点O作直线l：（2m+n）x+（m-n）y-2m+2n=0的垂线，垂足为P，则P到直线x-y+3=0的距离的最
大值为（）
A. B. C. D.
11.已知圆锥的母线长l为4，侧面积为S，体积为V，则取得最大值时圆锥的侧面积为（）
A. B. C. D.
12.已知点A是双曲线=1（a＞0，b＞0）的右顶点，若存在过点N（3a，0）的直线与双曲线的渐近线
交于一点M，使得△AMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率（）
A. 存在最大值
B. 存在最大值
C. 存在最小值
D. 存在最小值
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知向量=（2，3），=（-1，m），且与垂直，则m=______．
14.已知所有项均为正数的等比数列{a n}的前项和为Sn，若a1=1，S4=a4+21，则公比q=______．
15.二项式的展开式中，x4的系数为______．
16.已知角，，，，且满足，则β=______（用α表示）
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且cos2C-cos2B=sin2A--sin A sin C
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积为，b=，求a+c的值
18.（12分）如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，
ED∥FB，DE=BF，AB=FB，FB⊥平面ABCD
（Ⅰ）设BD与AC的交点为O，求证：OE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求二面角E-AF-C的正弦值
19.（12分）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点是F，直线y=2与C的交点到F的距离等于2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）一直线l：x=ky+b（b≠1，k≠0）交C于A，B两点，其中点（b，k）在曲线（x-3）2-4y2=8上，求证：FA与FB斜率之积为定值．
20.（12分）设函数，，，a为常数
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，）上是单调函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）当a≤1时，证明
21.（12分）某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件
能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统C中有超过一半的电子元件
正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为500元．
（Ⅰ）求系统不需要维修的概率；，
（Ⅱ）该电子产品共由3个系统G组成，设E为电子产品需要维修的系统所需的费用，求ξ的分布列与期望；
（Ⅲ）为提高G系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则C可以正常工作，问：p 满足什么条件时，可以提高整个G系统的正常工作概率？请在22-23题中任选一题作答。

22.（10分）已知平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点为极点，x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标
23.（10分）已知函数f（x）=|x-1|+|2x+4|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞6的解集；
（Ⅱ）若f（x）-|m-1|≥0恒成立，求实数m的取值范围
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵A={x|-3≤x≤2}，B={x|x≥1}，
∴A∩B={x|1≤x≤2}．
故选：D．
可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．
2.【答案】C
【解析】解：∵，
∴z的实部为，虚部为，
z的共轭复数为，模为，
故选：C．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：椭圆的焦点坐标在y轴，
又因为a=3，b=4，所以c=，
故双曲线的右焦点的坐标是，．
故选：D．
判断椭圆的焦点坐标所在的轴，然后求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．
4.【答案】B
【解析】解：因为＜，＞，＜＜，所以m＜p＜n．故选：B．
根据幂函数，指数函数，对数函数的性质可得．
本题考查了不等关系与不等式，幂函数，指数函数，对数函数的性质，属基础题．5.【答案】A
【解析】解：由y=（x3+x2）e x得y'=（3x2+2x）e x+（x3+x2）e x，
所以y'|x=1=7e，
又x=1时，y=2e，
所以所求切线方程为y-2e=7e（x-1），
即y=7ex-5e．
故选：A．求出函数的导数，求出切线的斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程．
本题考查切线方程的求法，函数的导数的应用，是基本知识的考查．
6.【答案】B
【解析】解：因为，
所以a8=1，
又a4=11，所以公差，
所以a2=a4-2d=11+5=16．
故选：B．
由S15=15，⇒a8=1，又a4=11，所以公差，即可求出a2．
本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的通项公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为，所以将其图象向左平移个单位长度，可得
，
故选：C．
直接利用三角函数关系式的变换和平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意，分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有种选法，
②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，
被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法，
