辽宁省沈阳铁路实验中学高二数学上学期第二次月考试题文

沈阳铁路实验中学2015--2016学年度上学期第二次月考
高二数学（文科）
时间：120分钟 分数：150分 一、选择题
1．命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”的否定是 （ ） A ．不存在01,23≤+-∈x x R x B.存在01,23≤+-∈x x R x C. 存在01,23>+-∈x x R x D. 对任意的01,23>+-∈x x R x 2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（ ）． A ．5 B ．7 C ．9 D ．11
3．已知方程13
922=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ）
A.3<k<9
B. k>3
C. k>9
D. k<3
4．已知1,,,921--a a 成等差数列，1,,,,9321--b b b 成等比数列 ，则()212a a b +等于（ ） A.30 B.-30 C.±30 D. 15
5．若实数,a b 满足
12
a b
+=，则ab 的最小值为（ ）
A D.4
6．下列说法错误．．
的是：（ ） A ．命题“若x 2
-4x+3=0,则x=3”的逆否命题是：“若x ≠3,则x 2
-4x+3≠0” B ．“x ＞1”是“x ＞0”的充分不必要条件 C ．若p 且q 为假命题，则p,q 至少有一个假命题
D ．命题p ：“存在x R ∈使得210x x ++<，”则p ⌝：“对于任意x R ∈，均有210x x ++>”
7．在△ABC 中，已知2
cos
sin sin 2A
C B =⋅，则三角形△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角 B ．等腰三角形 C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
8．若关于x 的不等式2
230xa xa --<在区间[1,1]-上恒成立，则实数a 的取值范围是
A ．[1,1]-
B ．[1,3]-
C ．(1,1)-
D ．(1,3)-
9．已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ）
A
．2 D
1
10．设双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的右焦点是F ，左右顶点分别为12,A A ，
过F 作12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥，则该双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．12±
B
．．1± D
．11．设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0020
63y x y x y x ，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则
32
a b
+的最小值为 A ．
25
6
B ．83
C ．113
D ．4
12．已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点．若
FB FA 2=，则k= （ ）
A ．
31 B ．3
2
C ．32
D ．322 二、填空题
13．抛物线2
4x y =的准线方程为
14．数列{}n a 的前n 项和*
23()n n S a n N =-∈，则数列{}n a 的通项公式为n a = ．
15．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为()2,1，点(),x y N 的坐标x 、y 满足不等式组
2303301x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则OM⋅ON 的取值范围是 ． 16．已知P 是椭圆
22
1124
x y +=上不同于左顶点A 、右顶点B 的任意一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为1212,,k k k k ⋅则的值为 ．
三、解答题
17．（1）已知不等式ax 2
一bx+1≥0的解集是1
1[,]23
--，求不等式一x 2
+bx+a ＞0的解集；
（2）若不等式ax 2
+ 4x 十a ＞1—2x 2
对任意x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围．
18．在ABC ∆中内角,,,C B A 的对边分别为c b a ,,，且b
c
a B C -=3cos cos
（1）求B sin 的值；
（2）如果b=42，且a=c,求ABC ∆的面积.
19．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4379,22a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求证：
123
111
134
n S S S S ++++
<． 20．已知抛物线2
4y x =，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点。

（1）求点Q 的轨迹方程；
（2）若倾斜角为60°且过点F 的直线交Q 的轨迹于,A B 两点，求弦长AB 。

21．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ，n a ，1
2
成等差数列， （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若42n b n =-()
n N *
∈，设n
n n
b c a =
，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
22．已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，一条经过点)5,3(-且倾斜角余弦值为3
2
-的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于M 点，又MB AM 2=.
（1）求直线l 的方程；
（2）求椭圆C 长轴的取值范围。

参考答案
1．C 【解析】
试题分析：因为命题“对任意的01,23≤+-∈x x R x ”是全称命题，则利用,()x M p x ∀∈，则其否定为,()x M p x ∃∈⌝，那么可知其否定是存在01,23>+-∈x x R x ，选C. 考点：本试题考查了全称命题的否定。

点评：解决全称命题的否定问题，要对于任意改为存在，结论变为否定即可，那么可得到结论，明确了全称命题和特称命题的关系，掌握,()x M p x ∀∈，则其否定为,()x M p x ∃∈⌝，属于基础题。

2．A 【解析】
试题分析：因为135333a a a a ++==，所以31a =，所以153
55()52522
a a a S ⨯+⨯===，
故选A ．
考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和． 3．C 【解析】
试题分析：根据双曲线方程的特点可知，方程 13
92
2=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，
则说明而来原式变形为22
30199093k x y k k k k ->⎧-+=∴∴>⎨->-+-⎩
，故答案选C. 考点：本试题考查了双曲线的方程的表示。

