自动控制课程设计报告

4、控制系统的根轨迹分析（ ）
4.1过热汽温控制及控制系统简介
图1串级过热汽温PID 控制系统
对应的控制系统方框图见下图。

4.1.2 某600MW 超临界压力锅炉高温过热器在不同负荷时的动态过程模型，见表1。

模型的输入为减温器喷水流量的变化(kg/s )，输出为主蒸汽温度的变化(℃)。

可以看出，锅炉汽温对象具有明显的非线性特征，随着负荷的变化，模型参数(特别是惰性区的时间常数T 以及导前区的静态增益K ) 发生了明显变化。

表1 汽温对象基本模型
模型
导前区
惰性区
r
2θ
100%负荷 2
0.815(118)s -+
6
1.276(118.4)s +
75%负荷 21.657(120)s -
+ 7
1.202(127.1)
s +
50%负荷
23.067(125)s -
+ 7
1.119(14
2.1)
s +
本小组抽选到第三大组，50%负荷。

因此导前区为2
3.067(125)s -
+；导后区为71.119(142.1)
s +。

4.1.3基本控制系统
锅炉高温过热器出口温度串级控制系统如图2。

系统中的主控制器采用PID 控制器，副控制器采用P 控制器，对应的传递函数为：
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=s T s
T k s G d i p PID 1
12 ()1p P k s G =
在基本控制系统中，控制器参数按表2给定。

()⎪⎭
⎫
⎝⎛++=s s s G PID 7.258.95112.1
()25
=s G P
4.1.4控制系统的开环传递函数
G(s)=1.2*(1+1/(95.8s+25.7s)*(Kp1*3.067/(1+25s)^2)/((1+Kp1*3.067/(1+25s)^2))*1.
119/(1+42.1s)^7
4.2 MATLAB 用于根轨迹分析
根轨迹是控制理论中常用的一种方法, 所谓根轨迹是系统开环传递函数某
一参数在某一范围变化时, 系统闭环特征方程的根在 s 平面上移动的轨迹。

人
工绘制计算量大且绘制出的曲线不精确，而利用 MATLAB 绘制系统根轨迹十分方便。

用rlocus(G)函数可以画出闭环系统的根轨迹，用 rlocfind()函数[k，poles]=rlocfind(sys)求出在一定 k 值下所有的闭环极点然后就可以判别系统的稳定性了。

4.2.2 主要思想
因为该根轨迹不以开环放大倍数为参变量，所以属于参数根轨迹。

在绘制参数根轨迹时，应当经过适当的变换后才能应用。

所以将原传递函数的闭环特征方程里与参数有关的各项合并在一起，然后再构造一个新的系统，该系统和原系统的闭环特征方程相同，而新系统的开环增益恰为原系统的参数，于是根据新系统开环传递函数画出的根轨迹就是原系统的变化时的根轨迹。

4.2.1 MATLAB绘制跟轨迹图
程序段
s=tf('s')
Transfer function:
s
>> g1=1.2*(1+1/(95.8*s)+25.7*s）
Transfer function:
2954 s^2 + 115 s + 1.2
----------------------
95.8 s
>> g4=1.119/(1+42.1*s)^7
Transfer function:
1.119
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.344e011 s^7 +
3.898e010 s^6 + 2.777e009 s^5 + 1.1e008 s^4 + 2.612e006 s^3 + 3.722e004 s^2 + 29
4.7 s + 1
>> G1=(3.067*g1*g4+3.067)/(1+25*s)^2
Transfer function:
6.887e013 s^8 + 1.145e013 s^7 + 8.16e011 s^6 + 3.231e010 s^5 +
7.674e008 s^4 + 1.094e007 s^3 + 9.673e004 s^2 + 68
8.4 s + 4.118
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.404e016 s^10 + 3.456e015 s^9 + 3.754e014 s^8 +
2.362e013 s^7 + 9.491e011 s^6 + 2.527e010
s^5 + 4.461e008 s^4 + 5.037e006 s^3
+ 3.302e004 s^2 + 95.8 s
>> rlocus(G1)
利用 MATLAB，根据系统的方框图，编写的程序如下所示：
（4.1 MATLAB绘制的跟轨迹图）
4.2.2零极点图的绘制
程序段
利用MATLAB编写程序如下：
num=[6.887*10^13 1.145*10^13 8.16*10^10 3.231*10^10 7.674*10^8 1.091*10^7 9.673*10^4 688.4 4.118];
>> den=[1.404*10^16 3.456*10^15 3.754*10^14 2.362*10^13 9.491*10^11 2.527*10^10 4.461*10^8 5.037*10^6 3.302*10^4 95.8];
>> G=tf(num,den)
Transfer function:
6.887e013 s^8 + 1.145e013 s^7 + 8.16e010 s^6 + 3.231e010 s^5 +
7.674e008 s^4 + 1.091e007 s^3 + 96730 s^2 + 68
8.4 s + 4.118
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
1.404e016 s^9 + 3.456e015 s^8 + 3.754e014 s^7 +
2.362e013 s^6 + 9.491e011 s^5 +
2.527e010 s^4 + 4.461e008 s^3 + 5.037e006 s^2
+ 33020 s + 95.8
>> G1=zpk(G); （化为零极点增益形式）
>> z=G1.z; （零点存入Z）
>> p=G1.p; （极点存入P）
>> Z=z{:}; （显示零点）
>> P=p{:}; （显示极点）
>> k=G1.k; （增益存入K）
>> pzmap(G);
>> pzmap(G1); （绘制零极点图）
（4.2 MATLAB绘制的零极点图）
4.2.3参数变化时控制系统的根轨迹对比分析（Kp1为参变量）（1）分析
由图 4.1，以及 4.2 可以看出，开环传递函数有 9个极点，8个零点。

