2019-2020学年福建省漳州市九年级(上)期末数学试卷(a卷)(解析版)

2019-2020学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（A 卷）
一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项） 1．方程0)2)(1(=+-x x 的解是（ ▲ ） A. 121==x x B. 221-==x x
C.2,121-==x x
D.2,121=-=x x
2．某鞋店试销
：
鞋店经理最关心的是哪种颜色的鞋最畅销，则对鞋店经理最有意义的统计量是 （ ▲ ）
A. 平均数
B. 众数
C. 中位数
D. 方差
3. 九年级(2) 班有30名男生和20名女生，名字彼此不同，将每名学生的名字分别写在50张 相同的纸条上，洗匀后从中任意抽取1张，抽到写有女生名字的概率是（ ▲ ）
A. 20
1
B. 501
C. 5
2
D. 5
3
4. 在比例尺为1:100000的城市交通图上，某道路的长为3厘米，则这条道路的实际距离
为（ ▲ ）千米． A.3 B.30 C.3000 D. 0.3 5．二次函数232
+-=x x y 的顶点坐标是（ ▲ ）
A ．)4
1,23(-
B ．)41,23(-
C ． )4
1,23(
D ．)4
1,23(--
6. 如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在AB 、AC 、BC 上，DE //BC ，EF //AB ， 下列比例式中，正确的是（ ▲ ） A ．
BC DE BD AD = B ．CF AE =
C ．AB EF BC DE =
D ．D
E AD =
7. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠BAC =45°，BC=5，⊙O 的直径为（ ▲ ）
A ．5
B ．25
C ． 35
D ．10
8. 如图，在△ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，D 是△ABC 内部或BC 边上的一个动点（与B 、C 不重合），以D 为顶点作△DEF ，使△DEF ∽△ABC （相似比k >1），EF ∥BC ．两三角形重叠部分是四边形AGDH ，当四边形AGDH 的面积最大时，最大值是多少？（ ▲ ）
9．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝5，CD＝3，则EF的长是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为A（3，0），其部分图象如图所示，下列结论中：①b2＜4ac；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③2a+b＝0；④a+b+c＜0；⑤当0＜x＜3时，y随x增大而减小；其中结论正确的个数是（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二.填空题（每小题4分，共24分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上）
11．化简：＝．
12．已知＝，则＝．
13．如果在﹣1是方程x2+mx﹣1＝0的一个根，那么m的值为．
14．如图，测量试管口径的量具ABC，AB的长为3cm，AC被分为60等份．如果试管口DE正好对着量具上20等份处（DE∥AB），那么试管口径DE是cm．
15．若点A（x1，m）和点B（x2，m）（x1≠x2）都在二次函数y＝x2﹣1的图象上，则当x＝x1+x2时，函数y的值是．
16．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠ADE＝90°，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，若点E是
直线BC上的动点，连接BF，则BF的最小值是．
三、解答题（9大题，共86分）
17．（8分）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）2
18．（8分）解方程：2x2+4x﹣1＝0（用配方法）．
19．（8分）我们知道：＝2，＝0，＝3
（1）观察以上结果，可以发现：当a≥0时，＝；当a＜0时，＝；
（2）若点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2+1上，且n＞0，试化简：
20．（8分）求证：相似三角形对应角的角平分线之比等于相似比．
要求：①分别在给出的△ABC与△DEF中用尺规作出一组对应角的平分线，不写作法，保留作图痕迹；
②在完成作图的基础上，写出已知、求证，并加以证明．
21．（8分）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有邑方不知大小，各开中门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问：邑方几何？”．其大意是：如图，一座正方形城池，A为北门中点，从点A往正北方向走30步到B出有一树木，C为西门中点，从点C往正西方向走750步到D处正好看到B处的树木，求正方形城池的边长．
22．（10分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足下表：
（1）观察上表可求得m的值为；
（2）试求出这个二次函数的解析式；
（3）若点A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，请直接写出n的取值范围．23．（10分）阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元．调查发现，当售价为80元时，平均一周可卖出160个，而当每售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个．若设每个电子产品降价x元，
（1）根据题意，填表：
（2）若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？24．（12分）【问题情境】
（1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．