点评：对于双曲线的方程的特点是等式左边是平方差，右边为1，同时分母中为正数，因此可知要使得焦点在x 轴上，则必须保证2y 的系数为正，因此可知不等式表示的范围得到结论，
属于基础题。

224440
010a a a a
⎧∆=-=->⎪
∴<⎨<⎪⎩
4．A 【解析】
试题分析：根据题意，由于1,,,921--a a 成等差数列，故等差中项的性质可知，有
129110a a +=--=-
1,,,,9321--b b b 成等比数列，则由等比中项性质得到，2213(1)(9)9b bb ==-⨯-=
由于奇数项的符号爱等比数列中相同 ，故23b =-，因此()212a a b +=30，选A. 考点：本试题考查了等差数列和等比数列的概念。

点评：对于等差数列和等比数列的等差中项性质与等比性质的运用是数列考试题中常考的知识点，要熟练的掌握，同时能利用整体的思想来处理数列问题，也是很重要的一种思想，属于基础题。

5．C 【解析】
试题分析：
12
0a b
+=且0ab >可知0,0
a b >>．
12a b =
+≥=
解得ab ≥ 当且仅当
12
a b
=即2b a =时取等号．故C 正确． 考点：基本不等式． 6．D 【解析】
试题分析：A 中逆否命题需将条件和结论交换后分别否定；B 中“x ＞1”是“x ＞0”的一部分，因此“x ＞1”是“x ＞0”的充分不必要条件；C 中p 且q 为假命题，则有一个假命题或两个假命题；D 中特称命题的否定是全称命题，需将结论加以否定，210x x ++<的否定为
210x x ++≥
考点：四种命题与全称命题特称命题 7．B 【解析】
试题分析：根据题意有1111
sin sin cos (cos cos sin sin )2222
B C A B C B C =
+=--，化简得cos()1B C -=，结合三角形内角的取值范围，可以确定B C =，从而确定出三角形是等腰三
角形，故选B ．
考点：倍角公式，诱导公式，和差角公式，三角形形状的判断． 8．D 【解析】
试题分析：令()
22()2323f x xa xa a a x =--=--，则关于x 的不等式2
230
xa xa --<在区间[1,1]-上恒成立等价于()()22
(1)2(1)30(1)2130
f a a f a a ⎧-=-⨯--<⎪
⎨=-⨯-<⎪⎩，解之得13a -<<，故选D ．
考点：函数与不等式．
【方法点睛】本下周主要考查函数与不等式相关知识，解题关键是构造函数
()2()23
f x a a x =--，把不等式2
230xa xa --<在区间[1,1]-上恒成立转化为()0f x ≥在区间[1,1]-上恒成立，由一次函数的性质转化为(1)0
(1)0
f f -<⎧⎨<⎩求解．
9．D ． 【解析】
试题分析：如下图所示，设P 是抛物线上任意一点，抛物线焦点坐标为(1,0)F ， ∴
1111
PA PB PC PB PF PB FB FD +=-+=+-≥-≥-，而
FD==，
1，故选D．
考点：抛物线的标准方程及其性质．
【方法点睛】利用抛物线的定义可解决的两类问题（1）轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用．
10．C
【解析】
试题分析：由题意，()()22
1212
,0,,0
b b
A a A a
B c
C c A B A C
a a
⎛⎫⎛⎫
-⊥
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，，，，-，，
2
2
1
b
b
a
a a b
c a c a
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
∴⋅-∴=
++
＝，，∴双曲线的渐近线的斜率为1±．故选：C．
考点：双曲线的性质，考查斜率公式
11．D
【解析】
试题分析：在直角坐标作出可行域（如下图所示），由线性规划知识可知，当目标函数(0,0)
z ax by a b
=+>>经过点可行域内的点(4,6)
B时有最大值12，此时有4612
a b
+=即236
a b
+=，
所以
32a b
+322319
41
4
(12)(12)4
666a b b a a a b a
b +⎛⎫=+=++≥+= ⎪
⎝⎭，当且仅当94b a a b
=即32b a =时取到等号，故选D ．
考点：1．线性规划；2．基本不等式．
【方法点睛】本题主要考查的是线性规划与基本不等式相结合的试题，属于难题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．构造基本不等式一定要注意适用条件，即保证两个数均为正数，和或积为定值，等号能取到． 12．D 【解析】
试题分析：抛物线2
8y x =的准线为2x =-,设()()1122,,,A x y B x y ,
由抛物线的定义可知
122,2
FA x FB x =+=+,
()12122,222,22FA FB x x x x =∴+=+∴=+．
将)0)(2(>+=k x k y 代入2
8y x =消去y 并整理可得()
22224840
k x k x k +-+=．
由韦达定理可得121228
4,4x x x x k
+=
-=． 解1212422
x x x x =⎧⎨=+⎩得124,1x x ==．1228414x x k ∴+=-=+,0k >,所以解得3k =．故
D 正确．
考点：1抛物线的定义;2直线与抛物线的位置关系问题．
13．16
1-=y 【解析】
试题分析：根据已知中抛物线2
2
111
42,448
y x x y p p =∴=
∴==，且焦点在y 轴上，那么利用y 轴上的准线方程，由于开口向上，因此准线方程为1
216
p y =-=-,故答案为161-=y 。

