2022-2023学年上海市浦东复旦附中分校高一年级上册学期期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市浦东复旦附中分校高一上学期期中数学试题
一、单选题
1．下列函数中，不是偶函数的是（ ）
A ．y =
B ．y
C ．()()1,0
1,0x x x y x x x ⎧-<⎪=⎨+>⎪⎩
D ．()()2,0,
2,0.x x x y x x x ⎧->⎪=⎨-+<⎪⎩
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义，对选项逐一判断.
【详解】对选项A ，函数()f x 的定义域为22
10
10x x ⎧-≥⎨-≥⎩，解得()f x 的定义域为{}1,1-，定义域关于原点
对称，且()()f x f x -=，故()f x 是偶函数.
B 选项，函数()f x 的定义域为2
90
530x x x ⎧-≥⎪⎨++-≠⎪⎩
，解得33x -≤≤，定义域关于原点对称，则
()f x =()()f x f x -==，所以函数()f x 是偶函数. C 选项，当0,0x x >-<，()(1)()f x x x f x -=-+=-，所以()f x 不是偶函数. D 选项，()(
)2,0,2,0.x x x y x x x ⎧->⎪=⎨
-+<⎪⎩，()f x 的定义为(,0)(0,)-∞+∞， 当0,0x x >-<，()(2)()f x x x f x -=-=， 当0,0x x <->，()(2)()f x x x f x -=-+= 所以函数()f x 为偶函数. 故选：C
2．存在函数()f x 满足：对任意x ∈R 都有（ ） A ．()f x x = B ．()2
2f x x x =+ C ．()1f x x += D ．()2
12f x x x +=+
【答案】D
【分析】根据()f x 的奇偶性可以判断A 和B 选项的正误；再根据()1f x +的对称性判断C 和D.
【详解】
f x 必定是一个偶函数，故可以判断A 和B 选项是错误的；
()1f x +是由()f x 的图像向左平移一个单位得到，
所以()1f x +的图像关于=1x -对称， 对于C ，y x =不关于=1x -对称，故舍去；
对于D ，()2
2211y x x x =+=+-关于=1x -对称，故正确， 故选：D.
3．已知函数()()2
2f x x x a a =-+∈R ，若方程()0f x =有实根，则集合(){}
0x f f x ⎡⎤=⎣⎦的元素个数
可能是（ ） A ．1或3 B ．2或3
C ．2或4
D ．3或4
【答案】C
【分析】根据方程()0f x =有实根可求得18a ≤，根据二次函数性质可求得()18f x a ≥-；设()f x t =，
分别在18a =和1
8a <的情况下，讨论220t t a -+=的根的个数，并根据方程的根与18a -的大小关系，
确定()f x t =的根的个数，即为所求集合的元素个数. 【详解】
()0f x =有实根，180a ∴∆=-≥，解得：18
a ≤；
()2
1112488f x x a a ⎛
⎫=--+≥- ⎪⎝
⎭；
设()f x t =，则()2
20f t t t a =-+=；
①当18a =时，14t =，211284x x ∴-+=，即21208x x --=，解得：x =
(){}
0x f f x ⎡⎤∴==⎣⎦⎪⎪⎩⎭
；
②当18a <时，由220t t a -+=得：1t =，2t =
18a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 1
8
a <
，380a ∴->，又()(2
2
238641650a a a --=-+>恒成立，
38a ∴->211
8
t t a >>-，
()()12,f x t f x t ∴==共有四个不等实根1234,,,x x x x ，
(){}
{}12340,,,x f f x x x x x ⎡⎤∴==⎣⎦；
综上所述：集合(){}
0x f f x ⎡⎤=⎣⎦的元素个数可能为2或4. 故选：C.
4．设()(){
2
,,|1M a b c ax bx c a =--+≤对任意[]1,1x ∈-恒成立}，当(),,a b c M ∈时，函数
()f x ax b =+在[]1,1x ∈-上的最大值是(),F a b ，则(),F a b 的最大值为（ ）
A ．2
B ．32
C ．43
D ．54
【答案】A
【分析】令()()2
g x ax bx c a =--+，则任意[]1,1x ∈-都有()01g ≤，()11g ≤，()11g -≤，
将a b c 、、用()()()011g g g -、、表示，则可变形得()()()()()()1112
102
f x
g g g x x x =++
---，结合
绝对值三角不等式即可得出最大值.
