2020江苏高考数学(理)(提高版)大一轮复习课件：第6章 第32课 向量的概念与线性运算
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 平面向量与复数 第32课 向量的概念与线性运算
栏
目 导
链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
航
链教材 ·夯基固 本
激活思维 1. (必修 4P67 练习 4 改编)化简：A→B＋C→D＋D→A＋B→C＝____0____. 【解析】注意结果不是 0，是零向量． 2. (必修 4P62 习题 5 改编)判断下列四个命题：①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|， 则 a＝b；③若|a|>|b|，则 a>b；④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.其中正确的个数是____0____． 【解析】对于①，a 与 b 的长度可能不相同，故①错；对于②，a 与 b 的模相等， 但方向不一定相同，故②错；对于③，向量不能比较大小，故③错；对于④，若 b＝ 0，则 a 与 c 不一定平行，故④错．
知识梳理
1. 向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的__长___度__(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____长___度__为___零___的__向___量_，记作____0___，其方向是任意的． (2) 单位向量：__长__度___等___于__1__个__单___位___长__度___的_．向量 (3) 平行向量：__方___向___相__同___或___相__反___的___非__零__，向平量行向量又称为共线向量，规 定 0 与任一向量共线． (4) 相等向量：__长___度__相___等___且__方___向___相__同___的__．向量 (5) 相反向量：__长__度___相___等__且___方___向__相___反___的__向． 量
O→P＝nb－ma，P→G＝O→G－O→P＝13－ma＋13b，由 P，G，Q 三点共线得，存在实数 λ，
使得P→Q＝λP→G，即 nb－ma＝λ13－ma＋13λb，从而n－＝m13＝λ，λ13－m，
消去 λ，得1n＋m1
＝3.
向量的平行和共线问题
已知非零向量 a 和 b 不共线． (1) 若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线；
－3xC→D.因为 O 在线段 CD(不含 C，D 两点)上运动，所以 0<－3x<1，所以－13<x<0.
如图，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G， Q 三点共线．
(1) 设P→G＝λP→Q，试将O→G用 λ，O→P，O→Q表示出来； 【解答】 O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P) ＝(1－λ)O→P＋λO→Q.
所以1x＋1y为定值．
如图，经过△OAB 的重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设O→P＝ mO→A，O→Q＝nO→B，m，n∈R，则1n＋m1 ＝____3____.
【解析】设O→A＝a，O→B＝b，由题意知O→G＝23×12(O→A＋O→B)＝13(a＋b)，P→Q＝O→Q－
(2) 若 ka＋b 和 a＋kb 共线，求实数 k 的值． 【解答】 因为 ka＋b 与 a＋kb 共线，所以存在实数 λ，使得 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b. 因为 a，b 是两个不共线的非零向量，所以 k－λ＝λk－1＝0，所以 k2－1＝0，所 以 k＝±1. 经检验，k＝±1 均符合题意． 【精要点评】利用平面向量基本定理进行点共线和向量共线的相关运算时，如果 已知点共线，则很容易得到向量共线；如果已知向量共线来证明点共线，必须找到这 两个向量的公共点．
【思维引导】结合向量的线性运算先证明向量共线，进而证明三点共线． 【解答】 因为A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)， 所以B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B，所以 A→B与B→D共线． 又A→B，B→D有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线．
在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且B→C＝3C→D，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若A→O＝xA→B＋(1－x)A→C，则 x 的取值范围是___－__13_，__0_ ___．
【解析】因为A→O＝xA→B＋A→C－xA→C，所以A→O－A→C＝x(A→B－A→C)，即C→O＝xC→B＝
3. 已知 D，E，F 分别是△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且B→C＝a，C→A＝b， 给出下列各式：①A→D＝－12a－b；②B→E＝a＋12b；③C→F ＝－12a＋12b；④A→D＋B→E＋C→F ＝0.其中正确的是__①___②___③__④_．(填序号)
【解析】A→D＝A→C＋C→D＝－C→A－D→C＝－12a－b，B→E＝B→C＋C→E＝a＋12b，C→F ＝ 12(C→B＋C→A)＝－12a＋12b，所以A→D＋B→E＋C→F ＝0.故①②③④都正确．
2. 已知在△ABC 中，点 D，E 分别为 AC，AB 上的点，且 DA＝2CD，EB＝2AE， 若B→C＝a，C→A＝b，则以 a，b 为基底表示D→E＝__－__13_a_＋__13_b___.
