【翼教版】高中数学必修一期末模拟试卷(附答案)(1)

一、选择题
1．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(0,4)
B ．(4,0)-
C ．(4,4)-
D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞
2．用二分法求方程x 2–2=0在（1，2）内近似解，设f （x ）=x 2–2，得f （1）<0，f （1.5）>0， f （1.25）<0，则方程的根在区间( ) A ．（1.25，1.5）
B ．（1，1.25）
C ．（1, 1.5）
D ．不能确定
3．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数()
()2
21y f x f x λ=++-只有一个
零点，则实数λ的值是（ ） A ．
14
B ．
18
C ．78
-
D ．38
-
4．函数12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的大致图象是（ ）. A ． B ．
C ．
D ．
5．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例
如函数2
y x =，x ∈[1，2]与函数.2 y x =，[]2,1x ∈--即为同族函数，下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（ ） A ．y =x B ．1
y x x
=+ C ． 22x x y -=- D ．y ＝log 0.5
x 6．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14
a f <，则a 的取值范围为（ ）
A ．3
4
a >
B ．304
a <<或43a >
C ．3
04
a <<
或1a > D ．1a >
7．如果()()2
11f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，
上为减函数，则m 的取值范围（ ） A ．103⎛
⎤ ⎥⎝⎦
，
B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
8．已知函数log ,0
(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩
（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（ ）
A ．1
B ．0
C ．-1
D ．a
9．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，
()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（ ）
A ．()1,2
B ．[)1,3
C ．()2,4
D ．(]2,4
10．已知区间1[,]3A m m =-和3[,]4
B n n =+均为[]0,1的子区间，定义b a -为区间
[],a b 的长度，则当A
B 的长度达到最小时mn 的值为( )
A ．0
B ．
112
C ．0或
112
D ．0或1
11．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，
A B ⋂≠∅．若{}3,4=U
A
B ，则满足条件的集合A 的个数为（ ）
A ．7个
B ．8个
C ．15个
D ．16个
12．已知集合{}21,A x y x y Z ==+∈，{}
21,B y y x x Z ==+∈，则A 、B 的关系是（ ） A ．A B =
B ．A
B
C ．B A
D ．A B =∅
二、填空题
13．已知函数f (x )=212
{3
,2
1
x x x x -≤>-，，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的
取值范围为________．
14．对于实数a b ，，定义运算“*”：22
*a ab a b
a b b ab a b ⎧-≤=⎨->⎩，，
，设()()2*1f x x x =+，且关于x 的方程()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 15．下列命题中所有正确的序号是___________． ①函数()1
3x f x a
-=+()1a > 在R 上是增函数；
②函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(2,4)； ③已知()f x =538x ax bx ++-，且()28f -=，则(2)8f =-；
④11
()122
x f x =
--为奇函数． 16．对于函数()f x 定义域中任意的1x 、()212x x x ≠，有如下结论： ①()()()1212f x x f x f x +=⋅；②()()()1212f x x f x f x ⋅=+； ③()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦；④()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
． 当()2x
f x =时；上述结论正确的是__________．（写出所有正确的序号）
17．设函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R 都有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．
18．已知函数()f x 是R 上的奇函数，()()2g x af x bx =++，若(2)16g =，则
(2)g -=______．
19．设a ，b ，c 为实数，()()()
2
f x x a x bx c =+++，
()()()2
11g x ax cx bx =+++，记集合(){}|0,S x f x x R ==∈，
(){}|0,T x g x x R ==∈，若S ，T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论可能成
立的是________．
①1S =，0T =；②1S =，1T =；③2S =，2T =；④2S =，3T =. 20．若集合{}|121A x m x m =+<≤-，{}|25B x x =-≤<,若()()R R C A C B ⊇，则m 的取值范围是_____________．
三、解答题
21．已知函数()()2
22f x ax a x =-++，()a R ∈.
（1）()32f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求不等式()0f x ≥的解集； （3）若存在0m >使关于x 的方程()1
1f x m m
=++有四个不同的实根，求实数a 的取值范围.
22．科学家发现一种可与污染液体发生化学反应的药剂，实验表明每投a (14a ≤≤且
a R ∈)个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x （小时)化的函数关系式近
似为()y a f x =⋅，其中()16
1,04815,4102x x
f x x x ⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩
，若多次投放，则某一时刻水中的药
剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用.
