2019届广东省揭阳市高三七校联合体高考交流数学(理)试题

2019届广东省揭阳市高三七校联合体高考交流
数学（理）试题
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题纸上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7．考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1.已知集合2{280}M x x x =--≥，{33}N x x =-≤<，则M N = （ ） A ．[3,3)- B ．[3,2]-- C ．[2,2]- D ．[2,3)
2.已知i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，()1i
1i 1i
z -+=+，则z 的虚部为（ ） A ．
12 B ．12- C ．1i 2 D ．1i 2
-
3.如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方 形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍，若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为 （ ）
A. 64π
B. 32π
C. 16π
D. 8π
4.已知定义域为R 的偶函数f （x ）在（﹣∞，0]上是减函数，且f （1）=2，则不等式2(log )2f x >的解集为（ ）
A ．（2，+∞）
B ．1(0,)(2,)2
?? C ．2
(0,
)(2,)2
?? D ．(2,)+?
5.设F 1，F 2是双曲线22
221x y a b
-= (a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=90°，
|PF 1|•|PF 2|=2，则b=（ ） A ．1
B ．2
C ．2
D ．22
6.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”． 这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯
数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（ ）盏灯． A ．2 B ．3 C ．5
D ．6
7.考拉兹猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能得到1．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i=（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8.已知函数)4
2cos()(π
+
=x x f ，将()y f x =的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变；再把所得的图象向右平移|φ|个单位长度，所得的图象关于原点对称，则φ的一个值是（ ） A ．
34p B ． 38p C ．516p D ．316
p 9.若52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345||||||||||a a a a a a -+-+-=（ ）
A ．0
B ．1
C ．32
D ．﹣1
10.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ） A ．36π B ．
642
3
π C ．86π
D ．
83
p
11.过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 的直线l ，与该抛物线及其准线从上向下依次交于A ，B ，C 三点，若|BC|=3|BF|，且|AF|=3，则该抛物线的标准方程是（ ） A ．y 2=2x B ．y 2=3x C ．y 2=4x D ．y 2=6x
12.已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数为f'（x ），若f'（x ）﹣f （x ）＜﹣2，f （0）=3， 则不等式f （x ）＞e x
+2的解集是（ ） A ．（﹣∞，1）
B ．（1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（﹣∞，0）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.不共线向量a ，b 满足a b = ，且(2)a a b ^-
，则a 与b 的夹角为 ．
14.若圆22
40x y x my +-+-=关于直线0x y -=对称，动点P （a ，b ）在不等式组2000
x y x my y ì+-?ïï+?íï³ïî表示
的平面区域内部及边界上运动，则2
1
b z a -=
-的取值范围是 ． 15.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 种（用数字作答）．
16.已知△ABC 的外接圆的半径为R ，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
若32
sin cos sin 2a B C c C R
+=
，则△ABC 面积的最大值为 ． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考
题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，12(n 1)n n na a +=+ （1）记n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项n b ； （2）求通项a n 及前n 项和S n ． 18. （12分）
已知正三棱柱111ABC A B C -中，
E F 、分别为1,BB AB 的中点，设1
AA AB
λ=. （1）求证：平面1ACF ⊥平面1A EF ； （2）若二面角1F EA C --的平面角为
3
π
，求实数λ的值，并判断此时二面角1E CF A --是否为直二面角，请说明理由.
19. （12分）
某中学举行一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （Ⅰ）写出a ，b ，x ，y 的值．
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设ξ表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求ξ的分布列及其数学期望．
20. （12分）
已知点C 为圆8)1(2
2=++y x 的圆心，P 是圆上动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点)0,1(A 和AP 上的点M ，满足.2.0AM AP AP MQ ==⋅
组别
分组
频数 频率 第1组 [50,60) 8
0.16
第2组 [60,70) α
▌ 第3组 [70,80) 20
0.40 第4组 [80,90)
▌
0.08 第5组 (90,100] 2 b
合计
▌
▌
▋▋0.008
y
x 0.040
100
9080
70
6050成绩（分）
频率
组距
（1）当P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；
（2）若斜率为k 的直线l 与圆122=+y x 相切，与（1）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点,,H F O 是坐标原点，且5
4
43≤⋅≤OH OF 时，求k 的取值范围.