【详解】令()()2
g x ax bx c a =--+，则任意[]1,1x ∈-都有()01g ≤，()11g ≤，()11g -≤，
由()()()0,1,1g a c g b c g b c =--=---=-得()()
()()
()()()
11111120,,2
2
2
g g g g g g g b c a ------+-=
=
=
，
∴()()()()
()()
11201122
g g g f g g x x -+--=
+
-
()()()()()110212
1g g g x x x ++---=
()()()()()1102
12
1g g g x x x ≤
++
---+
111211
22
x x x x ≤
++-+=+≤. 故选：A
二、填空题
5．函数()f x 的定义域为______． 【答案】(,0)(0,3]-∞⋃
【分析】根据给定的函数，直接列出不等式求解作答.
【详解】函数(
)f x =300x x -≥⎧⎨≠⎩
，解得3x ≤且0x ≠，
所以函数(
)f x =
(,0)(0,3]-∞⋃. 故答案为：(,0)(0,3]-∞⋃
6．已知集合{}1,21A m =--，{}2
B m =，若B A ⊆，则实数m =______．
【答案】1
【分析】由集合中元素的互异性可得211m -≠-， 由集合相等可得21m =-或221m m =-，再求解即可得解. 【详解】解：由集合{}1,21A m =--，{}2
B m =，
又B A ⊆，
则有21121m m ⎧-=⎨-≠-⎩或2
21121m m m ⎧-=⎨-≠-⎩，
解得m 无解或1m =， 综上可得实数1m =， 故答案为1.
【点睛】本题考查了集合相等的充要条件及集合中元素的互异性，重点考查了元素与集合的关系及运算能力，属基础题.
7．已知实数x ，满足123x x +=，22
125x x +=，则以12,x x 为根的一元二次方程是__________．
【答案】2320x x -+=.
【分析】本题考查一元二次方程韦达定理得逆向运用
【详解】将22
125x x +=变形可得()2
121225x x x x +-=，
可得122x x =即1212
3
2x x x x +=⎧⎨=⎩，
由一元二次方程的韦达定理可知12,x x 为方程2320x x -+=的两根. 故答案为：2320x x -+=.
8．若()f x 在区间2
,22t t t ⎡⎤--⎣⎦上为奇函数，则t 的取值为________．
【答案】1-
【详解】奇函数的定义域关于原点对称，且区间的右端点不比左端点小，有
22
2
220
220022320
t t t t t t t t t t t ⎧--=⎧-=-->⎪
⇔<⎨⎨<--⎩⎪-->⎩
． 解得1t =-．
9．若23a -<<，12b <<，则2a b -的取值范围是____________． 【答案】()6,1-
【分析】直接根据不等式的性质即可得结果. 【详解】因为23a -<<，12b <<， 所以422b -<-<-，621a b -<-<， 即2a b -的取值范围是()6,1-， 故答案为：()6,1-.
10．函数20222025y x x =-+-的递减区间是__________． 【答案】(],2022-∞
【分析】分别在2022x ≤、20222025x <<和2025x ≥的情况下得到函数解析式，结合一次函数的单调性可确定递减区间.
【详解】当2022x ≤时，2022202540472y x x x =-+-=-，此时函数单调递减； 当20222025x <<时，202220253y x x =-+-=；
当2025x ≥时，2022202524047y x x x =-+-=-，此时函数单调递增；
20222025y x x ∴=-+-的递减区间是(],2022-∞.
故答案为：(],2022-∞. 11．函数224
x
y x x =
-+的值域是__________．
【答案】22,53⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【分析】分0,0,0x x x =><三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当0x =时，0y = 当0x ≠，
222
=
441x y x x x x
=
-+-+.
若0x >
时，44x x +
≥=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，此时
222
44131y x x
=
≤
=
--+
，即203
y <≤.
若0x <时，()
444x x x x ⎡⎤
⎛⎫+
=--+-≤-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当4x x -=-，即2x =-时等号成立，此时
222
44151y x x =
≥
=-
---+
，即205
y -≤<.
综上所述，函数的值域为22,53⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：22,53⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
12．已知Rt ABC ∆的周长为定值
2，则它的面积最大值为__________. 【答案】3-【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形面积的最大值.
【详解】设Rt ABC ∆三条边长分别为,,a b c ，其中c 为斜边长，所以2222a b c c a b ++=⎧⎨=
+⎩
，2a b +
，2
≥
2≤
=
6ab ≤
-1
32
ABC S ab ∆=≤
-.