其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）CD2＝AD•BD，（2）AC2＝AB•AD，（3）BC2＝AB•BD；请你证明定理中的结论（2）BC2＝AB•BD．【结论运用】
（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C 作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，
①求证：△BOF∽△BED；
②若BE＝2，求OF的长．
25．（14分）已知：抛物线y ＝mx 2+（m ﹣2）x ﹣2m +2（m ≠0）． （1）求证：抛物线与x 轴有交点；
（2）若抛物线与x 轴交于点A （x 1，0），B （x 2，0），点A 在点B 的右侧，且x 1+2x 2＝1． ①求m 的值；
②点P 在抛物线上，点G （n ，﹣ n ﹣
），求PG 的最小值．
2018-2019学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（A
卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分，每小题只有一个正确的选项）
1．【分析】根据二次根式的性质意义，被开方数大于等于0，即可求得．
【解答】解：依题意得：x﹣5≥0，解得：x≥5．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，首先利用二次根式的定义求出字母的取值范围，然后利用x取整数的要求即可解决问题．
2．【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2+4x＝﹣1，
x2+4x+4＝3，
（x+2）2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
3．【分析】根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：设另一个和它相似的三角形最短的一边为x，
则＝，
解得，x＝18，
故选：B．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．4．【分析】计算出方程的判别式为△＝m2+8，可知其大于0，可判断出方程根的情况．【解答】解：方程x2+mx﹣2＝0的判别式为△＝m2+8＞0，所以该方程有两个不相等的实数根．故选：B．
【点评】主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．
5．【分析】解答此题，关键是根据D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点，判断出DE 是△ABC 的中位线．
【解答】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴DE 为△ABC 的中位线，
∴DE ＝BC ＝×6＝3． 故选：C ．
【点评】中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．
6．【分析】设后两年该项目投资的平均增长率为x ，则2019年该项目投资的100（1+x ）亿元，2020年该项目投资的100（1+x ）2亿元，由2018﹣2020年漳州市将完成农业绿色发展项目总投资414亿元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设后两年该项目投资的平均增长率为x ，则2019年该项目投资的100（1+x ）亿元，2020年该项目投资的100（1+x ）2亿元，
依题意，得：100+100（1+x ）+100（1+x ）2＝414． 故选：A ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．【分析】根据顶点式确定抛物线y ＝（x ﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），再利用点的平移得到平移后抛物线的顶点坐标为（0，2），于是得到移后抛物线解析式为y ＝x 2+2，然后求平移后的抛物线与y 轴的交点坐标．
【解答】解：抛物线y ＝（x ﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）， 把点（1，2）向左平移1个单位得到点的坐标为（0，2）， 所以平移后抛物线解析式为y ＝x 2+2，
所以得到的抛物线与y 轴的交点坐标为（0，2）． 故选：A ．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8．【分析】利用相似三角形面积的比等于相似比的平方先求出A ′B ，再求AA ′就可以了．
【解答】解：设BC与A′C′交于点E，
由平移的性质知，AC∥A′C′
∴△BEA′∽△BCA
∴S
△BEA′：S
△BCA
＝A′B2：AB2＝1：2
∵AB＝
∴A′B＝1
∴AA′＝AB﹣A′B＝﹣1
故选：A．
【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；
②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
9．【分析】连接DE并延长交AB于H，由已知条件可判定△DCE≌△HAE，利用全等三角形的性质可得DE＝HE，进而得到EF是三角形DHB的中位线，利用中位线性质定理即可求出EF的长．【解答】解：连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，
∴∠C＝∠A，∠CDE＝∠AHE，
∵E是AC中点，
∴AE＝CE，
∴△DCE≌△HAE（AAS），
∴DE＝HE，DC＝AH，
∵F是BD中点，
∴EF是△DHB的中位线，
∴EF＝BH，
∴BH＝AB﹣AH＝AB﹣DC＝2，
∴EF＝1．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质，解题的关键是连接DE和AB相交构造全等三角形，题目设计新颖．
10．【分析】根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①如图，抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故错误；
②由对称轴是x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为A（3，0），得到：抛物线与x轴的另一个