故不同的调换方法有10×2=20种．而基本事件总数为，所以所求概率为．
故选：C．
分2步分析：①先从5个人里选2人，其位置不变，有种，②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，有2种，所以恰有两人站在自己原来的位置上包含的基本事件为10×2=20，又基本事件总数为120，代入古典概型概率公式即可．
本题考查了古典概型的概率求法，考查了计数原理，排列组合的知识，本题属于基础题．
9.【答案】A
【解析】解：设x＞0，则-x＜0，
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-（e-x-e x）=e x-e-x，
∴当x∈R时，，
∴′＞，则f（x）为R上的单调递增函数，
故由f（x2-2x）-f（3）＜0，得f（x2-2x）＜f（3），
即x2-2x-3＜0，解得-1＜x＜3，
故选：A．
由已知求得函数解析式，再由导数研究函数的单调性，把f（x2-2x）-f（3）＜0转化为关于x的一元二次函数求解．
本题考查函数解析式及其求法，训练了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法，属中档题．10.【答案】A
【解析】解：（2m+n）x+（m-n）y-2m+2n=0整理得（2x+y-2）m+（x-y-2）n=0，
由题意得，解得，所以直线l过定点Q（0，2）．
因为OP⊥l，
所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为（0，1），半径为1，
因为圆心（0，1）到直线x-y+3=0的距离为，
所以P到直线x-y+3=0的距离的最大值为．
故选：A．
整理直线方程，找到直线过的定点Q（0，2），则点P在以oq为直径的圆上，将P到直线x-y+3=0的距离的最大值转化为圆心（0，1）到直线的距离处理即可．
本题考查了直线过定点问题，考查了圆的方程，点到直线的距离公式，属于基础题．
11.【答案】D
【解析】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则r2+h2=l2=42=16，
所以ℎℎℎ，
当且仅当ℎ时取等号．
此时侧面积为．
故选：D．
设圆锥的底面半径为r，高为h，则r2+h2=l2=16，求出的表达式，利用基本不等式求解即可．
本题考查几何体的体积以及侧面积的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．
12.【答案】B
【解析】解：双曲线＞，＞的右顶点A（a，0），
双曲线的渐近线方程为，
不妨取，
设，，则，，，．
若存在过N（3a，0）的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得△AMN是以M为直角顶点的直角三角形，则，即，
整理可得，
由题意可知此方程必有解，
则判别式，
得a2≥3b2，即a2≥3c2-3a2，
解得＜，
所以离心率存在最大值．
故选：B．
取双曲线的渐近线方程，设，，则，，，．
若存在过N（3a，0）的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得△AMN是以M为直角顶点的直角三角形，通过，化简利用判别式转化求解离心率的最大值．
本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系，向量的数量积判断直线的垂直，考查转化思想以及计算能力．
13.【答案】
【解析】解：∵向量，，，，∴，．
∵与垂直，∴•（+）=2+3（3+m）=0，解得，
故答案为：-．
由题意利用两个向量垂直的性质，可得•（+）=0，从而解得m的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，属于基础题．
14.【答案】4
【解析】解：由题意得S4-a4=21，∴S3=21，又a1=1，
∴，
解得q=4或q=-5（舍），
∴q=4．
故答案为：4．
利用等比数列的求和公式即可得出．
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由二项式展开式的通项公式为得：令，
解得r=2，
即x4系数为：，
故答案为：．
由二项式定理及展开式通项公式可得：x4系数为，得解．
本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．
16.【答案】
【解析】解：法一：由得，所以sinαcosβ=cosα（1+sinβ），即sin（α-β）=cosα．结合诱导公式得．因为，，，，
所以，，，．由诱导公式可得，易知
，，因为y=sin x在，上单调递减，所以，
即．
法二：由得，所以．因为
，，，，所以，．
由诱导公式可得tan（α-π）=tanα，即因为y=tan x在，上单调递增，所以，即．
故答案为：
直接利用三角函数的中的角的范围的应用和三角函数关系式的恒等变换及同角三角函数的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的单调性的应用，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
17.【答案】解：（Ⅰ）由cos2C-cos2B=sin2A-sin A sin C，
得sin2B-sin2C=sin2A-sin A sin C．
由正弦定理，得b2-c2=a2-ac，即a2+c2-b2=ac，
所以．
因为0＜C＜π，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac．①
又，
∴ac=12，②
又∵，
∴据①②解，得13=（a+c）2-3ac=（a+c）2-3×12，
∴a+c=7．
【解析】（Ⅰ）由同角三角函数基本关系式，正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，根据余弦定理可求cos B 的值，结合范围0＜C＜π，利用特殊角的三角函数值即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用余弦定理可得b2=a2+c2-ac，利用三角形的面积公式可得ac=12，联立可求a+c
的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】（Ⅰ）证明：由题意可知：ED⊥面ABCD，
从而Rt△EDA≌Rt△EDC，∴EA=EC，又O为AC中点，
∴DE⊥AC，在△EOF中，，，，
∴OE2+OF2=EF2，∴OE⊥OF又AC⋂OF=O，
∴OE⊥面ACF．
（Ⅱ）解：ED⊥面ABCD，且DA⊥DC，