21. （12分）
已知函数f （x ）=lnx+x 2
﹣2ax+1（a 为常数）． （1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）若存在x 0∈（0，1]，使得对任意的a ∈（﹣2，0]，不等式2me a
（a+1）+f （x 0）＞a 2
+2a+4（其中e 为自然对数的底数）都成立，求实数m 的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的
第一题计分。

22．［选修4—4：坐标系与参数方程］（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 过()2,0M ，倾斜角为()0αα≠，以O 为极点，x 轴在平面直角坐标系
xOy 中，直线1:340C x y +-=，曲线2cos :1sin x C y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=+⎩（ϕ为参数），坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求12,C C 的极坐标方程；
（2）若曲线3C 的极坐标方程为0,02πθαρα⎛⎫
=><<
⎪⎝
⎭
，且曲线3C 分别交12,C C 于点,A B 两点，求OB
OA
的最大值.
23．［选修4—5：不等式选讲］（10分） 已知函数()21f x x x a =+--（a R ∈） （Ⅰ）当2a =时，求不等式()0f x ³的解集；
（Ⅱ）设函数()()3g x f x x a =+-，当1a =时，函数()g x 的最小值为t ，且
212t m n
+=
（
0,0
m n
>>），求m n
+的最小值.
七校交流卷参考答案及评分说明
理科数学
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11 12 B A
D
B
A
B
D
D
A
B
C
D
13．
3
π
14．(,2][2,)-∞-⋃+∞ 15．60 16．
255
17．
【解答】解：（1）因为na n+1=2（n+1）a n
所以
，即b n+1=2b n
所以{b n }是以b 1=2为首项，公比q=2的等比数列． 所以数列{b n }的通项b n =2×2n ﹣1=2n ． （2）由（1）得a n =nb n =n•2n ．
所以 s n =1•2+2•22+3•23+…+（n ﹣1）2n ﹣1+n•2n ．； 2 s n =1•22+2•23+3•24+…+（n ﹣1）2n +n•2n+1．；
所以﹣s n =2+22+23+24+…+2n ﹣n•2n+1=．
所以s n =（n ﹣1）•2n+1+2
18．（1）因为正三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面
ABC ，所以1AA CF ⊥， 又ABC ∆是正三角形，F 为AB 中点，所以CF AB ⊥，又1AB AA A =I
故CF ⊥平面1A EF ，又CF ⊂平面1ACF ，所以平面1
ACF ⊥平面1A EF . （2）如图，以F 为坐标原点，,FB FC u u r u u u r
方向为x 轴，
y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设底边长 2AB =，由题意12AA λ=，则()0,0,0F ，
()11,0,2A λ-，()1,0,E λ，()
0,3,0C ，()
1,3,EC λ=--uu u r
，
()
0,3,0FC =uu u r ，()12,0,A E λ=-uuu r
设平面1EA C 的法向量(),,n x y z =r
则
130
20
n EC x y z n A E x z λλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r uu u r
r uuu
r ，令2z =，则()
,3,2n λλ=r
由（1）可知()
0,3,0FC =uu u r
为平面1A EF 的一个法向量
故23cos
3
443
π
λλ=
+⋅，计算可得：2
2
λ=
由（1）可知EF CF ⊥，1A F CF ⊥，
由定义则1EFA ∠为二面角1E CF A --的平面角，
此时由勾股定理：2
226122EF ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭，()
2
21123A F =+=，
2
2232
222AE ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭
， 满足222
1EF A F AE +=，则
12
EFA π
∠=此时二面角1E CF A --为直二面角
19．（1）由题意可知16a =，0.04b =，0.032x =，0.004y =．
（2）由题意可知，第4组有4人，第5组有2人，共6人．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有2
6C 15=种情况．
设事件A ：随机抽取的2名同学来自同一组，则
22
42
2
6C C 7()C 15P A ==+． 故随机抽取的2名同学来自同一组的概率是7
15．
（3）由（2）可知，ξ的可能的值为0，1，2，则：
2426C 62(0)C 155P ξ====，11
42
26C C 8(1)C 15P ξ===，222
6C 1(2)C 15P ξ===．
ξ 0 1
2
所以，ξ的分布列为：
2812
()012515153E ξ=⨯⨯⨯=
++．
20．（1）由题意知MQ 中线段AP 的垂直平分线，所以
2||22||||||||||=>=+=+=CA QA QC QP QC CP
所以点Q 的轨迹是以点A C ,为焦点，焦距为2，长轴为22的椭圆，
1,1,222=-===∴c a b c a
故点Q 的轨迹方程式12
22
=+y x （2）设直线),(),,(,:2211y x H y x F b kx y l += 直线l 与圆122=+y x 相切111
||222+=⇒=+⇒
k b k b
联立0224211222222
=-+++⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+==+b kbx x k b kx y y x ）（
008)12(8)1(2)21(4162222222≠⇒>=+-=-+-=∆k k b k b k b k
2
221221212
2,214k
b x x k kb x x +-=+-=+ 2212122121)()1(b x x kb x x k y y x x OH OF ++++=+=⋅
2
22
22222222222211121)1(4212)1(21)4(21)22)(1(k
k k k k k k k k b k kb kb k b k ++=++++-++=++-++-+= 所以223322||33213154211432
2
2≤≤⇒≤≤⇒≤≤⇔≤++≤k k k k k 或3
322-≤≤-k 为所求.