【解析】因为D→E＝A→E－A→D＝13A→B－－23C→A＝13(C→B－C→A)＋23C→A＝－13a＋13b.
【精要点评】正确运用向量的加法和减法是解答本题的关键．
(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中 点，若以向量A→B与A→C为基底，则E→B＝___34_A→_B__－__14_A→_C___.
【解析】如图，E→B＝A→B－A→E＝A→B－12A→D＝A→B－12×12(A→B＋A→C)＝34A→B－14A→C.
5. 向量的数乘 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|＝___|λ_|_|a_|_____. (2) 当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向___相__同___； 当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向___相__反___； 当 λ＝0 时，λa＝____0____. 注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算． 6. 两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线⇔有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa.
3. (必修 4P57 习题 2 改编)对于非零向量 a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”成立的 __必___要___不___充__分_条件．
【解析】由 a＋b＝0，可得 a＝－b，即得 a∥b，但 a∥b，不一定有 a＝－b，所 以“a∥b”是“a＋b＝0”成立的必要不充分条件．
4. (必修 4P60 例 1 改编)如图，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F ＝ E，所以B→A＋C→D＋E→F ＝C→D＋D→E＋E→F ＝C→F .
5. (必修 4P68 习题 10 改编)在△ABC 中，若|A→B|＝|A→C|＝|A→B－A→C|，则△ABC 的 形状是__等___边___三__角___形_．
【解析】由A→B－A→C＝C→B，知△ABC 的三边相等，所以△ABC 是等边三角形．
3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是 ___以___公__共___点___为__起___点__的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要 以 ___第__一___个___向__量___的___终__点为 起 点 ， 即 由 第 一 个 向 量 的 起 点 指 向 __第___二___个___向__量___的___终__点的向量为和向量． 4. 向量的减法 将两个已知向量平移到公共起点，差向量是___减__向___量___的终点指向__被__减___向___量_ 的终点的向量．注意方向指向被减向量．
5. 如图，在△OCB 中，已知 A 是 BC 的中点，D 是 OB 上一点，且O→D＝2D→B， DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝a，O→B＝b.
(1) 用 a 和 b 分别表示向量O→C，D→C；
【解答】 由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B.由平行四边形法则，得O→B＋ O→C＝2O→A，所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b，D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
又向量O→A与O→B不共线，所以mn＝－－1＝t，t， 消去 t，化简得 m＋n＝1.
课堂评价 1. 下列命题中为真命题的是__①___②___．(填序号) ①对任意的两个向量 a，b，向量 a－b 与 b－a 是相反向量； ②在△ABC 中，A→B＋B→C－A→C＝0； ③在四边形 ABCD 中，(A→B＋B→C)－(C→D＋D→A)＝0； ④在△ABC 中，A→B－A→C＝B→C.
4. 已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，且 a＋b 与 c 共线，b＋c 与 a 共线， 则向量 a＋b＋c＝____0____.
【解析】依题意，设 a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即 a －c＝mc－na.又 a 与 c 不共线，于是有 m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.
研题型 ·技法通 关
课堂导学 向量的线性运算 如图，在平行四边形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是对角线 AC 上的点， 且A→N＝3N→C，设A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 分别表示A→M，M→N.
【思维引导】观察图形中线段 AM，MN 与 AB，AD 的关系即可．
【解答】因为 M 是 BC 的中点，所以B→M＝12B→C＝12b， 所以A→M＝A→B＋B→M＝a＋12b. 因为A→N＝3N→C，所以A→N＝34A→C＝34(a＋b)， 所以M→N＝A→N－A→M＝－14a＋14b.