故答案为3-【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
13．若函数()f x [)0,∞+，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[)1,+∞
【分析】依题意可得268mx mx m -++能够取到大于等于0的所有数，然后对m 分类求解得答案．
【详解】解：因为函数()f x [)0,∞+， 所以268mx mx m -++能够取到大于等于0的所有数， 当0m
=时(
)f x
当0m ≠时，则()()2
Δ6480m m m m >⎧⎪⎨=--+≥⎪⎩
，解得m 1≥； 综上可得[)1,m ∈+∞.
故答案为：[)1,+∞．
14．函数()()2
11f x ax a x =-++，11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，若()f x 在定义域上满足：①没有奇偶性；②不单
调；③有最大值，则a 的取值范围是_______． 【答案】()1,11,2⎛
⎫-∞--- ⎪⎝
⎭
【分析】因为函数没有奇偶性，所以一次项系数不为零；因为函数在定义域11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上不单调，所
以二次项系数不为零，且对称轴在区间11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内；又因为二次函数在开区间11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上有最大值，
所以二次项系数小于零，求出a 的取值范围.
【详解】因为函数没有奇偶性，所以10a +≠，即1a ≠-； 又因为函数在11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上不单调，所以0a ≠且111,222a a +⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； 又因为二次函数在开区间11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭上有最大值，所以a<0，
综上，解得()1,11,2a ⎛
⎫∈-∞--- ⎪⎝⎭.
故答案为：()1,11,2⎛
⎫-∞--- ⎪⎝
⎭.
15．已知函数()()()22
1f x x x ax b =-++，若对于任意的x R ∈，都有()()4f x f x =-，则()f x 的最
小值是_____. 【答案】16-
【分析】根据()()110f f =-=及()()4f x f x =-可得()()350f f ==即可求出函数解析式，令244t x x =-+，将函数转化为二次函数，求出函数的最小值.
【详解】解：对任意的x R ∈，都有()()4f x f x =-
()()110f f =-= ()()350f f ∴==
()()()()()()2221354345f x x x x x x x x ∴=---=-+--
令2440t x x =-+≥
则()()()()2
19516g t t t t ∴=--=--
()min 16g t ∴=-
所以()f x 的最小值为16-
故答案为：16-
【点睛】本题考查函数的最值，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题.
16．设a ∈R ，若存在定义城为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件：
①对于任意0x ∈R ，()0f x 的值为2
0x 或0x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解．
则实数a 不能取．．．的值的集合为__________． 【答案】{}0,1
【分析】根据条件①可知00x =或1，进而结合条件②可得a 的范围，并分析函数()f x 的构成，即可确定a 的范围，从而可得实数a 不能取的值的集合. 【详解】解：根据条件①可得()00f =或()11f =，
根据条件②关于x 的方程()f x a =无实数解，所以0a ≠且1a ≠； 由条件①可知函数()f x 的图象是由函数2y
x 和函数y x =的图象分段拼接而成的，
若a<0，只需取()2
f x x =，则()f x a =无解；
若01a <<，只需取()(
]
)
(2
,,0,x x f x x x ∞∞
⎧∈-⋃+⎪
=⎨∈⎪⎩
，则()f x a =无解；
若1a >，只需取()()[)2,,,,x x a f x x x a ∞∞⎧∈-⎪
=⎨∈+⎪⎩
，则()f x a =无解；
故a 的取值范围是()()(),00,11,∞∞-⋃⋃+，则实数a 不能取的值的集合为{}0,1. 故答案为：{}0,1．
三、解答题
17．已知函数()31f x x x =--+． (1)求函数()y f x =的值域；
(2)若直线23y a a =-与()y f x =的图象有无穷多个交点，求实数a 的取值集合A ． 【答案】(1)[]4,4- (2){}1,4-
【分析】（1）采用分段讨论法去绝对值，求出()f x 解析式，画出图象，可求()f x 值域； （2）要使交点有无数多个，即直线234y a a =-=或4-，解方程即可. 【详解】（1）当3x ≥时，()()314f x x x =--+=-； 当13x -≤<时，()()3122f x x x x =--+=-+； 当1x <-时，()314f x x x =-++=，
故()4
,122,134,3x f x x x x <-⎧⎪
=-+-≤<⎨⎪-≥⎩
，如图：
可知()[]4,4f x ∈-；
（2）要使直线23y a a =-与()y f x =的图象有无穷多个交点，即234a a -=或234a a -=-（无解），解得4a =或1-，
故实数a 的取值集合{}1,4A =- 18．已知函数()2
()a
f x x x b =+-，其中,a b ∈R ．
(1)讨论函数()2
