中国科学技术大学线性代数课程讲义3

(j1,j2,··· ,jn)∈Sn
(3.1)
(3.1) 式称为 det(α1, α2, · · · , αn) 或 det(aij) 的完全展开式．许多教科书直接把它作为行列式的定 义．记 (3.1) 式定义的多元函数为 ∆(α1, α2, · · · , αn)．容易验证 ∆(α1, α2, · · · , αn) 满足定义 3.1 所 述的多重线性和规范性．定理 3.2 说明 ∆(α1, α2, · · · , αn) 满足反对称性．因此，定义 3.1 中的行列 式函数 det(α1, α2, · · · , αn) 是存在且唯一的，就是 ∆(α1, α2, · · · , αn)．
(
)
当 p ⩾ 3 时，可先把 A 分块成 A11 ∗ ，得 det(A) = det(A11) det(B)．再对 B 继续分块．由 OB
此可得 det(A) = det(A11) det(A22) · · · det(App)．
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第三章 行列式
行列式的完全展开式含有 n! 个单项式．当 n 较大时，利用完全展开式求一般 n 阶行列式的计 算量非常巨大，不容易实现．通常是利用行列式的定义及性质，通过初等变换把方阵变成三角方阵， 从而求得原方阵的行列式．
定理 3.1. 由定义 3.1 可知，行列式具有下列性质，其中 λ, λ1, λ2, · · · , λn ∈ F．
1. 若存在 αi = 0，则 det(α1, α2, · · · , αn) = 0．
2. 若存在 αi = λαj (i ̸= j)，则 det(α1, α2, · · · , αn) = 0．
det(· · · , αi, · · · , αi, · · · ) = 0 det(· · · , αj, · · · , αi, · · · ) = − det(· · · , αi, · · · , αj, · · · )
[1]Seki Takakazu，约 1642–1708，日本数学家． [2]Gottfried Wilhelm Leibniz，1646–1716，德国数学家、哲学家． [3]Gabriel Cramer，1704–1752，瑞士数学家． [4]Augustin-Louis Cauchy，1789–1857，法国数学家． [5]Hermann Günther Grassmann，1809–1877，德国数学家． [6] determinant
0 2 1 −1 行⃝4 −=⃝1 0 2
5 −5 1 −1
1 1 −1 −2
1 1 −1 −2
0 2 1 −4
1 −1 −2 2
1 −1 −2 2
−交−换−⃝−2−,−⃝3−行→ 0 2 00
1 −1 −行−−⃝4−−−=−⃝−2→ 0 2
5 −5
00
1 −1 = 1 · 2 · 5 · (−3) = −30． 5 −5
det(· · · , λαi + µβi, · · · ) = λ det(· · · , αi, · · · ) + µ det(· · · , βi, · · · )
其中 λ, µ ∈ F，αi, βi ∈ Fn． 2. (反对称性) 若存在两个变量相等，则行列式为 0．从而，交换两个变量的位置，行列式反号．
例 3.3. 1 阶行列式 det(a) = a，2 阶行列式 a11 a12 = a11a22 − a12a21， a21 a22
a11 a12 a13 3 阶行列式 a21 a22 a23 = a11a22a33 − a11a23a32 + a12a23a31 − a12a21a33 + a13a21a32 − a13a22a31．
例 3.5. 设分块矩阵 A = (Aij)p×p 是准上三角方阵，并且每个 Aii 是方阵，则
∏p det(A) = det(Aii).
i=1ห้องสมุดไป่ตู้
证明. 设 A = (aij)n×n．当 p = 2 时，设 A11 是 r 阶方阵，A22 是 n − r 阶方阵，则
det(A) =
∑ (−1)τ (j1,j2,··· ,jn)a1j1 a2j2 · · · anjn
0 2 1 −1 例 3.6. 计算行列式 2 −2 1 −1 ．
1 −1 −2 2 1 1 −1 −2
0 2 1 −1
1 −1 −2 2
1 −1 −2 2
解答. 2 −2
1
−1 交换⃝1 ,⃝3 行 2 −2 −−−−−−−→ −
1
−1 −行−⃝−2−−−=−2−⃝1→ − 0
0
1 −1 −2 2
a31 a32 a33
例 3.4. 设 A = (aij)n×n 是上三角方阵，则 det(A) = a11a22 · · · ann．
证明. 在 det(A) 的完全展开式中，当 (j1, j2, · · · , jn) ̸= (1, 2, · · · , n) 时，a1j1 a2j2 · · · anjn = 0．
定义 3.1 的合理性尚存在疑问．如定义 3.1 所述的行列式函数是否存在？是否唯一？
定义 3.2. 设 σ = (σ1, σ2, · · · , σn) 是 n 个两两不同的正整数的一个排列．满足 i < j 且 σi > σj 的 有序正整数对 (σi, σj) 称为 σ 中的一个逆序．σ 中逆序的个数称为 σ 的逆序数，记作 τ (σ)．
§3.1 行列式的定义
关于行列式的概念，有许多形式不同但实质等价的定义．大致有下列几种方式： • 把行列式看作具有特定性质的函数． • 直接给出 n 阶行列式的完全展开式． • 通过 n − 1 阶行列式归纳定义 n 阶行列式． • 定义行列式为平行多面体的有向体积． • 通过 Grassmann[5]代数定义行列式． 定义 3.1. 具有下列性质的 Fn 上的 n 元函数 det(α1, α2, · · · , αn) 称为数域 F 上的 n 阶行列式[6]． 1. (多重线性) 行列式关于每个变量是线性的．
下面，我们推导行列式函数的代数表达式．
设 αi = (ai1, ai2, · · · , ain)，i = 1, 2, · · · , n．根据定义 3.1，
(
∑n
∑n
) ∑n
det(α1, α2, · · · , αn) = det
a1j ej , a2j ej , · · · , a1j ej
j=1
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第三章 行列式
3. (规范性) 标准单位向量组的行列式等于 1．
det(e1, e2, · · · , en) = 1
简而言之，行列式 det(α1, α2, · · · , αn) 是关于 n 个向量 α1, α2, · · · , αn ∈ Fn 的多元函数．行 列式 det(α1, α2, · · · , αn) 也可以看作是关于方阵 A ∈ Fn×n 的函数，记作 det(A) 或 |A|，其中 α1, α2, · · · , αn 是 A 的行向量．设 A = (aij)n×n，则 det(A) 还可以看作是关于 n2 个变元 aij ∈ F 的多元多项式．
§3.1 行列式的定义
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解答. 对 k = 1, 2, · · · , n−1，设 σ 中形如 (∗, k) 的逆序共有 mk 个，则可经过 mk 次相邻元素的交换， 把 k 换到位置 k，同时保持其它数的相对顺序不变．合计经过 τ (σ) = m1 +m2 +· · ·+mn−1 次交换把 σ 变成排列 (1, 2, · · · , n)．因此，det(eσ1 , eσ2 , · · · , eσn ) = (−1)τ(σ) det(e1, e2, · · · , en) = (−1)τ(σ)．
∑ (j1,j2,··· ,jn)∈Sn =
(−1)τ (j1,··· ,jr)+τ (jr+1,··· ,jn)a1j1 a2j2 · · · anjn
(j1,··· ,jr)是(1,··· ,r)的排列 (jr+1,··· ,jn)是(r+1,··· ,n)的排列
= det(A11) det(A22).