21．【解答】解：（I ）f （x ）=lnx+x 2﹣2ax+1，f'（x ）
=+2x ﹣
2a=，
令g （x ）=2x 2﹣2ax+1，
P 2
5 815 115
（i ）当a ≤0时，因为x ＞0，所以g （x ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；
（ii ）当0＜a 时，因为△≤0，所以g （x ）＞0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递
增；
（iii ）当a ＞时，x 在（
，
）时，g （x ）＜0，函数f （x ）单调递
减；
在区间（0，
）和（
，+∞）时，g （x ）＞0，函数f （x ）单调递增；
（II ）由（I ）知当a ∈（﹣2，0]，时，函数f （x ）在区间（0，1]上单调递增， 所以当x ∈（0，1]时，函数f （x ）的最大值是f （1）=2﹣2a ，对任意的a ∈（﹣2，0]，
都存在x 0∈（0，1]，使得不等式a ∈（﹣2，0]，2me a （a+1）+f （x 0）＞a 2+2a+4成立， 等价于对任意的a ∈（﹣2，0]，不等式2me a （a+1）﹣a 2+﹣4a ﹣2＞0都成立，
记h （a ）=2me a （a+1）﹣a 2+﹣4a ﹣2，由h （0）＞0得m ＞1，且h （﹣2）≥0得m ≤e 2， h'（a ）=2（a+2）（me a ﹣1）=0，∴a=﹣2或a=﹣lnm ， ∵a ∈（﹣2，0]，∴2（a+2）＞0，
①当1＜m ＜e 2时，﹣lnm ∈（﹣2，0），且a ∈（﹣2，﹣lnm ）时，h'（a ）＜0， a ∈（﹣lnm ，0）时，h'（a ）＞0，所以h （a ）最小值为h （﹣lnm ）=lnm ﹣（2﹣lnm ）＞0，
所以a ∈（﹣2，﹣lnm ）时，h （a ）＞0恒成立；
②当m=e 2时，h'（a ）=2（a+2）（e a+2﹣1），因为a ∈（﹣2，0]，所以h'（a ）＞0， 此时单调递增，且h （﹣2）=0，所以a ∈（﹣2，0]，时，h （a ）＞0恒成立； 综上，m 的取值范围是（1，e 2]．
22．（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴1:3cos sin 40C ρθρθ+-=，
cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨
=+⎩
，∴()22
11x y +-=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴()()22cos sin 11ρθρθ+-=， ∴22sin 0ρρθ-=，∴2:2sin C ρθ=
页 11第 （2）曲线3C 为0,02πθαρα⎛
⎫=><< ⎪⎝⎭，设()1,A ρα，()2,B ρα，14
3cos sin ραα=+，
22sin ρα=， 则()1212sin 3cos sin 4
OB
OA ραααρ==⨯+12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ∴3πα=，max 34
OB
OA =. 23．（Ⅰ）当2a =时，()0f x ≥化为2120x x +--≥ 当1x ≤-时，不等式化为40x --≥，解得4x ≤-
当12x -<<时，不等式化为30x ≥，解得02x ≤< 当2x ≥时，不等式化为40x +≥，解得2x ≥
综上不等式()0f x ≥的解集是{}|40x x x ≤-≥或
（Ⅱ）当1a =时，()21212114g x x x x x =++-≥++-= 当且仅当(1)(1)0x x +-≤时，即11x -≤≤时，等号成立
所以，函数()g x 的最小值4t =所以2142m n +=，1128t m n += 11()()28m n m n m n +=++5288n m m n =++≥5922888
n m m n ⋅+= 当且仅当1112828m n n m
m n
⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即3438m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立所以m n +的最小值是98.。