()a
f x x x b =+-的奇偶性，并说明理由；
(2)若1
2
a ≤
，0b =，判断函数()y f x =在[)1,+∞上的单调性，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)单调递增，证明见解析
【分析】（1）由奇偶性的定义求解， （2）由单调性的定义证明，
【详解】（1）()f x 的定义域为{|}x x b ≠，
当0b ≠时，()f x 为非奇非偶函数， 当0b =时，()2a f x x x =+
，()2
a
f x x x -=-+， 令()()f x f x -=-，解得0a =，令()()f x f x -=，得a 无解， 综上，当0a b 时，()f x 为奇函数， 当0a ≠或0b ≠时，()f x 为非奇非偶函数，
（2）()2
a
f x x x =+，设[)12,1,x x ∞∈+，且12x x <， 则122121212222
2112()()()()()(1)a x x a a
f x f x x x x x x x x x +-=+-+=--， 由
122222*********x x x x x x x x +=+<，12
a ≤得1222
12()10a x x x x +->，而210x x ->， 故21()()0f x f x ->，()y f x =在[)1,+∞上单调递增．
19．某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)，经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31
k
x t -=+(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.
（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为多少(万元)？
（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为
3
32x
+
(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？ 【答案】（1）19(万元)；（2）当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件).
【解析】（1）可得当0=t 时，1x=，解得2k =，则可列不等式求出； （2）根据题意可列出y 关于t 的函数关系，再利用基本不等式可求出. 【详解】解：（1）由31k x t -=+，当0=t 时，1x=，得2k =，∴231
x t -=+， 由
2
0.11
t ≤+，解得19t ≥， 所以促销费至少为19万元；
（2）网店的利润y (万元)，由题意可得： 332 1.52(332)x
t x x y x x t +⎛⎫⋅+-+ ⎪⎭
+⎝=
99323215021212t t t t +⎛⎫=--=-+ ⎪++⎝⎭
50≤-42=， 当且仅当321
12t t +=+，即7t =时取等号，此时30.25x -=； 所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件). 20．已知函数()1
,f x x a a a x
=--+∈R ．
(1)当1a =时，求方程()0f x =的实数解；
(2)若对任意10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，()0f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)若存在两个不相等的正实数1x ，2x ，满足()()12f x f x =，试比较12x x +、2、2a 这三个数的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1)1x =； (2)5,4⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
⎦；
(3)1222x x a <+<，证明见解析.
【分析】（1）化简后分1x ≥和1x <两种情况求解即可； （2）分0a ≤，12a ≥
和1
02
a <<三种情况求解函数的最大值，使其最大值小于零即可； （3）不妨设12x x <，然后根据分段函数的性质将12,x x 分三种情况：
1201x x a <<<<，1201x a x <<<<和1201x a x <<<<，可得到1222x x a <+<. 【详解】（1）当1a =时，()1
11f x x x
=--
+， 由()0f x =，得()1
110f x x x
=--+=，
110x x x -+-=，
当10x -≥，即1x ≥时，(1)10x x x -+-=，解得1x =或=1x -（舍去）， 当10x -<，即1x <时，(1)10x x x -+-=，解得1x =（舍去）， 综上，方程()0f x =的实数解为1x =；
（2）①当0a ≤时，因为10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
，所以11()f x x a a x x x =--+=-，
则()f x 在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增，
所以11
3()222
2f x f ⎛⎫≤=-=- ⎪⎝⎭，符合题意，
②当12a ≥
时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，则由对勾函数的性质可知，()f x 在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递增，
所以115()222222f x f a a ⎛⎫⎛⎫
≤=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为()0f x ≤，所以5202
a -≤，得54a ≤，
所以1
52
4
a ≤≤，
③当102a <<时，1