已知点 C 在△OAB 的边 AB 所在的直线上，O→C＝mO→A＋nO→B，求证：m
＋n＝1. 【解答】因为点 C 在△OAB 的边 AB 所在的直线上，所以B→A∥A→C，又B→A＝O→A－
O→B，A→C＝O→C－O→A＝mO→A＋nO→B－O→A，所以A→C＝(m－1)·O→A＋nO→B.因为 B→A ∥A→C ， 所以可设A→C＝tB→A，即(m－1)O→A＋nO→B＝tO→A－tO→B.
(2) 设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B，求证：1x＋1y为定值． 【解答】 由(1)知O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)xO→A＋λyO→B.因为 G 是△OAB 的
重心， 所以O→G＝23O→M＝23×12(O→A＋O→B)＝13O→A＋13O→B. 因所为以O1x→＋A，1y＝O→3B(不1－共λ线)＋，3λ所＝以3，λ1y－＝λ13，x＝13，
已知 e1，e2 是夹角为23π 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若 a·b 5
＝0，则 k 的值为____4____．
【解析】由题知 e1·e2＝－12，又 a·b＝0，所以 a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝k|e1|2－2ke1·e2
＋e1·e2－2|e2|2＝2k－52＝0，解得 k＝54.
【解析】①是真命题，因为(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋ (－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，所以 a－b 与 b－a 是相反向量．②是真命题，因为A→B＋B→C －A→C＝A→C－A→C＝0，所以命题成立．③是假命题，因为A→B＋B→C＝A→C，C→D＋D→A＝C→A， 所以(A→B＋B→C)－(C→D＋D→A)＝A→C－C→A＝A→C＋A→C≠0，所以该命题不成立．④是假命 题，因为A→B－A→C＝A→B＋C→A＝C→B≠B→C，所以该命题不成立．
栏
目 导
链教材 ·夯基固本 研题型 ·技法通关
航
链教材 ·夯基固 本
激活思维 1. (必修 4P67 练习 4 改编)化简：A→B＋C→D＋D→A＋B→C＝____0____. 【解析】注意结果不是 0，是零向量． 2. (必修 4P62 习题 5 改编)判断下列四个命题：①若 a∥b，则 a＝b；②若|a|＝|b|， 则 a＝b；③若|a|>|b|，则 a>b；④若 a∥b，b∥c，则 a∥c.其中正确的个数是____0____． 【解析】对于①，a 与 b 的长度可能不相同，故①错；对于②，a 与 b 的模相等， 但方向不一定相同，故②错；对于③，向量不能比较大小，故③错；对于④，若 b＝ 0，则 a 与 c 不一定平行，故④错．
知识梳理
1. 向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的__长___度__(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____长___度__为___零___的__向___量_，记作____0___，其方向是任意的． (2) 单位向量：__长__度___等___于__1__个__单___位___长__度___的_．向量 (3) 平行向量：__方___向___相__同___或___相__反___的___非__零__，向平量行向量又称为共线向量，规 定 0 与任一向量共线． (4) 相等向量：__长___度__相___等___且__方___向___相__同___的__．向量 (5) 相反向量：__长__度___相___等__且___方___向__相___反___的__向． 量
O→P＝nb－ma，P→G＝O→G－O→P＝13－ma＋13b，由 P，G，Q 三点共线得，存在实数 λ，
使得P→Q＝λP→G，即 nb－ma＝λ13－ma＋13λb，从而n－＝m13＝λ，λ13－m，
消去 λ，得1n＋m1
＝3.
向量的平行和共线问题
已知非零向量 a 和 b 不共线． (1) 若A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)，求证：A，B，D 三点共线；
－3xC→D.因为 O 在线段 CD(不含 C，D 两点)上运动，所以 0<－3x<1，所以－13<x<0.
如图，G 是△OAB 的重心，P，Q 分别是边 OA，OB 上的动点，且 P，G， Q 三点共线．
(1) 设P→G＝λP→Q，试将O→G用 λ，O→P，O→Q表示出来； 【解答】 O→G＝O→P＋P→G＝O→P＋λP→Q＝O→P＋λ(O→Q－O→P) ＝(1－λ)O→P＋λO→Q.
所以1x＋1y为定值．
如图，经过△OAB 的重心 G 的直线与 OA，OB 分别交于点 P，Q，设O→P＝ mO→A，O→Q＝nO→B，m，n∈R，则1n＋m1 ＝____3____.