如图以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标
系，
从而E（0，0，1），A（2，0，0），C（0，2，0），F（2，2，2），O（1，1，0）
由（Ⅰ）可知，1，-1）是面AFC的一个法向量，
设，y，z）为面AEF的一个法向量，
由，令x=1得，-2，2）．
设θ为二面角E-AF-C的平面角，
则＜，＞，
∴．
∴二面E-AF-C角的正弦值为．
【解析】（Ⅰ）证明DE⊥AC，在△EOF中，利用勾股定理证明OE⊥OF，然后证明OE⊥面ACF．
（Ⅱ）以D为原点，DA，DC，DE方向建立空间直角坐标系，求出面AEF的一个法向量，面AFC的一个法向量，设θ为二面角E-
AF-C的平面角，利用空间向量的数量积求解即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力
计算能力．
19.【答案】解：（Ⅰ）由|PF|=2知P到准线的距离也是2，
∴P点横坐标是，
将，代入y2=2px，得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）证明：联立得y2-4ky-4b=0，
设，，，，则y1+y2=4k，y1y2=-4b，
因为点（b，k）在曲线（x-3）2-4y2=9上，所以代入整理可得b2-4k2=6b-1，
则．
【解析】（Ⅰ）由|PF|=2知P到准线的距离也是2，求出P的坐标，代入抛物线方程，然后求解p即可得到抛物线方程．
（Ⅱ）联立得y2-4ky-4b=0，设，，，，利用韦达定理转化求解即可．
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，抛物线的方程的求法，考查转化思想以及计算能力．
20.【答案】解：（Ⅰ）因为函数，，，a为常数
由f（x）=ax-sin x，得导函数f'（x）=a-cos x，其中0＜cos x＜1．
当a≥1时，f'（x）＞0恒成立，
故f（x）=ax-sin x在，上是单调递增函数，符合题意；
当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，
故f（x）=ax-sin x在，上是单调递减函数，符合题意；
当0＜a＜1时，由f'（x）=a-cos x=0，得cos x=a，
则存在，，使得cos x0=a．
当0＜x＜x0时，f'（x0）＜0，当＜＜时，f'（x0）＞0，
所以f（x）在（0，x0）上单调递减，在，上单调递增，
故f（x）在，上不是单调函数，不符合题意．
综上，a的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅱ）证明：由（1）知当a=1时，f（x）=x-sin x＞f（0）=0，
即sin x＜x，故＜，
令，，，则′＜，
当a≤1时，g'（x）=a-1≤0，
所以g（x）在，上是单调递减函数，
从而g（x）＜g（0）=0，即得证．
【解析】（Ⅰ）由函数f（x）在（0，）上是单调函数，求函数的导数，分类讨论a的范围，验证函数f（x）在区间是单调函数即可，可得a的取值范围；
（Ⅱ）当a≤1时，由（1）知当a=1时，f（x）=x-sin x＞f（0）=0，可得＜，令
，，，求新函数g（x）在区间端点的最大值为0即可证明；
本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．属于中档题．
21.【答案】解（Ⅰ）系统不需要维修的概率为．
（Ⅱ）设X为维修维修的系统的个数，则～，，且ξ=500X，
所以，，，，．
所以ξ的分布列为
所以ξ的期望为E（ξ）=0×+500×+1000×+1500×=750．．
（Ⅲ）当系统G有5个电子元件时，
原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，G系统的才正常工作．
若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，
则概率为••（）2•p2=p2；
若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，
则概率为•（）2•••p•（1-p）+•（）2•p3=（2p-p2）；
若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，
系统G均能正常工作，则概率为•（）3=．
所以新增两个元件后系统G能正常工作的概率为p2+（2p-p2）+=p+，
于是由p+-=（2p-1）知，当2p-1＞0时，即＜p＜1时，
可以提高整个G系统的正常工作概率．
【解析】（Ⅰ）用2个电子元件正常工作加上3个电子元件正常工作可得．
（Ⅱ）设X为维修维修的系统的个数，则～，，且ξ=500X，所以
，，，，．再求出概率，写出分布列，期望．
（Ⅲ）按照原来和后来增加的原件中正常工作的个数分类讨论，利用独立重复试验的概率公式计算可得．
本题考查了离散型随机变量的期望和方差，属中档题．
22.【答案】解：（I）依题意，曲线C2的极坐标方程为转换为的直角坐标方程为y=．（II）因为曲线C1的参数方程为（φ为参数），所以曲线的直角坐标方程为（x∈[-2，2]），
联立解方程组得或，
根据x的范围应舍去，
故交点的直角坐标为（0，0）．
【解析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用直线和曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系式的应用，方程组的解法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】解：（1）依题意，|x-1|+|2x+4|＞6，
当x＜-2时，原式化为1-x-2x-4＞6，解得x＜-3，故x＜-3；
当-2≤x≤1时，原式化为1-x+2x+4＞6，解得x＞1，故无解；
当x＞1时，原式化为x-1+2x+4＞6，解得x＞1，故x＞1；
综上所述，不等式f（x）＞6的解集为（-∞，-3）∪（1，+∞）；
（2）因为f（x）=|x-1|+|2x+4|=|x-1|+|x+2|+|x+2|≥|x-1|+|x+2|≥3，
当且仅当x=-2时，等号成立．
故f（x）-|m-1|≥0恒成立等价于|m-1|≤3；
即-3≤m-1≤3，解得-2≤m≤4；
故实数m的取值范围为[-2，4]．
【解析】（1）利用分段讨论法，去掉绝对值，解不等式即可；
（2）利用绝对值不等式求出f（x）的最小值，再把f（x）-|m-1|≥0恒成立化为|m-1|≤3，从而求出实数m的取值范围．
本题出来含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是基础题．。