（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间能持续多久？
（2）若第一次投放2个单位的药剂，6小时后再投放1个单位的药剂，则在接下来的4小
时内，什么时刻，水中药剂的浓度达到最小值？最小值为多少？ 23．已知函数()2log f x x =，()2
41g x ax x =-+.
（1）若函数()()
y f g x =的值域为R ，求实数a 的取值范围；
（2）函数22
()()()h x f x f x =-，若对于任意的1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
，都存在[]
1,1t ∈-使得不等
式()22t
h x k >⋅-成立，求实数k 的取值范围. 24．已知函数()2log 11a f x x ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
（0a >且1a ≠）. （1）判断函数()f x 的奇偶性并说明理由；
（2）当01a <<时，判断函数()f x 在()1,+∞上的单调性，并利用单调性的定义证明； （3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为
[]1log ,1log a a n m ++？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 25．已知函数()f x 的定义域是()0,∞+，当1x >时，()0f x >，且
()()x f f x f y y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
. （1）求()1f 的值，并证明()f x 在定义域上是增函数； （2）若112f ⎛⎫=-
⎪⎝⎭的值，解不等式1(1)2f x f x ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
. 26．已知集合{|37},{|210},{|}A x x B x x C x x a =≤≤=<<=<，全集为实数集R . （1）求A
B ，()R A B ⋂；
（2）若A C ⋂≠∅，求a 的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
画出函数()22,()
,()
x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得
【详解】
数形结合法：画出函数()22,()
,()
x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得
由图可得：204a a <<解得4a > 或2
04
a a >>-解得4a
故选：D 【点睛】
数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
2．A
解析：A 【分析】
根据零点存在定理,结合条件,即可得出结论. 【详解】
已知(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><, 所以(1,25)(1.5)0f f ⋅<,
可得方程的根落在区间(1.25,1.5)内, 故选A. 【点睛】
该题考查的是有关判断函数零点所在区间的问题，涉及到的知识点有二分法，函数零点存在性定理，属于简单题目.
3．C
解析：C 【分析】
令()()2
210y f x f x λ=++-=，结合()f x 为奇函数进行化简，利用一元二次方程判别式列
方程，解方程求得λ的值. 【详解】
令()()2
210y f x f x λ=++-=，则()
()()221f x f x f x λλ+=--=-，因为()f x 是R 上
的单调函数，所以221x x λ+=-，即2210x x λ++=-.依题意可知2210x x λ++=-有且只有一个实数根，所以()1810λ∆=-+=，解得78
λ=-. 故选：C 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性、单调性、零点，属于中档题.
4．A
解析：A 【分析】
去绝对值符号后根据指数函数的图象与性质判断． 【详解】
由函数解析式可得：1,0
22,0x
x x y x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩
可得值域为：01y <≤，
由指数函数的性质知：在(),0-∞上单调递增；在()0,∞+上单调递减. 故选：A. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．B
解析：B 【分析】
由题意，能够被用来构造“同族函数”的函数必须满足在其定义域上不单调，由此判断各个函数在其定义域上的单调性即可. 【详解】
对A ：y x =在定义域R 上单调递增，不能构造“同族函数”，故A 选项不正确；
对B ：1
y x x
=+在(),1-∞-递增，在()1,0-递减，在()0,1递减，在()1,+∞递增，能构造“同族函数”，故B 选项正确； 对C ：22x x
y -=-在定义域上递增，不能构造“同族函数”，故C 选项不正确；
对D ：0.5log y x =在定义域上递减，不能构造“同族函数”，故D 选项不正确. 故选：B. 【点睛】
本题给出“同族函数”的定义，要求我们判断几个函数能否被用来构造“同族函数”，考查基本初等函数的单调性的知识点，属于基础题.
6．C
解析：C 【分析】 先判断
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，原不等式等价于3log 14
a <，分类讨论，利
用对数函数的单调性求解即可. 【详解】 因为1
x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，
所以
1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，
又因为11
(1)441f e -=+-=
所以()3(log )114a
f f <=等价于3
log 14
a <， 由1log a a =，知3
log log 4
a
a a <, 当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故3
4a <
，从而304
a <<； 当1a >时，log a
y x =在()0,∞+上单调递增，故3
4
a >
，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是3
04
a <<或1a >，故选C. 【点睛】
解决抽象不等式()()f a f b <时，切勿将自变量代入函数解析式进行求解，首先应该注意考查函数()f x 的单调性．若函数()f x 为增函数，则a b <；若函数()f x 为减函数，则a b >．
7．B
解析：B 【分析】
当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m
>⎧⎪
-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.
