几何证明举例(1)
一个代数不等式的几何证法
一个代数不等式的几何证法不等式的证明是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，错法多种多样，本节通这一些实例，归纳整理证明不等式时常用的方法和技巧。
步骤/方法比较法比较法是证明不等式的最基本方法，具体有作差比较和作商比较两种。
基本思想是把难于比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。
当求证的不等式两端是分项式(或分式)时，常用作差比较，当求证的不等式两端是乘积形式(或幂指数式时常用作商比较)基准1未知a+b0，澄清：a3+b3a2b+ab2分析：由题目观察知用作差比较，然后提取公因式，结合a+b0来说明作差后的正或负，从而达到证明不等式的目的，步骤是10作差20变形整理30判断差式的正负。
∵(a3+b3)?(a2b+ab2)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)证明： =(a-b)2(a+b)又∵(a-b)20(a-b)2(a+b)0即a3+b3a2b+ab2例2 设a、br+，且ab，求证：aabbabba分析：由澄清的不等式所述，a、b具备轮休对称性，因此可以在设a0的前提下用做商比较法，作商后同1比较大小，从而达至证明目的，步骤就是：10作商20商形整理30推论为与1的大小证明：由a、b的对称性，不妨解a0则aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b∵a?b?0，ab?1，a-b?0(ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1，又abba0aabbabba练习1 已知a、br+，nn，求证(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法利用基本不等式及其变式证明不等式就是常用的方法，常用的基本不等式及变形存有：(1)若a、br，则a2+b22ab(当且仅当a=b时，取等号)(2)若a、br+，则a+b 2ab (当且仅当a=b时，挑等号)(3)若a、b同号，则 ba+ab2(当且仅当a=b时，取等号)基准3 若a、br， |a|1，|b|1则a1-b2+b1-a21分析：通过观察可直接套用： xyx2+y22证明：∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1b1-a2+a1-b21，当且仅当a1+b2=1时，等号成立练2：若 a?b?0，证明a+1(a-b)b3综合法综合法就是从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式性质推算出要证明不等式。
重庆中考2017-2018学年上期几何证明习题一 (1)
重庆中考2017－2018学年上期几何证明习题一1、如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，点D 是AB 边上的中点，斜边AB 的中点，DM ⊥DN ；连接DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F ； （1）如图1，若CD ＝4，求△ABC 的周长；（2）如图2，若点E 为AC 的中点，将线段CE 绕点C 旋转60°，使点E 至点F 处，连接BF 交CD 于点M ，取DF 的中点N ，连接MN ，求证：MN=2CM（3）如图3，以点C 为旋转中心将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°，使点D 至点E 处，连接BE 交CD 于点M ，连接DE ，取DE 的中点N ，连接MN ，试猜想线段BD 、MN 、MC 之间的关系并证明；2．如图，∠BAC ＝60°，∠CDE ＝120°，AB ＝AC ，DC ＝DE ，连接BE ，P 为BE 的中点 (1) 如图1，若A 、C 、D 三点共线，求∠PAC 的度数 (2) 如图2，若A 、C 、D 三点不共线，求证：AP ⊥DP(3) 如图3，若点C 线段BE 上，AB ＝1，CD ＝2，请直接写出PD 的长度EDABCMNFE DABCMN图1图3图2CBAD3、如图，△ABC 中，以AC 为斜边向下作等腰Rt △ADC ，直角边AD 交BC 于点E ，（1） 如图1，若∠ACB=30°， ∠B=45°， ， 求线段DC 的长； （2） 如图2，若等腰Rt △ADC 的直角顶点D 恰好落在线段BC 的垂直平分线上，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，连接DF ，求证：4.如图，Rt △ABC 中,∠C=90°，点D 是AC 上的一点，过D 作DE ⊥AB ，垂足为点E ，连接BD ，∠ADE=∠BDE.（1）如图1，若BC=2 ，AC=4，求AE 的长；（2）如图2，AG //BD ，且AG=CD ，点F 是线段BC 的中点.求证：∠FDC=∠DGA.图2图1ABCDCB图2B CD24题图224题图15、在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AMN，设旋转角为，记直线BN与CM的交点为P．（1）求证：BD1=CE1（2）若∠C PD1=2∠CAD1,求CE1的长；（3）连接PA,求△ABP面积的最大值；6、在Rt △ABC 中，∠A=90°，AC=AB=4， D，E分别是AB，AC的中点．若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△，设旋转角为，记直线与的交点为P．