2019-2020学年XXX学校高二(下)期末数学模拟试卷 (2)-0713(解析版)

2019-2020学年XXX 学校高二（下）期末数学模拟试卷 (2)
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设全集U ={−1,−2,−3,−4,0}，集合A ={−1,−2,0}，B ={−3,−4,0}，则(∁U A)∩B =( )
A. {0}
B. {−3,−4}
C. {−1,−2}
D. ⌀
2. 若复数z =4−i ，则z −
z
=( )
A. −1517+8
17i
B. 1+8
17i
C. 1517+8
17i
D. 1517−8
17i
3. 若函数
则f(f(2))= ( )
A. 1
B. 4
C. 0
D. 5−e 2
4. 已知实数a,b,c 满足a +b +c =0，abc >0，则1
a +1
b +1
c 的值( )
A. 一定是正数
B. 一定是负数
C. 可能是0
D. 正负不能定
5. x 0 1
2
3
4 y
2
4.2
4.5
4.6
m
且回归方程是y =0.65x +2.7，则m =( ) A. 5.6 B. 5.3 C. 5.0 D. 4.7 6. 设a =0.993.3,b =3.30.99,c =log 3.30.99, 则( )
A. c <b <a
B. c <a <b
C. a <b <c
D. a <c <b
7. 函数f(x)=(3x +3−x )ln|x|的图象大致为( )
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数f(x)=−x 2+2x +4，则当x ∈(0,3]时，f(x)的最大值为( )
A. 4
B. 1
C. 3
D. 5
9. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，若当x <0时，f(x)=−log 2(−2x)，则f(32)=( )
A. −32
B. −6
C. 6
D. 64
10. 函数f(x)=lnx −x −a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,−1]
B. (−∞,−1)
C. [−1,+∞)
D. (−1,+∞)
11. 已知函数f(x)={
(1
2)x ,x <0
log 3x,x ≥0
.设a =log 12
√3，则f(f(a))的值等于( ) A. 1
2
B. 2
C. 3
D. −2
12. 已知函数f(x)=
f′(1)e
e x +
f(0)2
x 2−x ，若存在实数m 使得不等式f(m)≤2n 2−n 成立，求实数n
的取值范围为( )
A. (−∞,−1
2]∪[1,+∞) B. (−∞,−1]∪[1
2,+∞) C. (−∞,0]∪[1
2,+∞)
D. (−∞,−1
2]∪[0,+∞)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数y =1
|x|+ 2的最大值是______． 14. 函数y =(12
)
x 2−3x+2的单调增区间是__________．
15. 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄
鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物．则结论是________．
16. 若函数f(x)=x 3−2mx 2+m 2x 在x =1处取得极小值，则实数m =________________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知复数z =(m 2+5m −6)+(m 2−2m −15)i ，(i 为虚数单位，m ∈R)
(1)若复数z 在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数M 的值； (2)当实数m =−1时，求|z
1+i |的值．
18. 已知函数f(x)=log a x ，
(a >0且a ≠1)的图象过(1
4,2)点．(1)求a 的值．(2)若g(x)=f(3−x)−f(3+x)，求g(x)的解析式与定义域．
19.某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水
平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%)
甲校高二年级数学成绩：
(II)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据写下面2×2列联
0.05
k2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
20.已知函数f(x)=xlnx−x+1
2x2−1
3
ax3，f′(x)为函数f(x)的导函数．
(1)若F(x)=f(x)+b，函数F(x)在x=1处的切线方程为2x+y−1=0，求a、b的值；
(2)若曲线y=f(x)上存在两条互相平行的切线，其倾斜角为锐角，求实数a的取值范围．
21.已知函数．
(1)当a=b=1
时，求f(x)的单调区间；
2
(2)当a=0,b=−1时，方程f(x)=mx在区间内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
22.已知曲线C的极坐标方程为，直线l:θ=a(a∈[0,π),ρ∈R)与曲线C
相交于M、N两点．以极点O为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C的参数方程；
(Ⅱ)记线段MN的中点为P，若|OP|⩽λ恒成立，求实数λ的取值范围．
23.已知定义在R上的函数f(x)=|x−a|+|x|．
(Ⅰ)当a=1时，解不等式f(x)≥2；
(Ⅱ)若存在x∈R，使得f(x)<2成立，求a的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：先利用集合的补集的定义求出集合A 的补集，即C U A ={−3,−4}； 再利用集合的交集的定义求出(C U A)∩B ={−3,−4}． 故选B ．
根据集合的基本运算即可得到结论．
本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2.答案：C
解析：解：∵z =4−i ，∴z −
z
=
4+i 4−i
=
(4+i)2(4−i)(4+i)
=
1517
+
817
i ．
故选：C ．
由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.答案：A
解析：【分析】
本题考查利用分段函数解析式求函数值的求法，属于基础题． 解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用． 【解答】 解：
∴f(2)=5−22=1， ∴f(f(2))=f(1)=1． 故选A ． 4.答案：B
解析：因为实数a,b,c 满足a +b +c =0，abc >0，取特殊值，a =2,b =−1,c =−1知结果可以为负数.∵(a +b +c )2=a2+b2+c2+2ab +2bc +2ac =0，且a 2+b2+c2>0(由abc >0知a,b,c 均不为0).∴ab +bc +ac <0.∴1
a +1
b +1
c =
ab+bc+ac
abc
<0.故选B ．
5.答案：D
解析：解：∵x .