交点坐标为（﹣1，0），
所以抛物线方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3．故正确；
③由对称轴方程x＝﹣＝1得到：2a+b＝0，故正确；
④如图所示，当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；
⑤如图所示，当0＜x＜1时，y随x增大而减小，故错误．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：B．
【点评】主要考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
二.填空题（每小题4分，共24分，请把正确答案填写在答题卡相应位置上）
11．【分析】本题可将20分为两个相乘的数，将含平方因数开方即可．
【解答】解：＝＝2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，解此类题目时要注意开方后的数必定不小于0．12．【分析】根据比例的性质解答即可．
【解答】解：由，可得：，
故答案为：．
【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
13．【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝﹣1代入方程x2+mx﹣1＝0，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【解答】解：∵﹣1是方程x2+mx﹣1＝0的一个根，
∴x＝﹣1满足方程x2+mx﹣1＝0，
∴1﹣m﹣1＝0，
解得m＝0．
故答案是：0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解满足该一元二次方程的解析式．14．【分析】根据题意易证△CDE∽△CAB，根据相似比即可得出DE的长度．【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．
∴DE：AB＝CD：AC．
∴40：60＝DE：3．
∴DE＝2cm．
∴小玻璃管口径DE是2cm．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小玻璃管口径DE，体现了方程的思想．15．【分析】先利用二次函数的性质得到点A与点B关于y轴对称，则x1＝﹣x2，然后计算自变量为0时的函数值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣1的图象的对称轴为y轴，
而点A（x1，m）和点B（x2，m）的纵坐标相同，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴x1＝﹣x2，
∴x＝x1+x2＝0，
当x＝0时，y＝x2﹣1＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也
考查了二次函数的性质．
16．【分析】根据相似三角形的性质得到∠ADE＝∠ABE，推出点A，D，B，E四点共圆，得到∠
DBE＝90°，根据直角三角形的性质得到BF＝DE，当DE最小时，BF的值最小，DE最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，
∴∠ADE＝∠ABE，
∴点A，D，B，E四点共圆，
∵∠DAE＝90°，
∴∠DBE＝90°，
∵F是DE的中点，
∴BF＝DE，
∴当DE最小时，BF的值最小，
∵若点E是直线BC上的动点，
∴当AE⊥BC时，AE最小，此时，DE最小，
∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴BC＝5，
∴AE＝＝，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝4，
∴BF＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，三角形的面积公式，四点共圆，圆周角定理，直角三角形的性质，确定出当DE最小时，BF的值最小是解题的关键．
三、解答题（9大题，共86分）
17．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣2+2﹣﹣2
＝﹣3，
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
18．【分析】先把方程的二次项系数化为1，再利用完全平方公式变形为（x+1）2＝，然后利用直接开平方法求解．
【解答】解：x2+2x﹣＝0，
x2+2x+1＝+1，
（x+1）2＝
x+1＝±，
所以x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
19．【分析】（1）利用题中计算结果易得当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a；
（2）先把点P（m，n）代入y＝﹣x2+1得到n＝﹣m2+1，再求出抛物线与x轴的交点坐标，利用
函数图象得到当n＞0，﹣1＜m＜1，然后根据（1）中二次根式的性质化简．
【解答】解：（1）当a≥0时，＝a；当a＜0时，＝﹣a；
故答案为a；﹣a；
（2）∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2+1上，
∴n＝﹣m2+1，
当n＝0时，﹣m2+1＝0，解得m＝1或m＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣m2+1与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（1，0），
∴当n＞0，﹣1＜m＜1，
∴＝﹣（m﹣1）＝﹣m+1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式．也考查了二次根式的性质．
20．【分析】①根据题意画出图形即可；
②根据画出的图形，写出已知，求证，然后根据相似三角形对应角相等可得∠B＝∠B1，∠BAC
＝∠B1A1C1，再根据角平分线的定义求出∠BAD＝∠B1A1D1，然后利用两组角对应相等两三角形相似，根据相似三角形对应边成比例列式证明即可．