考点：本试题考查了抛物线的方程的运用。

点评：解决该试题的关键是对于抛物线性质的熟练程度，以及基本性质的准确表示，首要的就是将方程化为标准式方程，然后得到2P 的值，进而确定焦点，然后表示准线方程，属于基础题。

14．1
32n n a -=⋅
【解析】
试题分析：1n =时11123S a a =-=,解得13a =． 当
2
n ≥时
()()111
232322n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-
12n n a a -⇒=
1
2n
n a a -⇒
=． 所以数列{}n a 是以3为首相2为公比的等比数列．132n n a -∴=⋅． 考点：等比数列的定义,通项公式． 15． 【解析】
试题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用向量的数量积表示出2z OM ON x y ==+，利用z 的几何意义求最值即可．
N （x ，y ）的坐标x ，y 满足不等式组2303301x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
表示的可行域如图：
目标函数为2z OM ON x y ==+ 由向量的数量积的几何意义可知，
当N 在（3，0）时，OM⋅ON 取得最大值是（3，0）·（2，1）=6， 在（0，1）时，OM⋅ON 取得最小值为（2，1）·（0，1）=1， 所以的取值范围是， 所以答案应填：．
考点：1、简单线性规划；2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【方法点晴】本题主要考查了简单线性规划的应用、向量的数量积等知识，属于基础题．文科考查线性规划问题都考查的比较浅，难度不大这与理科有所区别，本题就具备这个特点，只是目标函数稍加变动．解线性规划问题的一般步骤：一是作出可行域；二是作出目标函数对应的过原点的直线0l ；三是平移0l 到经过平面区域时目标函数的最值． 16．1
3
-
【解析】
试题分析：设(x,y)P
，(A --
则
1k =
，
2k =
，21221223y k k x x ==--，……①因为P 在椭圆上，所以221
124x y +=，即
2
2
123x y -=
……②
把②代入①，得
21221
123y k k x ==-
- 考点：椭圆的标准方程及简单性质的应用
17．（1） (2,3) （2） 2a > 【解析】
试题分析：（1） 由一元二次方程根与一元二次不等式解集关系得：11
,23
-
-是方程210ax bx --=的根，由韦达定理列等量关系：11111
(),()2323b a a
-+-=-⨯-=-，解得解
得6,5a b =-=代入不等式20x bx a -++>可得2560x x -+<解得23x << （2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题：结合二次函数图像知，二次函数最值可由开口方向及判别式确定，即20a +>且0∆<，解得2a >
试题解析：解（1）由题意知：11
,23
-
-是方程210ax bx --=的根， 由根与系数的关系，得11111
(),()2323b a a
-+-=-⨯-=-
解得6,5a b =-=代入不等式20x bx a -++>可得2
560x x -+<解得23x <<
所以不等式解集为(2,3)……6分
原不等式可化为2(+2410a x x a ++->）
显然2a =-时不合题意，所以要使不等式对于任意的x 恒成立，必须有20a +>且0∆< 即20164(2)(1)0a a a +>⎧
⎨
-+-<⎩
解得2a >，实数a 的取值范围为2a >
考点：二次函数、二次不等式、二次方程相互关系，不等式恒成立问题
18．(1)sin 3
B =(2)【解析】
试题分析：解：（1）由已知B c B a C b cos cos 3cos -=， 由正弦定理得B C B A C B cos sin cos sin 3cos sin -=
∴
()A
C B B C C B B A sin sin cos sin cos sin cos sin 3=+=+=
3
1cos 1cos 30=
∴=∴<<B B A π 3
2
2sin 0=
∴<<B B π
⑵B ac c a b cos 22
22-+=
2
832
22421sin 2124
2=⋅⋅===∴∆B ac S a 考点：本试题考查了解三角形的运用。