【解析】设O→A＝a，O→B＝b，由题意知O→G＝23×12(O→A＋O→B)＝13(a＋b)，P→Q＝O→Q－
(2) 若 ka＋b 和 a＋kb 共线，求实数 k 的值． 【解答】 因为 ka＋b 与 a＋kb 共线，所以存在实数 λ，使得 ka＋b＝λ(a＋kb)， 即 ka＋b＝λa＋λkb，所以(k－λ)a＝(λk－1)b. 因为 a，b 是两个不共线的非零向量，所以 k－λ＝λk－1＝0，所以 k2－1＝0，所 以 k＝±1. 经检验，k＝±1 均符合题意． 【精要点评】利用平面向量基本定理进行点共线和向量共线的相关运算时，如果 已知点共线，则很容易得到向量共线；如果已知向量共线来证明点共线，必须找到这 两个向量的公共点．
【思维引导】结合向量的线性运算先证明向量共线，进而证明三点共线． 【解答】 因为A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b，C→D＝3(a－b)， 所以B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B，所以 A→B与B→D共线． 又A→B，B→D有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线．
在△ABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且B→C＝3C→D，点 O 在线段 CD 上(与点 C，D 不重合)，若A→O＝xA→B＋(1－x)A→C，则 x 的取值范围是___－__13_，__0_ ___．
【解析】因为A→O＝xA→B＋A→C－xA→C，所以A→O－A→C＝x(A→B－A→C)，即C→O＝xC→B＝
3. 已知 D，E，F 分别是△ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且B→C＝a，C→A＝b， 给出下列各式：①A→D＝－12a－b；②B→E＝a＋12b；③C→F ＝－12a＋12b；④A→D＋B→E＋C→F ＝0.其中正确的是__①___②___③__④_．(填序号)
【解析】A→D＝A→C＋C→D＝－C→A－D→C＝－12a－b，B→E＝B→C＋C→E＝a＋12b，C→F ＝ 12(C→B＋C→A)＝－12a＋12b，所以A→D＋B→E＋C→F ＝0.故①②③④都正确．
2. 已知在△ABC 中，点 D，E 分别为 AC，AB 上的点，且 DA＝2CD，EB＝2AE， 若B→C＝a，C→A＝b，则以 a，b 为基底表示D→E＝__－__13_a_＋__13_b___.
【解析】因为D→E＝A→E－A→D＝13A→B－－23C→A＝13(C→B－C→A)＋23C→A＝－13a＋13b.
【精要点评】正确运用向量的加法和减法是解答本题的关键．
(2018·全国卷Ⅰ改编)在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中 点，若以向量A→B与A→C为基底，则E→B＝___34_A→_B__－__14_A→_C___.
【解析】如图，E→B＝A→B－A→E＝A→B－12A→D＝A→B－12×12(A→B＋A→C)＝34A→B－14A→C.
5. 向量的数乘 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下： (1) |λa|＝___|λ_|_|a_|_____. (2) 当 λ>0 时，λa 的方向与 a 的方向___相__同___； 当 λ<0 时，λa 的方向与 a 的方向___相__反___； 当 λ＝0 时，λa＝____0____. 注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算． 6. 两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线⇔有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa.
3. (必修 4P57 习题 2 改编)对于非零向量 a，b，“a∥b”是“a＋b＝0”成立的 __必___要___不___充__分_条件．
【解析】由 a＋b＝0，可得 a＝－b，即得 a∥b，但 a∥b，不一定有 a＝－b，所 以“a∥b”是“a＋b＝0”成立的必要不充分条件．
4. (必修 4P60 例 1 改编)如图，在正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F ＝ E，所以B→A＋C→D＋E→F ＝C→D＋D→E＋E→F ＝C→F .