综合可得m 的取值范围.
【详解】
当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，
上为减函数； 当0m ≠时，由于()()2
11f x mx m x =+-+的对称轴为12m
x m
-=
，且函数在区间(]1-∞，
上为减函数， 则0
112m m m
>⎧⎪
-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.
综上可得，1
03
m ≤≤. 故选：B 【点睛】
要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.
8．C
解析：C 【分析】
根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】
因为log ,0
(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩
，
所以1
1
(1)f a
a
--==
， 所以1
1((1))()log 1a f f f a a
--===-，
故选：C 【点睛】
本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.
9．D
解析：D
【分析】
根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，8
3f ，则
()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.
【详解】
根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦， 又()()()()422222f f f f =+==，
所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，
因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28
020x x x x ⎧-≤⎪
>⎨⎪->⎩
，解得：24x <≤.
故选：D. 【点睛】
本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.
10．C
解析：C 【分析】
由于这两个集合都是区间[]0,1的子集，根据区间长度的定义可得当103
314m n ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
或10m n =⎧⎨
=⎩时A
B 的长度最小，解出方程组即可得结果.
【详解】
由于这两个集合都是区间[]0,1的子集，
根据区间长度的定义可得当103
314m n ⎧
-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或10m n =⎧⎨=⎩时A B 的长度最小，
解得1314m n ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或10m n =⎧⎨=⎩，即112mn =或0，
故选C. 【点睛】
本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义，充分理解区间长度的定义是解题的关键，属于中档题.
11．C
解析：C 【分析】
由题意知3、4B ∉，则集合A 的个数等于{}1,2,5,6非空子集的个数，然后利用公式计算出集合{}1,2,5,6非空子集的个数，即可得出结果. 【详解】
由题意知3、4B ∉，且集合A 、B 是U 的子集，且A B U ⋃=，A B ⋂≠∅， 则A
B 为集合{}1,2,5,6的非空子集，因此，满足条件的集合A 的个数为42115-=.
故选C. 【点睛】
本题考查集合个数的计算，一般利用列举法将符合条件的集合列举出来，也可以转化为集合子集个数来进行计算，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
12．C
解析：C 【分析】
由题意得出Z A ⊆，而集合B Z ，由此可得出A 、B 的包含关系.
【详解】
由题意知，对任意的x ∈Z ，21y x Z =+∈，Z A ∴⊆.
{}
21,B y y x x Z ==+∈，∴集合B 是正奇数集，则B
Z ，因此，B
A .
故选：C. 【点睛】
本题考查集合包含关系的判断，解题时要善于抓住代表元素，认清集合的特征，考查推理能力，属于中等题.
二、填空题
13．【分析】将所求问题转化为与直线的图象有三个不同交点数形结合即可得到答案【详解】方程f(x)－a ＝0有三个不同的实数根等价于与直线的图象有三个不同交点作出的图象如图由图可得故答案为：【点睛】方法点睛： 解析：(0,1)
【分析】
将所求问题转化为()y f x =与直线y a =的图象有三个不同交点，数形结合，即可得到答案. 【详解】
方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根等价于()y f x =与直线y a =的图象有三个不同交点，
作出()f x 的图象如图，由图可得(0,1)∈a 故答案为：(0,1)
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
14．【分析】根据对运算的定义将写成分段函数画出该函数的图像将问题转化为直线与函数的图像有3个交点求参数的范围问题【详解】根据题意在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：由图可知当时由最小值故数形结合可知
解析：1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【分析】
根据对运算的定义，将()f x 写成分段函数，画出该函数的图像，将问题转化为直线
y m =与函数()f x 的图像有3个交点求参数的范围问题.
【详解】 根据题意()()2
21,11,1
x x x f x x x ⎧-≤=⎨
-+>⎩
在直角坐标系中画出该函数的图像如下所示：
由图可知，当()0,1x ∈时，由最小值1122f ⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
，
故数形结合可知，当1,02m ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
时，直线y m =与函数()f x 的图像有3个交点， 即()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根.
故答案为：1,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查由函数的零点个数求参数的取值范围，本题中采用数形结合的方法，将问题转化为函数图像交点的问题进行处理.