（1）如图1，当时，线段的长等于，线段的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当时，求证：,且；（3）①设BC的中点为M，则线段PM的长为；②点P到AB所在直线的距离的最大值为．（直接填写结果）ABCDEMABCDEMN PNEDCB A图1图2图37、已知：△ACB 与△DCE 为两个有公共顶点C 的等腰直角三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC ，DC=EC ．把△DCE 绕点C 旋转，在整个旋转过程中，设BD 的中点为N ，连接CN ． （1）如图①，当点D 在BA 的延长线上时，连接AE ，求证：AE=2CN ；（2）如图②，当DE 经过点A 时，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为H ，设AC 、BD 相交于F ，若NH=4，BH=16，求CF 的长．8、．如图，△ABC 中, ∠AB C =45°,CD ⊥AB 于点D ，G 为DC 上一点，且AD=DG ，连接BG 延长交AC 于点E ，连接ED ，过点B 作BF ⊥ED ，交ED 延长线于点F （1） 若∠GB C =30°，DB= ，求△GBC 的面积； （2） 求证：AC+GE=9、如图，等边△ABC 的边长为4，BD 为AC 边上的中线，E 为BC 边上一点（不与B 、C 重合）．（1）如图1，若DE ⊥BC ，连接AE ，求AE 的长； （2）如图2，若DE 平分∠BDC ，求BE 的长；（3）如图3，连接AE ，交BD 于点M ．以AM 为边作等边△AMN ，连接BN ．请猜想∠CAE 、∠CBD 、∠BMN 之间的数量关系，并证明你的结论．BCDA图1BC DA 图2图3BCDEM NA10、如图，在△ABCAC=BC ，点D 是AB 边上一点，连接DC ，满足DA=DC ， （1）如图1，点G 在AB 边上且BG=BC 连接CG ，若∠A CB=80°求∠GCD 的度数； （2）如图2，点E 是BC 边上一点且DE=DB ，点F 和点H 分别是AB 和EC 的中点，连接CD 交FH 于点G ，求证：CD=FH+DF11、等腰Rt △ABC 中，∠BAC=90°，CD ⊥AC ，点M 是AC 上一点，且AM=CD ，AH ⊥BC 于 点H ，当点E 是AD 的中点时，连接BE 交AH 、AC 于点N 、M ， 求证：AD= BN12、菱形ABCD 中，一射线BE 分∠ABC 为∠ABE 与∠CBE ，且∠ABE ：∠CBE=7：3．BE 交对角线AC 于F ，交CD 于E ．过B 作BK ⊥AD 于K 点，交AC 于M ，且∠DAC=15°． （1）求∠DEB 的度数； （2）求证：2CF=CM+2FB ．图2图1GDBCFECAABDGH图2HDHD13、 如图，在△ABC 中，AB=AC=10，∠BAC=90°，D 为△ABC 下方一点，且AD 平分 ∠BDC ，（1）求证：∠ADC=45°；（2）如图2，作CE 平分∠BCD 交AD 于点E ， ①、若5DE=2AE ，求CD 的长；②、如图3，分别作∠ABC 、∠ACB 的平分线BF 、CF ，连接EF ，求EF 的最小值；14、如图，四边形ABCD 中，AD=DB=BC ，∠ADB=∠DBC=90°，点E 是边CD 上任意一点，连接AE 交BD 于点G ，过点B 作AE 的垂线，垂足为点M ，交边CD 于点F ，连接FG 、DM ， （1）若DE=AD ，求证：∠DBM=∠DEM （2）求证：AG=BF+FG （3）求∠DOG 的度数；图1图3图2ABCEFAB CDED CBAABCEF GMD2问ABCEF H GMD3问15、如图1，在△AOB 中，∠AOB=90°AO=BO ， 点C 在边AB 上,连接CO ，过点O 作CO 的垂线，在垂线上取一点D ，使DO=CO ，连接BD 、CD ， （1）求证：BD ⊥AB（2）如图2，取线段BC 的中点E ，连接OE ，AD ，求证：OE ⊥AD ，且AD=2OE△BEG ≌△COE △AOD ≌△BOG16、如图1，在△ABC 中，∠BAC=90°AB=AC ，将AB 绕点A 按顺时针旋转60°，连接CD ，与∠BAC 的角平分线AE 交于点E ，连接BE ； （1）若BE=2，求∠BEC 的度数及AE 的长度；（2）如图2，以BC 为边在△ABC 外作△BCF ，且∠BCF=60°，连接EF ，求证：CF+BF= EF图1图2图2图2图1DDEABCEFCBA17、如图，在△ABC中， AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，DB=DA,BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF；（1）若BE=2， ,求AF的长；（2）若∠BAC=∠DAF 求证：2AF=AD；（3）请直接写出线段AD、BE、AE的数量关系；18、等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，其中B、E、D三点共线且DE交AC于点F，（1）如图1，若点E 是BD的中点， AD=1，求∠BDC 的度数和BC的长；（2）如图2，在AB上取一点G，使BG+AB=BC ，连接EG，若点E 是BF的中点，求证：EG//AD；CDA FAEB FBDE CG图1图2D图219、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点E 是BC 上一点，连接AE ， （1）如图1，若∠BAE=15°， 时，求AB 的长；（2）如图2，延长BC 至点D ，使DC=BC ，将线段AE 绕点A 按顺时针旋转90°得到线段AF ，连接DF ，过点B 作BGBC 交FC 的延长线于点G ， 求证：BG=BE ；图1图2GCEDBFE BAAC。
