高中数学第三章变化率与导数3.1变化的快慢与变化率作业1北师大版选修1-1(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第三章变化率与导数3.1 变化的快慢与变化率作业1 北师大版选修1-1
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3。

1 变化的快慢与变化率
[基础达标]
1.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR,则球的表面积增加ΔS等于（）
A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π（ΔR)2
C．4πRΔR＋4π（ΔR)2D．4π（ΔR）2
解析：选B.ΔS＝4π（R＋ΔR）2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.
2.某质点的运动规律为s＝t2＋3,则在时间段（3，3＋Δt）中的平均速度等于（）
A．6＋Δt B．6＋Δt＋错误!
C．3＋Δt D．9＋Δt
解析：选A.v＝错误!＝错误!
＝错误!＝6＋Δt.
3。

已知点P(2，8）是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为（）
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D。

Δy＝2（2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2（Δx）2，
错误!＝错误!＝8＋2Δx,
当Δx无限趋近于0时,错误!无限趋近于常数8.
4.已知物体的运动方程为s＝t2＋错误!(t是时间,s是位移),则物体在时刻t＝2时的速度为（）
A.19
4
B.错误!
C.错误!D。

错误!
解析:选D.错误!＝错误!
＝4＋Δt－错误!，
当Δt无限趋近于0时,错误!无限趋近于错误!，∴选D.
5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零,则相应的时刻为( )
A．t＝1 B．t＝2
C．t＝3 D．t＝4
解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt）2＋16(t＋Δt)－（－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4（Δt)2。

又因为在某时刻的瞬时速度为零，
当Δt趋于0时，错误!＝16－8t－4Δt无限趋近于0.
即16－8t＝0,解得t＝2。

6.某日中午12时整，甲车自A处以40 km/h的速度向正东方向行驶,乙车自A处以60 km/h 的速度向正西方向行驶,至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．解析：错误!＝错误!＝100 km/h。

答案：100 km/h
7.一木块沿某一斜面自由下滑,测得下滑的距离s与时间t之间的函数关系为s＝错误!t2，则t＝2时，木块的瞬时速度为________．
解析:错误!＝错误!＝错误!t＋错误!Δt。

当t＝2,且Δt趋于0时，错误!趋于错误!.
答案：错误!
8.已知曲线y＝x2＋1在点M处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为________．
解析:Δy＝（x＋Δx）2＋1－（x2＋1)＝2xΔx＋(Δx）2,
错误!＝错误!＝2x＋Δx，
当Δx无限趋近于0时,错误!无限趋近于2x＝－4，所以x＝－2，可得y＝5.
答案：（－2，5)
9.求函数y＝x2在x＝1，2,3附近的平均变化率，取Δx都为错误!，哪点附近的平均变化率最大．
解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝f（1＋Δx）－f（1）
Δx
＝错误!＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为k2＝错误!
＝错误!＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为k3＝错误!
＝错误!＝6＋Δx.
令Δx＝错误!，可得k1＝错误!，k2＝错误!，k3＝错误!，故函数f(x）在x＝3附近的平均变化率最大．
10.如果一个质点从定点A开始运动，关于时间t的位移函数为y＝f(t）＝t3＋3。

求该质点在t＝4时的瞬时速度．
解：错误!＝错误!
＝错误!
＝48＋12Δt＋(Δt）2，
当Δt无限趋近于零时,错误!无限趋近于48。

即质点在t＝4时的瞬时速度是48.
［能力提升]
1.函数f（x）＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1,在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是（）
A．k1＜k2B．k1＞k2
C．k1＝k2D．无法确定
解析：选D。

因为k1＝错误!＝2x0＋Δx，
k
2
＝错误!＝2x0－Δx，
又Δx可正可负且不为零，所以k1,k2的大小关系不确定．
2.若函数f（x）＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，则Δx的范围是________．
解析:因为函数f(x)在［2，2＋Δx］上的平均变化率为：
错误!＝错误!
＝错误!
＝错误!＝－3－Δx,
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2。

又因为Δx＞0,即Δx的取值范围是（0，＋∞）．
答案：（0，＋∞）
3。

若一物体的运动方程如下(s单位:m，t单位：s）：s＝错误!
求：（1）物体在t∈[3，5］内的平均速度；
（2)物体的初速度v0；
（3）物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)t∈[3，5］时,Δt＝5－3＝2，Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，∴错误!＝错误!＝24(m/s)．
（2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均速度为v，－＝错误!＝错误!＝错误!＝3Δt－18，
∴物体在t＝0时的瞬时速度为v0＝错误!错误!＝错误!（3Δt－18）＝－18(m/s)．
（3）∵物体在t＝1时的平均速度为错误!＝错误!＝错误!＝3Δt－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为v＝错误!错误!＝错误!（3Δt－12)＝－12（m/s）．
4．质点M按规律s＝s（t)＝at2＋1做直线运动（位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解:假设存在常数a,则Δs＝s（2＋Δt)－s(2）＝a（2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt ＋a（Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2,所以错误!＝错误!＝4a＋aΔt.当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a，由题易知4a＝8，解得a＝2.所以存在常数a＝2,使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s。