15．①④【分析】根据指数的运算性质且恒成立求出函数图象所过的定点可判断①；根据抽象函数的定义域的求法可判断②；根据奇函数的图象和性质求出可判断③；根据奇函数的定义及判定方法可判断④【详解】解：当时且恒成
解析：①④ 【分析】
根据指数的运算性质01(0a a =>且1)a ≠恒成立，求出函数图象所过的定点，可判断①；根据抽象函数的定义域的求法，可判断②；根据奇函数的图象和性质，求出()2f ，可判断③；根据奇函数的定义及判定方法，可判断④ 【详解】
解：当1x =时，101(0x a a a -==>且1)a ≠恒成立，故f （1）4=恒成立，故函数
1()3(0x f x a a -=+>且1)a ≠的图象一定过定点(1,4)P ，故①正确；
函数(1)f x -的定义域是(1,3)，则函数()f x 的定义域为(0,2)，故②错误；
已知53
()8f x x ax bx =++-，且(2)8f -=，则()224f =-，故③错误；
11
()122
x
f x =
--的定义域为{|0}x x ≠， 且112111
()()122212212x x x x
f x f x ---=
-=-=-=----，故()f x 为奇函数，故④正确； 故答案为：①④ 【点睛】
本题以命题的真假判断为载体，考查了指数函数的图象和性质，函数的定义域，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．
16．①④【分析】根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④【详解】对于①：因为所以故①正确；对于②：取所以所以不恒成立故②错误；对
解析：①④ 【分析】
根据指数幂的运算法则判断①；采用举例子的方法判断②；根据指数函数的单调性判断③；利用指数幂的运算并采用作差法判断④. 【详解】
对于①：因为()()()1
2
121212122,222x x x x x x f x x f x f x +++=⋅=⋅=，所以
()()()1212f x x f x f x +=⋅，故①正确；
对于②：取121,2x x ==，所以()()()()121224,246f x x f f x f x ⋅==+=+=，所以
()()()1212f x x f x f x ⋅=+不恒成立，故②错误；
对于③：因为()2x
f x =是R 上的增函数，所以()()()12120x x f x f x -⋅->⎡⎤⎣⎦，故③
错误；
对于④：因为()()1212
12122222
,=222x x x x f x f x x x f ++++⎛⎫= ⎪⎝⎭
，且12
1212121212222
222
22222422220242x x x x x x x x x x x x ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅-⋅--==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
，故④正确， 所以正确的有：①④， 故答案为：①④. 【点睛】
结论点睛：可直接判断函数单调性的几种变形形式： （1）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有
()()()()12120x x f x f x -->或
()()1212
0f x f x x x ->- 成立，则()f x 为单调递增函数；
（2）已知12,x x D ∀∈（D 为函数定义域），且12x x ≠，都有
()()()()12120x x f x f x --<或
()()
1212
0f x f x x x -<- 成立，则()f x 为单调递增函数.
17．f(－3)>f(－π)【解析】由得是上的单调递增函数又
解析：f (－3)>f (－π)
【解析】
由()()1212()[]0x x f x f x >－－ 得()f x 是R 上的单调递增函数，又
3(3)()f f ππ>∴>－－，－－ ．
18．【分析】分析的奇偶性根据的结果求解出的值【详解】令因为为上的奇函数且也为上的奇函数所以为上的奇函数所以所以且所以故答案为：【点睛】结论点睛：已知（1）当为奇数时且此时为奇函数；（2）当为偶数时为偶函数 解析：12-
【分析】
分析()()2h x g x =-的奇偶性，根据()()22h h +-的结果求解出()2g -的值. 【详解】
令()()()2h x g x af x bx =-=+，因为()f x 为R 上的奇函数，且y bx =也为R 上的奇函数，
所以()()2h x g x =-为R 上的奇函数，所以()()220h h +-=， 所以()()22220g g -+--=，且()216g =，所以()212g -=-， 故答案为：12-. 【点睛】
结论点睛：已知()(),0n
f x x a n Z n =+∈≠，
（1）当n 为奇数时，且0a =，此时()f x 为奇函数； （2）当n 为偶数时，()f x 为偶函数.