5.6几何证明举例(1)
，
• 则能使△ABD≌△ACD（任加一条件）
• （4）如图AB=CD,DE=AF,CF=BE,∠AFB=60°，
• ∠CDE=80°,那么∠ABC
。
D
（第3题）
小结
判定三角形全等的方法有:
“ASA”, “ AAS”,“SAS” “SSS”.
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
再见
2021/6/20
证明：∵∠B=∠B′, ∠C=∠C′
（已知）
∴∠A=∠A′ （三角形内角和定理）
在△ABC与△ABC中， ∠A=∠A′ （已证） AB=A′B′ （已知） ∠B=∠B′ （已知）
∴△ABC≌△ABC （ASA）
已知：如图，AB=CB, AD=CD. 求知：∠A=∠C
2021/6/20
5
全全等全等三等三角三角形角形对形对应对应边应边上角上的的的高平中相分线等线相相等等
B(E)
F A
C
O Dபைடு நூலகம்
达标测评：
• 1、选择题：
• （1）（2011江西南昌）如图
• 下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ）
.
• A.BD=DC，AB=AC
B.∠ADB=∠ADC，BD=DC
• C.∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D.∠B=∠C，BD=DC
• （2）下列各组条件中，可保证ΔABC与ΔA′B′C′全等的是（ ）
.
情境导入
• 如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， • 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃， • 那么最省事的办法是（ ） • (A)带①和②去 (B)带①去 • (C)带②去 (D)带③去 •
你还记得有关全等三角形的 几个公理吗?
11[1].5__几何证明举例(1)
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11.5《几何证明举例》导学案（1）课本内容：P130—131 例1 例2课前准备：直尺学习目标：1. 会证明下列定理：SAS ASA2. 能根据上述定理证明有关的命题3、养成善于思考，善于探究，善于推理，言必有据的好习惯一. 自主预习课本P130——131的内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）二. 回顾课本P28-31 P120—121思考下列问题：1、SAS 定理的内容2、ASA 定理的内容3、几何证明的过程的步骤三、巩固练习1、在ΔABC 和ΔDEF 中，按照下列给出的条件，能用“SAS ”公理判断ΔABC ≌ΔDEF 的是（）A 、AB=DE ∠A=∠D BC=EFB 、AB=EF ∠A=∠D AC=DFC 、AB=BC ∠B=∠E DE=EFD 、BC=EF ∠C=∠F AC=DF2、．如图5—47，△ABC≌△CDA，并且BC ＝DA ，那么下列结论错误的是 ()A ．∠1＝∠2B ．AC ＝CA C ．AB ＝AD D ．∠B＝∠D3． :如图,点B 在AE 上,∠CAB=∠DAB,要使ΔABC ≌ΔABD,可补充的一个条件是ED CB A4． :如图,AE=AD,要使ΔABD ≌ΔACE,请你增加一个条件是5、:如图,已知∠1=∠2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE,②BC=ED,③∠C=∠D,④ ∠B=∠E,其中能使ΔABC ≌ΔAED 的条件有( )个.A. 4B. 3C. 2D. 16：已知，△ABC 和△ECD 都是等边三角形，且点B ，C ，D 在一条直线上求证：BE=AD四、学习小结回顾这一节所学的，看看你学会了吗？五、达标检测1、如图,已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是 （ ）A ．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙2．如图,已知MB ＝ND,∠MBA ＝∠NDC,下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（ ）A ．∠M ＝∠NB ．AB ＝CDC ．AM ＝CND ．AM ∥CN3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完EDC AB 21ED CBA EC BA全一样的玻璃,那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去5．如图5—54，已知△ABC≌△DEF，AF＝5cm，(1)求CD的长，(2)AB与DE平行吗?为什么?解：(1)∵ △ABC≌DEF(已知)，∴ AC＝DF( )．∴ AC－FC＝DF－FC(等式性质)．即_________＝_________．∵ AF＝5cm∴ _________＝5cm．(2)∵ △ABC≌△DEF(已知)，∴ ∠A＝__________( )．∴ AB∥_________( )．6：如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD 求证：DC∥ABAODBC六、布置作业。
几何证明举例(1)
