常用逻辑用语中参数的4种考法-【题型分类归纳】(解析版)

常用逻辑用语专题：常用逻辑用语中参数的4种考法
充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
A B可得，p是q的充分条件，
则由⊆
①若A B，则p是q的充分不必要条件；
A B，则p是q的必要条件；
②若⊇
③若A B，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A B且A B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型一根据充分条件求参数范围
【例1】已知:42p x -<<-，:q x a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______
【答案】2a ≥-
【解析】因为p 是q 的充分不必要条件，
所以{}{}42x x x x a ≠
-<<-⊂≤， 所以2a ≥-.
故答案为：2a ≥-.
【变式1-1】已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x =<<．若0a >，且“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】0,1
【解析】由“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，即A 是B 的真子集，
又{}()220A x a x a a =-≤≤+>，{}14B x x =<<，
所以2124a a ->⎧⎨+<⎩
，可得01a <<，则实数a 的取值范围为0,1．
【变式1-2】已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【答案】(,3]-∞
【解析】因为x B ∈是x A ∈的充分不必要条件，
所以集合B 是集合A 的真子集，
当B =∅时，121m m +>-，得2m <，此时满足集合B 是集合A 的真子集，
当B ≠∅时，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
且等号不同时成立，解得23m ≤≤， 综上，3m ≤
所以实数m 的取值范围(,3]-∞
【变式1-3】集合{}11A x x =-<<，{}B x a x b a =-<-<．若“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，则
实数b 的取值范围是（ ）
A ．{}20b b -≤<
B ．{}02b b <≤
C ．{}22b b -<<
D ．{}22b b -≤≤
【答案】C
【解析】{}11A x x =-<<，{}{}B x a x b a x b a x b a =-<-<=-<<+．
因为“1a =”是“A B ⋂≠∅”的充分条件，
即当1a =时，A B ⋂≠∅成立，
所以111-≤-<b 或111-<+≤b ，即22b -<<．故选：C ．
【变式1-4】设命题p ：集合{}121A x a x a =+≤≤-，命题q ：集合{}25B x x =-≤≤，若p q ⇒，求实数a 的取值范围.
【答案】(],3-∞
【解析】因为p q ⇒，故A 是B 的子集，当A =∅时，121a a +>-，解得：2a <
当A ≠∅，故满足12215121a a a a +≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤-⎩
，解得：23a ≤≤ 综上：3a ≤
故实数a 的取值范围为(],3-∞
题型二 根据必要条件求参数范围
【例2】“x a ≥”是“2x ≥”的必要不充分条件，则a 的取值范围为（ ） A ．()3,+∞ B ．(),2-∞ C ．(],2-∞ D ．[)0,∞+
【答案】B
【解析】由题意得，{}|2x x ≥是{}|x x a ≥的真子集，故2a <.故选：B
【变式2-1】（多选）已知“125m x m -<<+”是“23x <<”成立的必要非充分条件，则符合条件的实数m 的一个值有（ ）
A ．1-
B ．0
C ．4
D ．5
【答案】AB
【解析】“125m x m -<<+”是“23x <<”成立的必要非充分条件，
故25312m m +≥⎧⎨
-≤⎩（等号不同时成立），解得13m -≤≤.故选：AB.
【变式2-2】已知命题p ：关于x 的方程230x ax a -++=有实数根，命题q ：11m a m -≤≤+，p 是q 的必要非充分条件，则实数m 的取值范围是_____．
【答案】(][),37,-∞-+∞
【解析】由命题p ：关于x 的方程230x ax a -++=有实数根，
则()()2
430a a --+≥，即2a ≤-或6a ≥， 又p 是q 的必要非充分条件，
故12m +≤-或16m -≥，
即3m ≤-或7m ≥，
故答案为：(]
[),37,-∞-+∞.
【变式2-3】已知:{|2p A x x =<-或10},:{|1x q B x x m >=<-或1,0}x m m >+>，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
【答案】{}|9m m ≥.
【解析】由p 是q 的必要不充分条件，
所以B A ≠⊂，则012110m m m >⎧⎪--⎨⎪+>⎩或012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+⎩
，解得：9m . m ∴的取值范围是{}|9m m ≥.