5. (必修 4P68 习题 10 改编)在△ABC 中，若|A→B|＝|A→C|＝|A→B－A→C|，则△ABC 的 形状是__等___边___三__角___形_．
【解析】由A→B－A→C＝C→B，知△ABC 的三边相等，所以△ABC 是等边三角形．
3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是 ___以___公__共___点___为__起___点__的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要 以 ___第__一___个___向__量___的___终__点为 起 点 ， 即 由 第 一 个 向 量 的 起 点 指 向 __第___二___个___向__量___的___终__点的向量为和向量． 4. 向量的减法 将两个已知向量平移到公共起点，差向量是___减__向___量___的终点指向__被__减___向___量_ 的终点的向量．注意方向指向被减向量．
5. 如图，在△OCB 中，已知 A 是 BC 的中点，D 是 OB 上一点，且O→D＝2D→B， DC 和 OA 交于点 E，设O→A＝a，O→B＝b.
(1) 用 a 和 b 分别表示向量O→C，D→C；
【解答】 由题意知，A 是 BC 的中点，且O→D＝23O→B.由平行四边形法则，得O→B＋ O→C＝2O→A，所以O→C＝2O→A－O→B＝2a－b，D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
又向量O→A与O→B不共线，所以mn＝－－1＝t，t， 消去 t，化简得 m＋n＝1.
课堂评价 1. 下列命题中为真命题的是__①___②___．(填序号) ①对任意的两个向量 a，b，向量 a－b 与 b－a 是相反向量； ②在△ABC 中，A→B＋B→C－A→C＝0； ③在四边形 ABCD 中，(A→B＋B→C)－(C→D＋D→A)＝0； ④在△ABC 中，A→B－A→C＝B→C.
4. 已知向量 a，b，c 中任意两个都不共线，且 a＋b 与 c 共线，b＋c 与 a 共线， 则向量 a＋b＋c＝____0____.
【解析】依题意，设 a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即 a －c＝mc－na.又 a 与 c 不共线，于是有 m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0.
研题型 ·技法通 关
课堂导学 向量的线性运算 如图，在平行四边形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是对角线 AC 上的点， 且A→N＝3N→C，设A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 分别表示A→M，M→N.
【思维引导】观察图形中线段 AM，MN 与 AB，AD 的关系即可．
【解答】因为 M 是 BC 的中点，所以B→M＝12B→C＝12b， 所以A→M＝A→B＋B→M＝a＋12b. 因为A→N＝3N→C，所以A→N＝34A→C＝34(a＋b)， 所以M→N＝A→N－A→M＝－14a＋14b.
已知点 C 在△OAB 的边 AB 所在的直线上，O→C＝mO→A＋nO→B，求证：m
＋n＝1. 【解答】因为点 C 在△OAB 的边 AB 所在的直线上，所以B→A∥A→C，又B→A＝O→A－
O→B，A→C＝O→C－O→A＝mO→A＋nO→B－O→A，所以A→C＝(m－1)·O→A＋nO→B.因为 B→A ∥A→C ， 所以可设A→C＝tB→A，即(m－1)O→A＋nO→B＝tO→A－tO→B.
(2) 设O→P＝xO→A，O→Q＝yO→B，求证：1x＋1y为定值． 【解答】 由(1)知O→G＝(1－λ)O→P＋λO→Q＝(1－λ)xO→A＋λyO→B.因为 G 是△OAB 的
重心， 所以O→G＝23O→M＝23×12(O→A＋O→B)＝13O→A＋13O→B. 因所为以O1x→＋A，1y＝O→3B(不1－共λ线)＋，3λ所＝以3，λ1y－＝λ13，x＝13，
已知 e1，e2 是夹角为23π 的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若 a·b 5
＝0，则 k 的值为____4____．
【解析】由题知 e1·e2＝－12，又 a·b＝0，所以 a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝k|e1|2－2ke1·e2
＋e1·e2－2|e2|2＝2k－52＝0，解得 k＝54.
【解析】①是真命题，因为(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋ (－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，所以 a－b 与 b－a 是相反向量．②是真命题，因为A→B＋B→C －A→C＝A→C－A→C＝0，所以命题成立．③是假命题，因为A→B＋B→C＝A→C，C→D＋D→A＝C→A， 所以(A→B＋B→C)－(C→D＋D→A)＝A→C－C→A＝A→C＋A→C≠0，所以该命题不成立．④是假命 题，因为A→B－A→C＝A→B＋C→A＝C→B≠B→C，所以该命题不成立．