点评：解决该试题的管家式对于已知中的边角关系的互化，结合正弦定理和余弦定理阿丽表示得到第一问的角和第二问中边长的值，主要是考查了同学们对于两个定理的熟练程度的运用，属于基础题。

19．（1）21n a n =+；（2）详见解析． 【解析】
试题分析：（1）将条件中的式子转化为只与1a ，d 有关的方程，解出1a 与d ，即可得到通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式首先求出1
n
S ，再利用裂项相消法即可求得新数列{}n a 的前n 项和，即可得证不等式．
试题解析：（1）∵等差数列{}n a ，49a =，3722a a +=，
∴11*139321()28222
n a d a a n n N a d d +==⎧⎧⇒⇒=+∈⎨⎨+==⎩⎩；（2）由（1）可知，
1()(321)(2)22n n a a n n n S n n +⋅++⋅=
==+，∴11111
()(2)22
n S n n n n ==-++，
∴
123
111111*********(1)(1)2324+222124
n S S S S n n n n ++++
=-+-+⋅⋅⋅-=+--<++． 考点：1．等差数列的通项公式及其前n 项和；2．裂项相消法求数列的和． 20．解:（1）（6分）设),(y x Q ，∵Q 是OP 中点，∴)2,2(y x P 又∵点P 在抛物线x y 42
=上
∴()x y 2422
⨯= 即x y 22
=为点Q 的轨迹方程
（2）（6分）F （1,0） 3=AB k ∴直线AB 的方程为：()13-=x y
设点()()2211,,,y x B y x A 联立 ()13-=x y
x y 22=
消去y 得 03832=+-x x 1,3
8
2121==
+x x x x ()3
7
4412
12212
=
-++=x x x x k AB
【解析】略
21．（1）22-=n n a ；（2）1
214-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=n n n T
【解析】
试题分析：（1）首先通过212-=n n a S 求出1a ，再利用1--=n n n S S a 得到21
=-n n a a
()2≥n ，进而证明{}n a 为以2
1
为首项，以2为公比的等比数列，从而得到其通项公式22-=n n a ． （2）通过2
2
-=n n a 和n b n 24-=的到()2
2124-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-=n n n C ，从而得到前n 项和n T 的形式，
然后利用错位相减法化简得到1
214-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=n n n T ．
试题解析：（1）212-
=n n a S ，当1=n 时，2
1
1=a ，12=a 当2≥n 时，1122---=-=n n n n n a a S S a
12-=n n a a ,
21
=-n n
a a ∴数列{}n a 是以2
1
为首项，以2为公比的等比数列， ∴()
*21
222
1N n a n n n ∈=⨯=
--
解：由题意可得：()2
2124-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-=n n n C
()()()2
2
1
1
212124************--⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+++=n n n n c c c T
()()()1
3210212421421221021221-⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-++⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=n n n T
错位相减得
()()()()()1012
2
1
111111122222422222222n n n T n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
=⨯+-⨯+-⨯+-⨯++-⨯--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
()()1
1
1
21221242
112
1124---⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⨯=⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯---⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-⨯-+=n n n n n
1
214-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=n n n T
考点：1．等比数列的定义，通项公式及其前n 项和公式；2．错位相减法； 22．(1) )1(25--=x y (2) ).3
41
2,2( 【解析】
试题分析：解：（1） 直线l 经过点)5,3(-且倾斜角余弦值为3
2
-
∴直线l 的方程为)1(2
5
--
=x y . （2）设)1(25
--=x y 与椭圆12222=+b
y a x 交于),(),,(2211y x B y x A ，与x 轴交于M （1，0），由MB AM 2=知：212y y -=. 将15
2+-
=y x 代入222222b a y a x b =+得
0)1(5
4)54(222
222=-+-+a b y b y a b
⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧
-=+-=
-=+=+∴2
222
22212
22221254)1(5
454y a b a b y y y a b b y y ① 0)1()54
(4)5
4
(
222222>-+-=∆a b a b b
54522>+∴b a ②
由①消去2y 得
09)
1(54)1)(54(322
222
2
2
2
2
>--=⇒-+=a a a b a a b b ，③
③代入②得91,59)1(552
2
222
<<∴>--+a a
a a a 又∴>,2
2
b a 2
2
222
49)1(54a a
a a
b <--=，综合解得∴<<,94112a ,3411<<a ∴椭圆C 长轴的取值范围为).3
41
2,
2( 考点：本试题考查了直线方程与椭圆的知识。

点评：解决该试题的关键是能利用已知中的点和斜率来借助于点斜式方程表示出直线的方程，同时能结合直线与椭圆的相交，联立方程组，进而结合韦达定理和判别式来求解表示出长轴长，借助于参数a 的范围得到所求，属于中档题。