【解答】解：①如图所示，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分线；
②已知：如图，△ABC∽△DEF，＝＝＝k，AG，DH分别是∠BAC与∠EDF的角平分
线．
求证：＝k；
证明：∵AG，DH分别是△ABC与△DEF的角平分线，
∴∠BAG＝∠BAC，∠EDH＝∠EDF，
∵△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，∠B＝∠E，
∴∠BAG＝∠EDH，
∴△ABGC∽△DEH，
∴＝＝k．
【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两组角对应相等两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式．
21．【分析】根据题意，可知Rt△ABE∽Rt△CED，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形城池的边长．
【解答】解：设正方形城池的边长为x步，
由题意可得，Rt△ABE∽Rt△CED，
∴，
即，
解得，x1＝300，x2＝﹣300（不合题意，舍去），
答：正方形城池的边长为300步．
【点评】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
22．【分析】（1）由表格知x＝3和x＝﹣1时函数值相等；
（2）利用待定系数法求解可得；
（3）根据二次函数的图象和性质求解可得．
【解答】解：（1）观察上表可求得m的值为3，
故答案为：3；
（2）由表格可得，二次函数y＝ax2+bx+c顶点坐标是（1，﹣1），
∴y＝a（x﹣1）2﹣1，
又当x＝0时，y＝0，
∴a＝1，
∴这个二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1；
（3）∵点A（n+2，y1），B（n，y2）在该抛物线上，且y1＞y2，
∴n＞0．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
23．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据销量×每个的利润＝盈利列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）
）
故答案为：80﹣x，30﹣x，160+10x，（80﹣50﹣x）（160+20×）；
（2）根据题意得，（80﹣50﹣x）（160+20×）＝5200，
解得x1＝10，x2＝4（不合题意舍去），
答：每个电子产品应降价10元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确利用销量×每个的利润＝盈利得出方程是解题的关键．
24．【分析】（1）证明Rt△CBD∽Rt△ABC，即可求解；
（2）①BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，即BO•BD＝BF•BE，即可求解；②∵在Rt△BCE中，BC
＝6，BE＝2，利用△BOF∽△BED，即可求解．
【解答】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
而∠CBD＝∠ABC，
∴Rt△CBD∽Rt△ABC，
∴CB：AB＝BD：BC，
∴BC2＝AB•BD；
（2）①证明：如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF•BE，
∴BO•BD＝BF•BE，
即＝，而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED；
②∵在Rt△BCE中，BC＝6，BE＝2，
∴CE＝＝2，
∴DE＝BC﹣CE＝4；
在Rt△OBC中，OB＝BC＝3，
∵△BOF∽△BED，
∴＝，即：＝，
∴OF＝．
【点评】本题为三角形形似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到形似的三角形，此类题目通常难度较大．
25．【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（3m﹣2）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）①解方程mx2+（m﹣2）x﹣2m+2＝0，得出x＝1或x＝．由点A在点B的右侧，得
到x1＞x2．分x1＝1，x2＝与x1＝，x2＝1两种情况分别代入x1+2x2＝1，求出m的值即可；
②当m＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，由点G坐标可知G点在直线y＝﹣x﹣上．假设
平行于直线y＝﹣x﹣的直线l的关系式为y＝﹣x+b，根据直线l与抛物线y＝x2﹣x只有
一个交点求出b＝﹣．得到P（﹣，），利用两点间的距离公式求出PG2＝
n2+n+，然后根据二次函数的性质即可求解．
【解答】（1）证明：当y＝0时，mx2+（m﹣2）x﹣2m+2＝0，
∵△＝（m﹣2）2﹣4m（﹣2m+2）＝（3m﹣2）2≥0，
∴抛物线y＝mx2+（m﹣2）x﹣2m+2与x轴有交点；
（2）①当y＝0时，mx2+（m﹣2）x﹣2m+2＝0，
解得x＝1或x＝．
∵点A在点B的右侧，
∴x1＞x2．
∵x1+2x2＝1，
∴当x1＝1，x2＝时，1+2×＝1，解得m＝1．
此时x1＝1，x2＝0，满足x1＞x2，故m＝1符合题意；
当x1＝，x2＝1时，+2×1＝1，解得m＝2．
此时x1＝﹣2，x2＝1，与x1＞x2矛盾，故m＝2不符合题意．
∴m＝1；
②当m＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣x，
∵点G（n，﹣n﹣），
∴点G在直线y＝﹣x﹣上．
假设平行于直线y＝﹣x﹣的直线l的关系式为y＝﹣x+b，与抛物线y＝x2﹣x只有一个交点C，
则此时方程x2﹣x＝﹣x+b的△＝0，解得b＝﹣．
∴x2﹣x＝﹣x﹣，
解得x1＝x2＝﹣．
把x＝﹣代入y＝x2﹣x得y＝，
∴P（﹣，），
∴PG2＝（n+）2+（﹣n﹣﹣）2＝n2+n+，
∵＞0，
∴PG2的最小值＝，
∴PG的最小值＝．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质；要求学生会利用判别式判断抛物线与x轴的交点个数；记住两点间的距离公式．。