19．①②③【分析】①根据得到方程无实根推出或；再由此判断根的个数即可判断①；②取分别判断根的个数即可判断②；③取分别判断根的个数即可判断③；④当时方程有三个根所以由此求根的个数即可判断④【详解】①当时方
解析：①②③ 【分析】
①根据0T =，得到方程()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 无实根，推出0a =，
240b c -<或0a b c ===；再由此判断()0f x =根的个数，即可判断①；②取
2
40a b c ≠⎧⎨-<⎩
，分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断②；③取200
40a c b c ≠⎧⎪
≠⎨⎪-=⎩
分别判断()0f x =，()0g x =根的个数，即可判断③；④当3T =时，方程()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，240b c ->，由此求
()0f x =根的个数，即可判断④.
【详解】
①当0T =时，方程()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 无实根，所以0a =，240
b c -<或0a b c ===；当0a b c ===时，()3
f x x =，由()0f x =得0x =，此时1S =；
当0a =，240b c -<时，()()
2
=++f x x x bx c ，由()0f x =得0x =，此时1S =；
故①成立；
②当2040
a b c ≠⎧⎨-<⎩时，由()()()2
0=+++=f x x a x bx c 得x a =-，即1S =；由
()()()2110=+++=g x ax cx bx 得1
x a
=-；即1T =；存在②成立；
③当20040
a c
b
c ≠⎧⎪≠⎨⎪-=⎩
时，由()()()2
0=+++=f x x a x bx c 得x a =-或2b x =-；
由()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 得 1x a =-
或2
=-x b
；只需2b a ≠，即可满足2S =，2T =；故存在③成立；
④当3T =时，方程()()()
2
110=+++=g x ax cx bx 有三个根，所以0a ≠，0c ≠，
240b c ->，设0x 为()0g x =的一个根，则0
0x ≠，且
200001111f a b c x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()030
1
0g x x ==，故0
1x 为方程()0f x =的根．此时
()0f x =有三个根，即3T =时，必有3S =，故不可能是2S =，3T =；④错；
故答案为：①②③ 【点睛】
本题主要考查方程根的个数与集合的综合，会判断方程根的个数即可，属于常考题型.
20．【分析】由进行反推可分为集合和集合两种情况进行分类讨论【详解】由进行反推若则解得成立由可知集合因应满足解得综上所述故答案为：【点睛】本题考查根据集合的补集与包含关系求解参数问题是中档题型在处理此类题 解析：(),3-∞
【分析】
由()()R R C A C B ⊇进行反推，可分为集合A =∅，和集合A ≠∅两种情况进行分类讨论 【详解】
由()()R R C A C B ⊇进行反推，若A =∅，则121m m +≥-，解得2m ≤，成立 由A ≠∅可知，集合
{}|121U
A x x m x m =≤+>-或，{}|25U
B x x x =<-≥或
因()()R R C A C B ⊇，应满足12
215211m m m m +≥-⎧⎪
-<⎨⎪->+⎩
，解得()2,3m ∈
综上所述，(),3m ∈-∞ 故答案为：(),3-∞ 【点睛】
本题考查根据集合的补集与包含关系求解参数问题，是中档题型，在处理此类题型中，易
错点为忽略端点处等号取不取得到的问题，解题时要特别仔细
三、解答题
21．（1）(] 4,0-；（2）答案见解析；（3
）(,4-∞--. 【分析】
（1）将()32f x x <-，x ∈R 恒成立，转化为210ax ax --<，x ∈R 恒成立求解. （2）由()()120x ax --≥，分02a <<，2a =， 2a >讨论求解. （3）由0m >时，得到1
1213t m m
=+
++=≥，令x s =，将问题转化为存在3t ≥，()2220as a s t -++-=有两个不等正根求解.
