2021年新课标新高考数学复习课件：§7.2 平面向量的数量积及向量的综合应用

(2)|a±b|= a2 2a b b2 ; (3)若a=(x,y),则|a|= x2 y2 .
考法二 求平面向量夹角的方法
例2 (1)(2019福建漳州八校4月联考,5)已知平面向量a,b的夹角为 π ,且|a|=
3
1,|b|=2,则2a+b与b的夹角是 ( )
A. 5π B. 2π C. π D. π
(2)∵a=(2,-4),b=(-3,x),∴2a+b=(1,-8+x),又c=(1,-1),(2a+b)⊥c,∴1+8-x=0,则x=9,
∴b=(-3,9),∴|b|= (-3)2 92=3 10,故选D.
答案 (1)2 3 (2)D
方法总结 向量的长度即向量的模,通常有以下求解方法:
(1)|a|= a a ;
PO +OC 模的最大值;思路二:可以考虑以△ABC外接圆的圆心为原点,OA所
在直线为y轴,过O与OA垂直的直线为x轴建立坐标系,设P( 3 cos θ, 3sin θ),以θ为参量,转化为求三角函数最值问题.
解析 解法一:设△ABC的外接圆的圆心为O.由正弦定理得圆的半径为
3 3
×1=
2
3
uuur
(3)GA
uuur
+GB
uuur
+GC
=0⇔G为△ABC的重心.
uuur uuur
(4) PA·PB
uuur
=PB
uuur
·PC
uuur
=PC
uuur
·PA
⇔P为△ABC的垂心.
知能拓展
考法一 求向量模的方法
例1 (1)(2017课标Ⅰ,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|
(1)在
uuur
uur
AI =λ
uuur
uuur uAuBur |AB| uuur
a PA+b PB +cPC
uuur
uAuCur |AC|
的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;
=0⇔P为△ABC的内心.
(2)|
uuur
PA|=|
uuur PB
|=|
uuur PC
|⇔P为△ABC的外心.
uuur
π 3
+b2=6,所以cos
(2a b) b
θ=|2a b||b|
=
2
6
3
32 =2
,
所以θ= π .
6
(2)设a与a+b的夹角为θ,由|a|=|b|得|a|2=|b|2,又由|b|=|a-b|得|b|2=|a-b|2,则a·b=
1 |a|2,∴|a+b|2=|a|2+2a·b+|b|2=3|a|2,∴|a+b|=
考点清单
考点一 平面向量的数量积
1.两个向量的夹角
2.平面向量的数量积的有关概念
易错警示 (1)若a,b,c(b≠0)为实数,则ab=bc⇒a=c;但对于向量就不适用, 即a·b=b·c⇒/ a=c. (2)数量积的运算不适合乘法结合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c). 3.平面向量数量积的性质 设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,则 (1)e·a=a·e=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=⑦ 0 . (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|; 当a与b反向时,a·b=-|a||b|. 特别地,a·a=|a|2;|a|= a2 .
PC为圆O直径时,取得最大值5 3 .
解法二:设O为△ABC外接圆的圆心,以O为圆心,OA所在直线为y轴,过O与
OA垂直的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,
连接OB,OC.
uuur uuur uuur
易知|OA|=|OB |=|OC |=
3 ,∴A(0,
3
),B
-
3 2
,-
3 2
,C
3 2
,-
2 PC
=
uuur PO
uuur
+OA
uuur
+ PO
uuur
+OB
+2(
uuur PO
uuur
+OC
uuur
)=4 PO
uuur
+OA
uuur
+OB
uuur
+2OC
,正三角形外接圆
的圆心为O(亦为三角形的重心),则OuuAur
uuur
+OB
uuur
+OC
=0,从而把所求转化为求4
uuur uuur
.由正三角形的圆心也是其重心得OA
uuur
+OB
uuur
+OC
uuur
=0,故 PA +
uuur PB
+2
uu2ur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
PC =4 PO +OC .|4 PO +OC |≤|4 PO|+|OC |=5R=5 3 ,当且仅当 PO与OC 同向,即
解析 (1)解法一:由题意知a·b=|a|·|b|·cos 60°=2×1×1 =1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|
2
a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12.所以|a+2b|=2 3 .
解法二:根据已知条件建立恰当的坐标系,由题意,取a=(2,0),b=
1 2
,
3 2
,则a
+2b=(3, 3 ),所以|a+2b|= 32 ( 3)2 =2 3 .
a b
(4)cos θ=⑧ |a||b| . (5)|a·b|≤|a|·|b|.
考点二 平面向量数量积的应用
1.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件: a⊥b⇔a·b=0⇔⑨ x1x2+y1y2=0 . (2)求夹角问题,利用夹角公式:
cos
θ=
3 2
,设P(
3 cos θ,
3
sin θ)(0≤θ<2π).
则
uuur
PA=(-
3 cos θ,
3-
3

θ),
uuur
PB=
-
3 2
-
3 cosθ,-
32
3 sin θ ,
uuur PC
=
3 2
-
3 cosθ,-
32
3
sin
θ
,∴
uuur
PA+
uuur
PB+2
uuur
PC=
3 2
-4
3 cosθ,-
3 -4 2
3 sin θ ,
∴|
uuur
PA+
uuur PB
+2
uuur PC
|=
3 2
-4
3
cos
θ
2
-
3 -4 2
2 3 sin θ
=
51
24
1 2
sin
θ
-
3 2
cos
θ
=
51
24 sin
θ-
π 3
≤5
3
,当sin
θ-
π 3
=1,即θ=
5 6
π时,取
“=”.
答案 D
2
3
|a|.
∴cos θ= (a b) a = a2 a b =
|a b||a| |a b||a|
3 |a|2
2 3|a|2
=
3.
2
又知θ∈[0,π],
∴θ= π ,即a与a+b的夹角为 π .
6
6
答案 (1)D (2) π
6
实践探究
例 (2019湖南长郡中学第五次月考,11)已知P是边长为3的等边三角形
ABC外接圆上的动点,则|
uuur
PA+
uuur PB
+2
uuur PC
|的最大值是
(
)
A.2 3 B.3 3 C.4 3 D.5 3
解题导引 这是一个求模的最值问题,一种方法是找到取最值的几何位置
uuur uuur
求解,再一种是建立函数关系求解.思路一:设外接圆的圆心为O,则PA+PB +
uuur
a b |a||b|
=⑩
x1x2 y1 y2
x12 y12 x22 y22
.
(3)求线段的长度,可以用向量的线性运算.向量的模|a|= a a = x12 y12 或|
uuur
AB|=| AB |= (x2 -x1)2 (y2 -y1)2 . 2.向量中常用的结论 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.
=
.
(2)已知向量a=(2,-4),b=(-3,x),c=(1,-1),若(2a+b)⊥c,则|b|= ( )
A.9 B.3 C. 109 D.3 10
解题导引 (2)本题给出的是向量的坐标,应先求出向量b的纵坐标,可由条 件(2a+b)⊥c,即(2a+b)·c=0,求出b,再用|b|= (-3)2 x2 求得.
6
3
3
6
(2)(2019豫北名校10月联考,14)已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,则a
与a+b的夹角为
.
解析 (1)设2a+b与b的夹角是θ,由题意有|2a+b|= 4a2 4|a||b|cos π b2 =2
3
3
,(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|cos