=2，y .
=
15.3+m
5
，
∴代入回归方程y =0.65x +2.7，得m =4.7， 故选：D ．
根据已知中的数据，求出数据样本中心点的坐标，代入回归直线方程，进而求出m ． 本题考查线性回归方程的求法和应用，是一个基础题．
6.答案：B
解析：【分析】
本题考查根据指对数函数的性质比较大小．
根据指对数函数的性质求得a，b，c的范围即可比较大小．
【解答】
解：因为a=0.993.3∈(0,1)，
b=3.30.99>1，
c=log3.30.99<0，
故c<a<b．
故选B．
7.答案：D
解析：【分析】
本题考查了函数的奇偶性和函数图象的作法，属于基础题．
由f(x)是偶函数，排除B，当x∈(0,1)时，f(x)<0，排除A，C，即可得出结论．
【解答】
解：函数f(x)=(3x+3−x)ln|x|的定义域为{x|x≠0}，
f(−x)=(3−x+3x)ln|−x|=(3x+3−x)ln|x|=f(x)，
则函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，
当x∈(0,1)时，f(x)<0，排除A，C，
故选D．
8.答案：D
解析：解：根据题意，函数f(x)=−x2+2x+4=−(x−1)2+5，其对称轴为x=1，开口向下，则当x∈(0,3]时，f(x)的最大值为f(1)=5；
故选：D．
根据题意，分析该二次函数的对称轴以及开口方向，进而可得当x∈(0,3]时，f(x)的最大值为f(1)，计算可得答案．
本题考查二次函数的性质，涉及二次函数的单调性，注意分析该二次函数的对称轴，属于基础题．9.答案：B
解析：【分析】
本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．
直接利用函数的奇偶性的性质求解即可．
【解答】
解：因为当x<0时，f(x)=−log2(−2x)，
而f(x)是定义在R上的偶函数，
所以f(32)=f(−32)=−log264=−6，
故选B．
10.答案：B
解析：【分析】本题考查函数的零点及导数的应用，属于中档题．
首先对函数求导，判断单调性，进一步得到极值即最值，结合函数有两个不同的零点得到f(1)=−1−a>0得到所求．
【解答】解：函数f(x)=lnx−x−a的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−x
x
，
当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数;当x>1时，f′(x)<0，f(x)为减函数．
所以当x=1时，f(x)有极大值.因为函数f(x)有两个零点，
所以f(1)=−1−a>0，解得a<−1.故选B．
11.答案：A
解析：解：f(x)={(1
2
)x,x<0 log3x,x≥0
．
∵a=log1
2
√3<0，
∴f(a)=f(log1
2√3)=(1
2
)log12√3=√3，
又√3>0，
∴f(f(a))=f(√3)=log3√3=1
2
．
故选：A．
首先判断出a<0，代入分段函数在x<0时的解析式求得f(a)=√3，再代入x≥0时的解析式得答案．
本题考查对数的运算性质，考查了分段函数函数值的求法，关键是判断a的符号，是基础题．12.答案：A
解析：解：由f(x)=f′(1)
e e x+f(0)
2
x2−x，求导，f′(x)=f′(1)
e
e x+f(0)x−1，
当x=1时，f′(1)=f′(1)+f(0)−1，则f(0)=1，
f(0)=f′(1)
e
=1，则f′(1)=e，
f(x)=e x+1
2
x2−x，则f′(x)=e x+x−1，
令f′(x)=0，解得：x=0，
当f′(x)>0，解得：x>0，当f′(x)<0，解得：x<0，∴当x=0时，取极小值，极小值为f(0)=1，
∴f(x)的最小值为1，
由f(m)≤2n2−n，则2n2−n≥f(x)min=1，
则2n2−n−1≥0，解得：n≥1或n≤−1
2
，
实数n 的取值范围(−∞,−1
2∪[1,+∞)，
故选：A ．
求导，将x =1代入f′(x)和f(x)，即可求得函数的解析式及导函数，根据函数的单调性及最值，由题意即可求得2n 2−n ≥f(x)min =1，即可求得实数n 的取值范围．
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，一元二次不等式的解集，考查计算能力，属于中档题．
13.答案：1
2
解析：解：函数y =1
|x|+ 2是偶函数，x <0时是增函数，x >0时是减函数，所以x =0时函数取得最大值：1
2． 故答案为：12．
利用函数的奇偶性以及单调性求解函数的最大值即可．
本题考查函数的最值的求法，函数的奇偶性以及函数的单调性的应用，考查计算能力．
14.答案：(−∞,3