线性
系统稳定的充分必要条件是闭环系统特征方程的根都具有负实部，或者说闭环传递函数的极点位于 s 左半平面(不包括虚轴)，根轨迹与虚轴上交点的 k 值，就是临界增益。

作出的根轨迹如图 4.1，根轨迹部分处于虚轴的右半侧，说明系统是不稳定的。

使用[k,r]= rlocfind(gxk)命令,求取根轨迹上指定点的开环根轨迹增益，以及在该增益下系统的所有闭环极点（见表 4.1），
增益Kp1 与闭环极点变化关系：
(4.1增益Kp1 与闭环极点变化关系表）
（Kp1=14.2时闭环极坐标点分布图） 4.3 变参数控制根轨迹分析结论:
利用MATLAB软件得到许多组不同Kp1值所对应闭环极点分布。

选取几组典型数据得到表4.1，闭环传递函数的全部极点位于s 左半平面(不包括虚轴)，所对应的Kp1的系统稳定。

系统稳定的充分必要条件是Kp1<14.3。

4.4.1 其它参数的变化对于系统迹的影响
当控制器参数变化时，取一组新的控制参数，如表 4.2所示：
4.4.2 新控制参数下的根轨迹
编写和上文类似的程序，只需将参数修改为新的控制器参数，就可以得到在新控制参数下的新的开环传递函数，从而得到新的根轨迹，如图 4.4.
（4.4图）
4.4.3 变参数控制根轨迹分析及结论
得到的新的根轨迹如图 4.4可以发现根轨迹还是位于虚轴的左边，系统有一部分处于虚轴右方，该系统不稳定。

通过图 4.4 的基本控制系统的根轨迹和控制器参数变化时控制系统的根轨迹的对比可以看出，新的根轨迹相对于原跟轨迹整体向右移动了一段距离，超过虚轴的部分更多，说明新的参数下的系统的稳定性没有基本控制系统的稳定性更差，所以除了 kp1之外的其它控制参数也将会影响系统的稳定性，要想系统稳定性好就必须要选用合适的控制参数。

4.5 结语
通过本次的课程设计，我对锅炉过热汽温控制系统有了更加客观和深入的认识，对根轨迹的含义和作用也有了更加深刻的体会，而且还学了使用 MATLAB，然后将 MATLAB 这款软件用于系统根轨迹的分析中。

由于根轨迹图直观的描述了系统特征方程的根在 S 平面的分布，而且 MATLAB 能够很方便的绘制出系统的根轨迹图，所以基于 MATLAB 的根轨迹法分析自动控制系统是非常方便的，特别是针对于如本文所研究的高阶系统。

自动控制课程设计30 MATLAB 在其他领域中应用非常广泛，除了可以进行稳定性分析、还可以进行控制系统动态仿真、频率响应分析、控制系统的辅助设计及离散控制系统的分析和设计，另外还可以应用 Simulink 功能实现控制系统的建模。