1, 2, · · · , n 的所有排列的集合记作 Sn．每个排列 σ 都可以看作是集合 {1, 2, · · · , n} 上的一一 映射．在映射的复合运算下，Sn 构成群，称为 n 次对称群． 例 3.1. 降序排列 σ = (n, n − 1, · · · , 2, 1) 的逆序数 τ (σ) = 1 + 2 + · · · + (n − 1) = n(n − 1) ．
2 定理 3.2. 交换排列 σ 中任意两项的位置，所得排列记作 σ，则 τ (σ) 与 τ (σ) 具有不同的奇偶性．
证明. 设 σ 由交换 σ 的第 i, j 项得到，i < j．考虑 σ 和 σ 中包含 σi 或 σj 的数对．
• 当 k < i 或 k > j 时，(σi, σk) 是 σ 中的逆序 ⇔ (σi, σk) 是 σ 中的逆序，(σk, σj) 是 σ 中的逆 序 ⇔ (σk, σj) 是 σ 中的逆序．
3. det(λ1α1, λ2α2, · · · , λnαn) = λ1λ2 · · · λn det(α1, α2, · · · , αn)．
4. det(· · · , αi, · · · , αj, · · · ) = det(· · · , αi + λαj, · · · , αj, · · · )，∀i ̸= j．
0 2 1 −4
0 0 0 −3
定理 3.3. 对于任意 n 阶方阵 A = (aij)，det(AT ) = det(A)．
证明. 根据行列式的完全展开式 (3.1)，
det(AT ) =
∑ (−1)τ (i1,i2,··· ,in)ai11ai22 · · · ainn
(i1,i2,··· ,in)∈Sn
对于任意排列 σ, σ ∈ Sn，如果可以经过 x 次交换把 σ 变成 σ，则可以经过 x 次交换把 σ 变 成 σ．如果还可以经过 y 次交换把 σ 变成 σ，则可以经过 x + y 次交换把 σ 变成 σ．根据定理 3.2， x + y 一定是偶数，即 (−1)x = (−1)y．
例 3.2. 设 σ = (σ1, σ2, · · · , σn) ∈ Sn．det(eσ1 , eσ2 , · · · , eσn ) = (−1)τ(σ)．
j=1
j=1
∑
=
a1j1 a2j2 · · · anjn det(ej1 , ej2 , · · · , ejn )
∑ 1⩽j1,j2,··· ,jn⩽n
=
a1j1 a2j2 · · · anjn det(ej1 , ej2 , · · · , ejn )
∑ (j1,j2,··· ,jn)∈Sn
=
(−1)τ (j1,j2,··· ,jn)a1j1 a2j2 · · · anjn .
其中每个
(ai11ai22 · · ·)ainn
可以重新排列成
(
)
a1j1 a2j2 · · · anjn
• 当 i < k < j 时，(σi, σk) 是 σ 中的逆序 ⇔ (σk, σi) 不是 σ 中的逆序，(σk, σj) 是 σ 中的逆序 ⇔ (σj, σk) 不是 σ 中的逆序．
• (σi, σj) 是 σ 中的逆序 ⇔ (σj, σi) 不是 σ 中的逆序．
因此，τ (σ) − τ (σ) = 2(j − i − 1 − p − q) ± 1 是奇数，其中 p 是 σ 中形如 (σi, σk) 且 i < k < j 的 逆序个数，q 是 σ 中形如 (σk, σj) 且 i < k < j 的逆序个数．
第三章 行列式
行列式的概念来源于求解 n 个方程和 n 个未知数的线性方程组．分别在 1683 和 1693 年，关 孝和[1]与 Leibnitz[2]独立地提出了行列式的概念，用于求解线性方程组．1750 年，Cramer[3]发表了 著名的 Cramer 法则．1841 年，Cauchy[4]首先提出了现代的行列式概念及其记号．在 1750 至 1900 这段时期，对行列式的研究成为线性代数的重要内容．自 1858 年 Cayley 创立矩阵论以来，矩阵 逐渐发展为线性代数的主要组成部分和重要的数学工具，而行列式则逐渐变成矩阵理论的一个小分 支．