在ABD和ABD中
ADB ADB B B
A
AB AB
ABD ABD
AD AD
B D C B
A D C
已知：如图， ABC ABC, AD, AD分别是边 BC, BC上的中线。 求证：AD AD.
证明：ABC ABC
AB AB, BC BC,B B
求证：ＢＨ＝ＡＣ
A
HE
B
C D
Hale Waihona Puke 选做题• 已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点， AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC
• 求证：AB=AC
作业
课后练习2
谢谢聆听，再见！
3、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
4、证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察 要证明的线段（或角）在那两个可能全等的三角形中， 再证明这两个三角形全等；（2）若图中没有全等三角 形，可以把要证明的线段（或角）用和它相等的线段 （或角）代换，再证明它们所在的三角形全等；（3） 如果没有相等的线段（或角）代换，可设法作辅助线 构造全等三角形。
例 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
例 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
1
B
3
2C
4
D
变式1、 已知：如图，AB=AC，∠B=∠C. 求证： DB=DC.
A
1
B
3 ?
2C
4
?
D
练习
已知：如图，PB=PC，CE、BD相交于
点P，∠BDA=∠CEA. 求证：AB=AC. A
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么
全国通用版中考数学：勾股定理有关的几何证明(一)—详解版
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为点N，求证：AN2-BN2=AC2．证明：∵MN⊥AB于N，∴BN2=BM2-MN2，AN2=AM2-MN2，∴BN2-AN2=BM2-AM2，又∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2 ，∴BN2-AN2=BM2-AC2-CM2，又∵BM=CM，∴BN2-AN2=-AC2，即AN2-BN2=AC2．【例2】四边形ABCD，AC⊥BD ，探究AB2，CD2，BC2，AD2之间的数量关系．【解析】AD2+BC2=AB2+CD2，设AC与BD的交点为E∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；故答案为：AD2+BC2=AB2+CD2，1.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30°．求证：四边形ABCD是以DC、BC为勾股边的勾股四边形．证明：连接CE，∵△DBE是由△ABC的顶点B按顺时针方向旋转60°而得，∴AC=DE，BC=BE，∠CBE=60°，∴△BCE是等边三角形，∴∠BCE=60°，EC=BC，又∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，∴在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2∴AC2=DC2+BC2即四边形ABCD是以DC，BC为勾股边的勾股四边形．2.在△ABC中，AD⊥BC于D，求证：AB2+CD2=AC2+BD2．证明：在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB2-BD2=AD2；在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AC2-CD2=AD2，∴AB2-BD2=AC2-CD2=AD2，则AB2+CD2=AC2+BD2．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC边上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．证明：作AE⊥BC于E，如图所示：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，1BC，∴BE=CE=AE=2∴BD2+CD2=（BE+DE）2+（CE-DE）2=2AE2+2DE2=2AD2．4.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P、Q分别在BC、AC上，求证：AP2+BQ2=AB2+PQ2．证明：∵在RT△APC中，AP2=AC2+CP2，在RT△BCQ中，BQ2=BC2+CQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2，∵在RT△ABC中，AC2+BC2=AB2，在RT△APC中，PC2+CQ2=PQ2，∴AP2+BQ2=AC2+CP2+BC2+CQ2=AB2+PQ2．5.如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC的中点，DE⊥AB于点E．求证：BC2=BE2-AE2．证明：连接BD，∵D是AC的中点，∴CD=AD．∵∠C=90°，DE⊥AB，∴BE2-AE2=（BD2-DE2）-（AD2-DE2）=BD2-AD2=（BC2+CD2）-AD2=BC2．