2)
解析：【分析】
本题主要考查了函数的单调性和单调区间，属于基础题． 【解答】
解：∵y =(1
2)x 为单调递减函数，
∴要求函数y =(12)x 2−3x+2的单调增区间，
只需求出g(x)=x 2−3x +2的单调递减区间即可， 其对称轴为−b
2a =−
−32
=3
2，∵开口向上，
∴其单调递减区间为(−∞,3
2)，
∴函数y =(12
)x 2−3x+2的单调增区间是(−∞,3
2)．
故答案为(−∞,3
2)．
15.答案：所有的爬行动物都是用肺呼吸的
解析：【分析】
本题主要考查合情推理的定义，考查合情推理的分类，根据归纳推理直接写出结果即可． 【解答】
解：根据题意可得结论为所有的爬行动物都是用肺呼吸的， 故答案为所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
16.答案：1
解析：【分析】
本题考查了函数的极值问题，考查学生的计算能力，正确理解极值是关键．
通过对函数f(x)求导，根据函数在x =1处有极值，可知f′(1)=0，解得m 的值，再验证可得结论． 【解答】
解：求导函数可得f′(x )=3x 2−4mx +m 2，
∴f′(1)=3−4m +m 2=0，解得m =1，或m =3，
当m =1时，f′(x )=3x 2−4x +1=(3x −1)(x −1)，函数在x =1处取到极小值，符合题意； 当m =3时，f′(x )=3x 2−12x +9=3(x −1)(x −3)，函数在x =1处取得极大值，不符合题意， ∴m =1， 故答案为1．
17.答案：解：(1)因为复数z 所对应的点在一、三象限的角平分线上， 所以m 2+5m −6=m 2−2m −15，解得m =−9
7；
(2)当实数m =−1时，z =(1−5−6)+(1+2−15)i =−10−12i ， |z
1+i |=|
−10−12i 1+i
|=
|−10−12i ||1+i |
=
√244√2
=√122，
所以|z 1+i |的值为√122．
解析：本题考查复数的概念及几何意义，复数的模.属于基础题． (1)因为复数z 在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，可得m 2+5m −6=m 2−2m −15，解得m ．
(2)当实数m =−1时，z =(1−5−6)+(1+2−15)i =−10−12i ，再利用复数的运算法则，模的计算公式即可得出．
18.答案：解：(1)因为f(x)=log a x ，(a >0且a ≠1)的图象过(14,2)点所以log a 14=2，即a 2=1
4，又
a >0且a ≠1，所以a =1
2；
(2)由(1)知f(x)=log 12x ，又g(x)=f(3−x)−f(3+x)，所以，
要使此函数有意义，有{3−x >0
3+x >0，解之得：−3<x <3，
所以该函数的定义域为{x |−3<x <3}．
解析：本题考查了对数函数的解析式和定义域，属于基础题． (1)把点带入函数表达式，可求出a ；
(2)写出g(x)的表达式，由真数位置大于0，可得不等式组，注意不要合并后再求定义域． 19.答案：解：(1)依题意知甲校应抽取110人，乙校应抽取90人，
∴x =10，y =15， 估计两个学校的平均分 甲校的平均分55×10+65×25+75×35+85×30+95×10
110
≈75
乙校的平均分
55×15+65×30+75×25+85×15+95×5
90
≈71
k =
200(40×70−20×70)2
110×90×60×140
≈4.714
又因为4.714>3.841故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”．
解析：(1)根据要抽取的人数和两个学校的人数利用分层抽样得到两个学校要抽取的人数，分别做出x ，y 的值，利用平均数的公式做出两个学校的平均分．
(2)根据数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，看出优秀的人数和不优秀的人数，填出列联表，根据列联表的数据，写出观测值的计算公式，得到观测值，同临界值进行比较，得到在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差异”．
本题考查独立性检验，考查做出两组数据的平均数，考查分层抽样方法，考查填写列联表，考查利用列联表做出数据的临界值，考查通过临界值说明一个问题的可信程度，本题是一个综合题目．
20.答案：解：(1)F(x)=xln x −x +12x 2−1
3ax 3+b ，
F′(x)=ln x +x −ax 2，
∵切点为(1,−1)，切线斜率为k =−2，
故{F(1)=−1F′(1)=−2，即{−13
a +