【变式2-4】已知2{|}10P x x =<<-，11{|}Q x m x m =-<<+，若P 是Q 的必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．19m -<≤
B ．19m -≤≤
C ．1m ≤-
D ．9m ≥
【答案】B
【解析】因为P 是Q 的必要条件，
∴Q P ⊆，又2{|}10P x x =<<-，11{|}Q x m x m =-<<+，
∴12110m m -≥-⎧⎨
+≤⎩
，解得19m -≤≤.故选：B. 题型三 根据充要条件求参数范围
【例3】若“11x -<<”是“11x m -<-<”的充要条件，则实数m 的取值是_________．
【答案】0
【解析】1111x m m x m -<-<⇒-<<+，
则{x |11x -<<}＝{x |11m x m -<<+}，
即11011m m m -=-⎧⇒=⎨+=⎩
. 故答案为：0.
【变式3-1】集合{}2320A x ax x =++=中至多有一个元素的充要条件是_____ .
【答案】{9|8
a a ≥或0}a =
【解析】由已知得方程2320ax x ++=至多一个根，
9800a a ∆=-≤⎧∴⎨≠⎩或0a =，解得908a a ≥=或 故答案为{9|8
a a ≥或0}a =
【变式3-2】方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是________．
【答案】a ≤1
【解析】当0a =时，原方程可化为：210x +=，解得：12x =-符合题意；
当0a ≠时，方程显然没有根等于0，
若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：0a <；
若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：
12124402020a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩
，解得：01a <≤； 综上所述：方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是a ≤1. 故答案为：a ≤1
【变式3-3】设*N n ∈，一元二次方程240x x n +=-有实数根的充要条件是n =__．
【答案】1或2或3或4
【解析】一元二次方程240x x n +=-有实数根,
∴()24411640n n ∆=--⨯⨯=-≥
，解得4n ≤，
又*N n ∈，∴1,2,3,4n =.
故答案为：1或2或3或4．
题型四 根据命题的真假求参数范围
【例4】已知命题p ：实数x 满足1x ≤-或3x ≥．命题q ：实数x 满04x <<．若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．
【答案】(,1][4,)-∞-⋃+∞
【解析】∵命题p 为真命题， ∴1x ≤-或3x ≥
又命题q 为假命题，∴0x ≤或4x ≥，
∴1x ≤-或4x ≥．
所以实数x 的取值范围为(,1][4,)-∞-⋃+∞．
【变式4-1】已知:p 22a -<<，q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根. （1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；
（2）若p 为真命题，q 为假命题，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）1,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】（1）∵关于x 的方程20x x a -+=有实数根，∴140a ∆=-≥，即14
a ≤， ∴若q 为真命题，实数a 的取值范围为：1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦. （2）∵p 为真命题，q 为假命题，
∴2214a a -<<⎧⎪⎨>⎪⎩
，解得124a <<. ∴1,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.
【变式4-2】已知集合{}|0A x x a =≤≤，集合{}22|34B x m x m =+≤≤+，如果命题“m ∃∈R ，
A B ⋂≠∅”为假命题，则实数a 的取值范围为______.
【答案】(),3-∞
【解析】命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题.
当0a <时，集合A =∅，符合A B =∅.
当0a ≥时，因为230m +>，
所以由m ∀∈R ，A B =∅，得23a m <+对于任意m ∈R 恒成立， 又233m +≥，所以03a ≤<.
综上，实数a 的取值范围为(),3-∞.
故答案为：(),3-∞.
【变式4-3】已知m ∈R ，命题p ：3x ∃≥，21x m -<是假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(),5-∞ B ．()5,+∞ C ．(],5-∞ D ．[)5,+∞
【答案】C
【解析】命题p 的否定：3x ∀≥，21x m -≥.
因为p 为假命题，所以命题p 的否定为真命题，故5m ≤.故选：C.
【变式4-4】若命题“2
000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[]1,3-
B ．()1,3-
C ．(]
[),13,-∞-+∞ D ．()(),13,-∞-⋃+∞
【答案】B 【解析】命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定为“()2R,110x x a x ∀∈+-+>”为真命题，
所以()2140a ∆=--<，解得13a -<<，
即实数a 的取值范围是()1,3-.故选：B.
【变式4-5】若命题“2,2120x ax ax ∀∈-+>R ”是真命题，则a 的取值范围为（ ）
A ．()0,4
B ．[)0,4
C ．()0,12
D ．[)0,12
【答案】D
【解析】当0a =时，符合题意；当0a >时，2Δ4480a a =-<，解得012a <<;
当0a <时，不符合题意.
综上，a 的取值范围为[)0,12.故选：D.。