,()12,x x a x f x a x x a
x ⎧-≥⎪⎪
=⎨⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩，
当x a ≥时，1()f a a a =-
，当x a <时，1()f a a a
=-， 所以()f x 在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
上单调递增，
所以11
3()222
2f x f ⎛⎫≤=-=- ⎪⎝⎭，符合题意，
综上，54
a ≤
，即实数a 的取值范围为5,4⎛
⎤-∞ ⎥⎝⎦；
（3）不妨设12x x <，
当x a >时，11
()f x x a a x x x
=--+=-在(0,)+∞上单调递增，
所以不存在两个不相等的正实数12,x x ，满足()()12f x f x =，舍去， 当x a =时，1
()f x a a
=-
为定值，不合题意， 当x a <时，1()2f x a x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由对勾函数的性质可知，当1a ≤时，1()2f x a x x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭在(0,)a 上
单调递增，1
()f x x x
=-在(,)a +∞上单调递增，
而两个分段函数在x a =处函数值相同， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，
所以不存在两个不相等的正实数12,x x ，满足()()12f x f x =，舍去，
当1a >时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增， 且11()2f a a a a a a ⎛
⎫=-+=- ⎪⎝
⎭，即分段函数在x a =处函数值相同，
所以要存在两个不相等的正实数12,x x ，满足()()12f x f x =，则12,x x 有三种类型， 第一种：
1201x x a <<<<，则122x x a +<，
当(1,)x a ∈时，11()()(2)2222h x f x f x a x a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--=-+---+ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11
2222a x a x x x
=---+-+-
11
222x x x
=--++-
任取34,(1,)x x a ∈，且34x x <，则
434344331111()()222222h x h x x x x x x x ⎛⎫
-=--++---++ ⎪--⎝⎭
434433
1111
222222x x x x x x =--
++++---- 43433411
()2(2)(2)x x x x x x ⎡⎤=-+-⎢⎥--⎣⎦
因为3344
4334112
2
(2)(2)(2)(2)22
x x x x x x x x +≥≥=-+-+--⋅， 当且仅当341x x ==时取等号，
因为34,(1,)x x a ∈，所以取不到等号，所以
4334
112(2)(2)x x x x +>--，
所以43433411
()20(2)(2)x x x x x x ⎡⎤-+->⎢
⎥--⎣⎦， 所以43()()0h x h x ->，即43()()h x h x > 所以()h x 在(1,)a 上单调递增，
所以()(1)0h x h >=，所以()(2)f x f x >-， 因为2(1,)x a ∈，所以22()(2)f x f x >-， 因为()()12f x f x =，所以12()(2)f x f x >-，
因为1201,021x x <<<-<，()f x 在(0,1)上单调递增， 所以122x x >-，所以122x x +>， 综上，1222x x a <+<， 第二种情况：
1201x a x <<<<，显然122x x +>，
当(1,)x a ∈时，11()()(2)2(2)2g x f x f a x a x a x x a x ⎛
⎫⎡⎤=--=-+--- ⎪⎢⎥-⎝
⎭⎣⎦ 112x a x
=-+-，
任取56,(1,)x x a ∈，且56x x <，则
6566551111()()22g x g x x a x x a x ⎛⎫
-=-+--+ ⎪--⎝⎭
6565
5656(2)(2)
x x x x x x a x a x --=
+-- ()6556
5611(2)(2)x x x x a x a x ⎡⎤=-+⎢⎥--⎣⎦，
因为56,(1,)x x a ∈，且56x x <，
所以650x x ->，56(2)(2)0a x a x -->，560x x >， 所以65()()0g x g x ->，即65()()g x g x >， 所以()()(2)g x f x f a x =--在(1,)a 上单调递增， 所以()()(2)()0g x f x f a x g a =--<=， 因为1(1,)x a ∈，所以11()(2)f x f a x <-， 因为()()12f x f x =，所以21()(2)f x f a x <-， 因为21,2x a a x a >->，()f x 在(,)a +∞上单调递增， 所以212x a x <-，所以122x x a +<， 综上1222x x a <+<， 第三种情况：
1201x a x <<<<，由第一种情况可知122x x +>，则第二种情况可知122x x a +<， 所以1222x x a <+<， 综上1222x x a <+<.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查函数单调性的应用，第（3）问解题的关键是分情况讨论可得当x a <时，当1a >时，函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，然后再对12,x x 分三种情况求解，考查分类思想和数计算能力，属于较难题.