b =−121−a =−2即{a =3b =12， 故a =3，b =1
2.………………………………(4分) (2)f′(x)=ln x +x −ax 2，
令g(x)=f′(x)=ln x +x −ax 2(x >0)， g′(x)=1
x +1−2ax =
−2ax2+x+1
x
．
令ℎ(x)=−2ax 2+x +1(x >0)， 当a ≤0时，ℎ(x)>0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0,+∞)递增，不适合． 当a >0时，ℎ(x)的△=1+8a >0， 设方程ℎ(x)=0的二根为x 1、x 2， 则x 1⋅x 2=−1
2a <0，不妨设x 1<0<x 2， ∴当x ∈(0,x 2)时，g′(x)>0， 当x ∈(x 2,+∞)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0,x 2)递增，在(x 2,+∞)递减，
∴{−2ax 22+x 2+1=0g(x 2)>0⇒{−2ax 22+x 2+1=0 ①lnx 2+x 2−ax 22>0 ②
由①得：ax 22=x2+12代入②整理得： 2ln x 2+x 2−1>0③
∵函数u(x)=2ln x +x −1在(0,+∞)递增，u(1)=0，
∴由③得：x 2>1，
由①得：2a =
x 2+1x 22=(1x 2+12)2−14， ∵0<1x 2
<1，∴0<2a <2， ∴0<a <1.………………………………(12分)
．
解析：(1)求出函数的导数，得到关于a ，b 的方程组，解出即可；
(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，问题转化为2a =x 2+1
x 22=(1x 2+12)2−1
4，结合二次函数的性质确定a 的范围即可．
本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
21.答案：解：(1)依题意，知f(x)的定义域为(0,+∞)．
当a =b =12时，
， 所以f′(x )=−(x+2)(x−1)
2x ．
令f′(x)=0，解得x =1或x =−2(舍去)，
当0<x <1时，f′(x)>0，当x >1时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,+∞)．
(2)当a =0，b =−1时，，
由f(x)=mx 得，
又因为x >0，所以．
要使方程f(x)=mx 在区间[1,e 2]内有唯一实数解，
只需
有唯一实数解． 令，
，
由g′(x)>0，得
，由g′(x)<0，得， 所以g(x)在区间上是增函数，在区间
上是减函数， ，，
， 所以或．
解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及利用导数研究方程的根，属于中档题．
(1)将a ，b 的值代入，求出函数f(x)的表达式，求出导数，分别解导数大于零和小于零的解，从而求出函数的单调区间;
(2)将a ，b 的值代入函数的表达式，问题转化为只需有唯一实数解，求出函数
的单调性，从而求出m 的范围． 22.答案：解：(1)因为
因为，故所求方程为(x +1)2+(y −1)2=22,
故曲线C 的参数方程为
． (2)联合
得
设M (ρ1,α),N (ρ2,α), 则
由
当时，|OP|取最大值√2，故实数λ的取值范围为[√2,+∞).
解析：本题考查曲线的参数方程和极坐标方程，属于中档题．
(1)利用转换关系先化为直角方程，再化为参数方程；
(2)利用三角恒等变换和极径可求出结果．
23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=|x −1|+|x|．
当x ≥1，得f(x)=2x −1，由f(x)≥2得x ≥32，此时x ≥32；
当0<x <1，得f(x)=1，此时显然f(x)≥2无解；
当x ≤0，得f(x)=1−2x ，由f(x)≥2得x ≤−12，此时x ≤−12．
综上，不等式f(x)≥2的解集为：(−∞,−12]∪[32,+∞)．
(Ⅱ)若存在x ∈R ，使得f(x)<2成立，则f(x)在R 上最小值应小于2．
由绝对值不等式得|x −a|+|x|≥|x −a −x|=|a|，则|a|<2，解得−2<a <2，
从而a 的取值范围为：(−2,2)．
解析：本题考查函数恒成立条件的应用，绝对值不等式的解法，几何意义的应用，考查计算能力．(Ⅰ)当a=1时，化简f(x)=|x−1|+|x|.讨论当x≥1，当0<x<1，当x≤0，分别求解不等式的解集即可．
(Ⅱ)若存在x∈R，使得f(x)<2成立，则f(x)在R上最小值应小于2.利用绝对值的几何意义，转化求解即可．。