【详解】
（1）因为()32f x x <-，x ∈R 恒成立， 所以210ax ax --<，x ∈R 恒成立；
0a =时，10-<恒成立，满足题意；
0a ≠时，只需0a <，∆<0，即40a ；
综上，实数a 的取值范围是(] 4,0-； （2）()0f x ≥即()()120x ax --≥，
当02a <<时，21>a ，不等式解集为(]2,1,a ⎡⎫
-∞+∞⎪⎢⎣⎭
； 当2a =时，2
1a
，不等式解集为R ；
当2a >时，
21a <，不等式解集为[)2,1,a ⎛
⎤-∞+∞ ⎥
⎝
⎦；
（3）0m >时，令1
1213t m m
=+++=≥， 则存在3t ≥，()f
x t =有四个不等实根，
即()2
220a x a x t -++-=有四个不等实根，
令x s =，0s >时一个s 对应两个x ；0s =时一个x 对应一个x ；0s <时无x 与之对应；
则存在3t ≥，()2
220as a s t -++-=有两个不等正根，
则0a ≠，存在3t ≥，2
020a a
t a
+⎧>⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，
即存在3t ≥，()()2
2420
2
a a t a ⎧+-->⎪⎨<-⎪⎩，
即2a <-，且存在3t ≥，24440a a at -++>， 0a <时，3t ≥时22441284a a a a a -++=++最大值为
22441284a a a a a -++=++，
则2840a a ++>，
由2a <-
可得4a <--
所以实数a
的取值范围是(,4-∞--. 【点睛】
方法点睛：含有参数的不等式的解法：，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
22．（1）8小时；（2）10小时时浓度达到最小值3 【分析】
（1）根据题意列出不等式()44f x ≥，求解出不等式解集，即可得到有效治污的持续时间；
（2）根据条件求解出药剂在水中释放的浓度y 的解析式，然后利用基本不等式求解出对应的最小值，并计算出取最小值时对应的时间. 【详解】
（1）因为()64
4,0448202,410
x y f x x x x ⎧-≤≤⎪
==-⎨⎪-<≤⎩，
当04x ≤≤时，令
64
448x
-≥-，解得04x ≤≤， 当410x <≤时，令2024x -≥，解得48x <≤， 所以有效治污时间能持续8小时；
（2）设在第x 个小时达到最小值，则610x ≤≤，
所以()116162511928614y x x x x ⎡⎤⎛
⎫=-+⋅-=-+⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦
，
所以()
161455314y x x =-+-≥=-， 取等号时16
1414x x
-=
-，即10x =， 所以10小时的时候浓度达到最小值，最小值为3.
【点睛】
易错点睛：实际问题中求解函数解析式以及采用基本不等式求最值需要注意的事项： （1）函数应用类型的问题，写函数解析式时一定要注意函数的定义域不能丢； （2）利用基本不等式求解最值的时候，注意“一正、二定、三相等”，缺一不可. 23．（1）[]0,4a ∈；（2）2k <. 【分析】
（1）由()2log f x x =，()()
y f g x =的值域为R ，知()g x 值域应为小于等于0的数直至正无穷，分类讨论参数a 的正负，再结合二次函数值域与判别式的关系即可求解； （2）对恒成立问题与存在性问题转化得()22t
min k h x ⋅<+在[]
1,1t ∈-有解，求得
()min h x ，再结合函数单调性即可求解
【详解】
（1）0a <时，内函数有最大值，故函数值不可能取到全体正数，不符合题意； 当0a =时，内函数是一次函数，内层函数值可以取遍全体正数，值域是R ，符合题意； 当0a >时，要使内函数的函数值可以取遍全体正数，只需要函数最小值小于等于0， 故只需0≥，解得(]0,4a ∈.综上得[]0,4a ∈；
2（）
由题意可得2
222()222t k h x log x log x ⋅<+=-+在1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
恒成立， 则()221t
min k h x ⋅<+=在[]
1,1t ∈-有解，
即1
<
2
t k 在[]1,1t ∈-有解， 122t max
k ⎛⎫
∴<= ⎪⎝⎭，综上，实数k 的取值范围2k <.
【点睛】
关键点睛：本题考查由对数型复合函数的值域求解参数取值范围，由恒成立与存在性问题建立的不等式求解参数取值范围，解题关在在于： （1）()()()log a f x g x =值域为R ，()g x 值域范围的判断； （2）全称命题与存在性命题逻辑关系的理解与正确转化.
24．（1）奇函数，理由见详解；（2）单调递减，过程见详解；（3）存在
(
0,3∈-a .