21．已知定义城为D 的函数()f x ，若存在实数a ，使得对任意1x D ∈，都存在2x D ∈满足12()
2
x f x a +=，则称函数()f x 具有性质()P a ．
(1)判断下列函数是否具有性质()0P ，无需说明理由； ①()f x x =； ②()1f x x
=-
(2)若函数()f x 的定义域为D ，且具有性质()1P ，则“()0f x =有解”是“2D ∈”的__________条件（横线上填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”），并证明你的结论； (3)若存在唯一的实数a ，使得函数2()4f x tx x =++，2[]0，
x ∈具有性质()P a ，求实数t 的值． 【答案】(1)()f x x =不具有性质()0P ，()1
f x x
=-具有性质()0P
(2)必要非充分、证明详见解析
(3)0
【分析】（1）根据性质()0P 对两个函数进行分析，从而确定正确答案. （2）根据充分、必要条件的知识，结合性质()1P 作出判断.
（3）对t 进行分类讨论，求得()f x 的值域，结合性质()P a 以及a 的唯一性求得t 的值. 【详解】（1）性质()0P ：对任意1x D ∈，都存在2x D ∈满足
12()
02
x f x +=，()21f x x =-. ①()f x x =，取11x =，则11x -=-，而()2210f x x x =≥>-， 所以()f x x =不具有性质()0P . ②()1
f x x
=-，()f x 的定义域为()
(),00,∞-+∞，值域是()(),00,∞-+∞，
对于任意()()1,00,x ∈-∞+∞，()()1,00,x -∈-∞⋃+∞，
即存在()()2,00,x ∈-∞⋃+∞，使()21f x x =-，所以()1
f x x
=-具有性质()0P .
（2）函数()f x 的定义域为D ，且具有性质()1P ， 即使得对任意1x D ∈，都存在2x D ∈满足()1221()
1,22
x f x f x x +==-+， 当“()0f x =有解”时：
如()[]31,0,1f x x x D =-∈=，则103f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
033,1312x x ≤≤-≤-≤，即()f x 的值域是[]1,2-，
对任意[][][]1110,1,1,0,21,2x x x ∈-∈--+∈ []1,2-，
即存在2x D ∈使()212f x x =-+，也即()[]31,0,1f x x x =-∈具有性质()1P ， 但2D ∉，所以“()0f x =有解”⇒“2D ∈”.
当“2D ∈”时，即对任意12x D =∈，都存在2x D ∈满足()212220f x x =-+=-+=， 即“()0f x =有解”，
所以“2D ∈”⇒“()0f x =有解”，
所以“()0f x =有解”是“2D ∈”的必要不充分条件.
（3）依题意，存在唯一的实数a ，使得函数2()4f x tx x =++，2[]0，
x ∈具有性质()P a ， 即：存在唯一的实数a ，对任意[]10,2x ∈，都存在[]20,2x ∈满足12()
2
x f x a +=，()212f x x a =-+， 11102,20,2222x x a x a a ≤≤-≤-≤-≤-+≤，
记()f x 的值域为F ，则[]22,2a a F -⊆， 当0=t 时：
()4f x x =+，02,446x x ≤≤≤+≤，即[]4,6F =， 所以224
326
a a a -≥⎧⇒=⎨
≤⎩，a 唯一，符合题意. 当0t ≠时，2()4f x tx x =++的对称轴为1
2x t
=-
，14t ∆=-. 当0t >，2()4f x tx x =++在[]0,2上递增，所以[]4,46F t =+，
所以224
323246
a a t a t -≥⎧⇒≤≤+⎨
≤+⎩，a 不唯一，不符合题意. 当1
04
t -≤<时，122t -≥，2()4f x tx x =++在[]0,2上递增，所以[]4,46F t =+，
所以224
246a a t -≥⎧⎨≤+⎩
，无解.
当1124t -≤<-时，1
122t
≤-<，
所以()f x 的最大值是11424f t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，最小值是()04f =，则14,44F t ⎡
⎤=-⎢⎥⎣⎦，
所以224
1244a a t -≥⎧⎪
⎨≤-⎪⎩
，1328a t ≤≤-，由于a 唯一，所以1123,88t t -==-（舍去）.
当21t <-时，1012t <-<，所以()f x 的最大值是11424f t t ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭，
最小值是()246f t =+，则146,44F t t ⎡
⎤=+-⎢⎥⎣
⎦，
所以2246
1
244a t a t -≥+⎧⎪
⎨≤-⎪⎩
，12428t a t +≤≤-，由于a 唯一， 所以12428t t +=-
，解得t =
. 综上所述，a 的值为0
【点睛】求解含有参数的一元二次函数在闭区间上的值域问题，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可以考虑二次函数的开口方向、对称轴、判别式、定义域等等.。