【例1】在△ABC中，以AB为斜边，作Rt△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°，AD=BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE=EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系（不需要证明）．证明：BF2+FC2=2AD2，理由：如图3，连接AF、CD．∵EF⊥AC，且AE=EC，∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，∵EF⊥AC，且AE=EC，∴∠DAC=∠DCA，DA=DC，∵AD=BD，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB，∵∠FAC=∠FCA，∠DAC=∠DCA，∴∠DAF=∠DCB，∴∠DAF=∠DBC，∴∠AFB=∠ADB=90°，在Rt△ADB中，DA=DB，∴AB2=2AD2，在Rt△ABF中，BF2+FA2=AB2=2AD2，∵FA=FC∴BF2+FC2=2AD2．【例2】如图，∠C=90°，AM=CM，MP⊥AB于点P，求证：BP2=AP2+BC2．证明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，∴AB2=BC2+AC2，则AB2-AC2=BC2．又∵在直角△AMP中，AP2=AM2-MP2，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（AM2-MP2）．又∵AM=CM，∴AB2-AC2+（AM2-MP2）=BC2+（MC2-MP2），①∵△APM是直角三角形，∴AM2=AP2+MP2，则AM2-MP2=AP2，②∵△BPM与△BCM都是直角三角形，∴BM2=BP2+MP2=MC2+BC2，MC2+BC2-MP2=BM2-MP2=BP2，③把②③代入①，得AB2-AC2+AP2=BP2，即BP2=AP2+BC2．1.如图，已知AM是△ABC的BC边上的中线，证明：AB2+AC2=2（AM2+MC2）．证明：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2MC2=2（AM2+MC2）．2.在△ABC中，AB=AC．（1）如图，若点P是BC边上的中点，连接AP．求证：BP•CP=AB2-AP2；（2）如图，若点P是BC边上任意一点，上面（1）的结论还成立吗？若成立，请证明、若不成立，请说明理由；（3）如图，若点P是BC边延长线上一点，线段AB，AP，BP，CP之间有什么样的数量关系？画出图形，写出你的结论．（不必证明）（1）证明：∵AB=AC，P是BC的中点，∴AP⊥BC，∴AB2-AP2=BP2=BP•CP；（2）成立，理由如下：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2②①-②得：AB2-AP2=BD2-PD2=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；（3）结论：AP2-AB2=BP•CP．如图所示，理由如下：P是BC延长线任一点，连接AP，并做AD⊥BC，交BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2，在Rt△ADP中，AP2=AD2+DP2，∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2，又∵BP=BD+DP，CP=DP-CD=DP-BD，∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2，∴AP2-AB2=BP•CP．3.已知AM是△ABC的中线．（1）求证：AB2+AC2=2（AM2+BM2）；（2）若AD是高，求证：AB2-AC2=2BC•MD．证明：（1）在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2①，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2②，由①+②得：AB2+AC2=2AD2+BD2+CD2，在Rt△ADM中，AD2=AM2-DM2，则AB2+AC2=2AM2-2DM2+BD2+CD2，∵AM是△ABC的BC边上的中线，∴BM=MC，∴BD2=（BM+DM）2=（MC+DM）2=MC2+2MC•DM+DM2，CD2=（MC-DM）2=MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2-2DM2+MC2+2MC•DM+DM2+MC2-2MC•DM+DM2，∴AB2+AC2=2AM2+2BM2=2（AM2+BM2）．（2）∵AD是高，∴△ABD和△ACD是直角三角形，∴AB2=BD2+AD2，AC2=AD2+DC2，∴AB2-AC2=BD2-DC2=（BD+CD）（BD-CD）=BC（BM+MD-CD），∵AM是中线，∴AB2-AC2=BC（CM+MD-CD）=BC（MD+MD）=2BC•MD．。
青岛版数学八年级上册 5.6几何证明举例第1课时课件(共12张PPT)
第1课时
一、预习诊断