【分析】
（1）先由函数解析式求出定义域，再由()f x ，求出()f x -，根据函数奇偶性的概念，即可得出结果；
（2）先令2()11=-
+g x x ，用单调性的定义，即可判断2()11
=-+g x x 的单调性，再由复合函数单调性的判定原则，即可得出结果；
（3）先假设存在满足条件的实数a ，由题意得出01a <<，()1log ()1log a a f n n
f m m =+⎧⎨=+⎩
，推出
,m n 是方程2log 11log 1⎛⎫-=+ ⎪+⎝⎭
a a x x 的两根，进而得到2(1)10ax a x +-+=在()
1,+∞上有两个不同解，根据一元二次方程根的分布情况，列出不等式组，即可求出结果. 【详解】 （1）由2
101
-
>+x 解得1x >或1x <-，即函数()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞； 又()21
log 1log 11
-⎛⎫=-
= ⎪++⎝⎭a a x f x x x ， 所以()22121log 1log 1log log 1111-+-+⎛⎫⎛
⎫-=-
=-== ⎪ ⎪
-+-+-+-⎝
⎭⎝⎭
a a a a x x f x x x x x ， 因此()()log 10+-==a f x f x ，所以()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数； （2）令2
()11
=-
+g x x ，任取121x x <<， 则1212
122121
2222
()()111111(1)(1)⎛⎫⎛⎫--=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭x x g x g x x x x x x x ， 因为120x x -<，110x +>，210x +>，所以12
1221()()0(1)(1)
--=<++x x g x g x x x ，
即函数2
()11
=-
+g x x 在()1,+∞上单调递增； 又01a <<，所以log a
y x =单调递减，
根据同增异减的原则，可得：()2log 11a f x x ⎛
⎫=- ⎪+⎝⎭
在()1,+∞上单调递减；
（3）假设存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为
[]1log ,1log a a n m ++，由m n <，1log 1log +<+a a n m 可得01a <<；
所以()1log ()1log a a f n n f m m =+⎧⎨=+⎩
，
因此,m n 是方程2log 11log 1⎛
⎫
-
=+ ⎪+⎝⎭
a a x x 的两根， 即2
(1)10ax a x +-+=在()1,+∞上有两个不同解，
设2
()(1)1=+-+h x ax a x ，则(1)01120
h a a >⎧⎪-⎪->⎨⎪∆>⎪⎩
，解得03a <<-.
所以存在(0,3∈-a ，使得当()f x 的定义域为[],m n 时，值域为
[]1log ,1log a a n m ++.
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判定，单调性的判定，以及由函数定义域与值域求参数的问题，熟记函数单调性与奇偶性的定义即可，属于常考题型. 25．（1）()10f =，证明见解析；（2）10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
【分析】
（1）令1y =，可得(1)0f =，利用增函数的定义可证()f x 在()0,∞+上是增函数；
（2）利用赋值法求出(4)2f =，将不等式1(1)2f x f x ⎛⎫
++≥ ⎪⎝⎭
化为
1(4)x f f x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，根据()f x 的单调性可解得结果. 【详解】
（1）令1y =，则()()()1f x f x f =-，得(1)0f =， 任取210x x >>，则
2
1
1x x >，210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，所以()()22110x f x f x f x ⎛⎫
-=> ⎪⎝⎭，
故()f x 在()0,∞+上是增函数； （2）在()()x f f x f y y ⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
中，令1x =，2y =，则1
()(1)(2)2f f f =-， 即10(2)f -=-得()21f =，
再令2x =，4y =，则2
()(2)(4)4
f f f =-，即11(4)f -=-，得()42f =， ∵0x >，∴11(1)(4)2x f x f f f x x +⎛⎫⎛⎫
++=≥=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 由()f x 在()0,∞+上递增得14x x +≥且0x >，得1
03
x <≤. 所以不等式1(1)2f x f x ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭
的解集为1(0,]3. 【点睛】 关键点点睛：在()()x f f x f y y ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
中，通过赋值法求出(4)2f =是解题关键.
26．（1）{}210A B x x ⋃=<<，()R A B ={}23710x x x <<<<或；（2）3a >．
【分析】
（1）利用集合交并补的定义进行计算即可；
（2）利用A C ⋂≠∅结合数轴，可求得a 的取值范围．
【详解】
（1）∵{}37A x x =≤≤，{}
210B x x =<<， ∴{}210A B x x ⋃=<<.
∵{}37A x x =≤≤，∴{|3R C A x x =<或}7x >， ∴()R
A B ={|3x x <或}7x >{}210x x ⋂<<{}23710x x x =<<<<或. （2）如图所示，当3a >时，A C ⋂≠∅（或用补集思想）
3a ∴>．
【点睛】
本题考查集合的交并补运算，考查利用集合间的关系求参数范围，属于基础题．。