1.具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是（ ） （A）有两边一角对应相等 （B） 三边对应相等 （C）两角一边对应相等 （D）有两直角边对应相等的两个直角 三角形 2.下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边； （3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等。 其中正确命题的个数有（ ） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
（根据图形结合题意写出已直和求证，给出证明）
这样，全等三角形的判定就有了基本事实SAS， ASA，SSS以及定理AAS，利用它们和全等三角形的 对应边、对应角相等就可以进一步推证全等三角形的 有关线段或角相等。
例1：已知：如图，AB=CB，AD=CD。
求证：∠A=∠C。
分析：要证∠A=∠C，只要证明它们所在的两个三角形 全等即可，但是图中没有两个全等三角形时，应通过尝 试添加辅助线构造全等三角形，使待证的角或线段是这 两个全等三角形的对应角或对应边。
A
A
A
B D C B D C
A
B D C B D C A
B D C B D C
三、系统总结
1.判定两个三角形全等的基本事实有： SAS，ASA，SSS，判定定理是AAS。 2.证明两个角或两条线段相等时，可以 考察它们是否在给出的两个全等三角形 中。如果没有，应尝试通过添加辅助线 构造两个全等三角形，使待证的角或线 段分别是两个全等三角形的对应角或对 应边。
你学会了吗？
1.已知，如图AB=CD，AD=BC，求证： ∠A=∠C
思考：怎样添加辅 助线才能使∠A与∠C 存在于两个全等三角形 中而且是两个三角形的 对应角呢？
初二几何证明一(线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质)
线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。
1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：BD ＋EC ＝DE 。
2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。
求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。
博雅几何证明(一)------对角互补四边形
可编辑几何证明（一）---- 对角互补方法点拨：已知中有公共端点的两条线段相等，利用互补及平角可得另一对角相等，再通过添加辅助线得到全等的的三个条件解决问题。
补例（2013聊城）如图，四边形ABCD 中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD ，CE⊥AD，垂足为E ， 求证：AE=CE ．例：如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，P 是△ABC 外一点，且PB ⊥PC试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明变式一：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC=120°，P 是△ABC 外一点，且∠BPC=60°，试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明变式二：如图，△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC=α，P 是△ABC 外一点，且∠BAC ＋∠BPC=180°，试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明（用含α的式子 表示变式三如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB=BC ，P 是△ABC 外一点，且∠BPC=135°， 试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明A B PCABPCAB CPABPC可编辑变式四如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC=90°，∠BAC=α，P 是△ABC 外一点，且∠BAC ＋∠BPC=180°，试判断PA 、PB 、PC 的关系，并加以证明（用含α的式子 链接中考1．已知：如图13，在ABC △中，,AB AC BAC α=∠=（ 不大于90o），点P 为ABC △外一点，且o1902APC α∠=+，连接BP ．（1）当o60α=时，APC ∠= o；,,PA PB PC 这三条线段满足的数量关系是 ；（2）如图14，当o60α=时，探究,,PA PB PC 三条线段之间的数量关系，并证明； （3）用含α的式子表示,,PA PB PC 三条线段之间的数量关系，并证明．图13 图14 2、链接中考：2013甘井子一模25题。
八年级几何证明常见模型
八年级几何证明常见模型（1）手拉手模型【例题1】在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） △AGB ≌△DFB （5） △EGB ≌△CFB（6） BH 平分∠AHC（7） GF ∥AC【变式练习】1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明：（1） △ABE ≌△DBC（2） AE=DC（3） AE 与DC 的夹角为60。
（4） AE 与DC 的交点设为H,BH平分∠AHCA2：如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：（1）△ABE≌△DBC（2）AE=DC（3）AE与DC的夹角为60。
（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC 【例题2】如图，两个正方形ABCD和DEFG，连接AG与CE，二者相交于H问：（1）△ADG≌△CDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分∠AHE？F【变式练习】1：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连接AG,CE,二者相交于H.问 （1）△ADG ≌△CDE 是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分∠AHE ？2：两个等腰三角形ABD 与BCE ，其中AB=BD,CB=EB,∠ABD=∠CBE=a 连接AE 与CD.问（1）△ABE ≌△DBC 是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？A（4）HB 是否平分∠AHC ？【例题3】如图1，AB=AE ，AC=AD ，∠BAE=∠CAD=90°． （1）证明：EC=BD ； （2）证明：EC ⊥BD ；（3）如图2，连接ED ，若N 点为DE 的中点，连接NA 并延长与BC 交于点M ，证明：AM ⊥BC ．HABCE【变式练习】1，⊿ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向⊿ABC作等腰Rt⊿ABE和等腰Rt⊿ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。
中考数学-几何证明
2020年-春季-初三下-【入学考试】1.(初2020级BZ初三下入学测试)如图，正方形ABCD中，对角线AC, BD交于点。
，点E.点OB ,线段AB上，且AF OE ,连接AE交OF于G , 连接DG交AO于H.F分别在线段⑴如图1,若点E为线段BO中点，AE J5,求BF的长：(2)如图2,若AE平分BAC,求证：FG HG;(3)如图3,点E在线段BO (含端点)上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos HDO的值.2.(初2020级BS初三下入学测试)如图，平行四边形ABCD中，AB=2BC, B 60 . 曲 DC中点，连接AE . F为AD上一点，连接CF交AE与点G , CM平分FCB交AB于点M .(1)如图1,若BC 3,AF 1 求sin DCF 的值.(2)求证：EG BM CG(3)如图2, CN AB于点N ,若AG=4, MN : BN=3: 5.求CG 的长度.3.(初2020级YZ初三下入学测试)在0ABCD中BAC=90 , AB=AE,延长BE交CD 于点F . AG BE交BE于点H点，M是BC边上的点.(1)如图1,若点M与点G重合，AH 5, AD 显26 ,求CF的长：2(2)如图2.若AM是BAD的角平分线，连接MH , HMG MAH ,求证：AM 2 .2HM(3)如图3,若点M为BC的中点，作点B关于AM的对称点N，连接AN、MN、EN,请直接写出AMH、NAE、MNE之间的角度关系.4.(初2020级YZ 初三下入学测试)在正方形 ABCD 中，E 为边CD 上一点(不与点 C 、D 第4页共34重合)，垂直于BE 的一条直线 MN 分别交BC 、BE 、AD 于点M 、P 、N,正方形ABCD 的边长为6.(1)如图1,当点M 和点C 重合时，若AN =4,求线段PM 的长度;(2)如图2,当点M 在边BC 上时，判断线段AN 、MB 、EC 之间的数量关系，并说明理由;(3)如图3,当垂足P 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上运动时，连接 NB,将^ BPN 沿着BN 翻折，点P 落在点P 处，AB 的中点为Q,直接写出PQ 的最小值.5.(万二中初2020级初三下入学测试)在4ABC与4ADF中，/BAC=/DAF=90° ,AB=AC,AD=AF, DF的延长线交BC于点E,连接DB、CF.(1)如图1,当点C、A、D三点在同一直线上，且AC=g AF, AF=超时，求CE的长；(2)如图2,当/ AFC = 90°时，求证：E是BC的中点；(3)如图3,若CF平分/ ACB,且CF的延长线与DB交于点G,请直接写出BG、DG、FG之间的数量关系.[ D6.(万中初2020级初三下入学测试) 如图，在？ABCD中，/ACB = 45° , AEXBC于点E, 过点C 作CFLAB于点F,交AE于点M.点N在边BC上，且AM = CN ,连结DN .(1)若AB= 10Q , AC = 4,求BC 的长；(2)求证：AD+AM= 22DN .(3)如图，连接EF、探究AF、EF、CF之间存在的数量关系，直接写出数量关系不需要证明.2020年-春季-初三下-【第一次诊断】1.(初2020级YW初三下第一次诊断)如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DELDC交直线AB于点E,过点E作EHXAD于点H,过点B作BFXAD于点F.(1)如图，若/ BAD=60° , AF=3, AH=2,求AC 的长.(2)如图，若BF=DH,在AC上取一点G,连接DG、GE, 若/ DGE=75° ,/CDG=45° -/CAB,求证：DG 立CG22.如图，已知ABCD中，/ B=45° , CE^AD于G,交BA延长线E, CF平分/ DCE ,连接EF, ED.(1)如果AB=5, AD = 372,求线段DE的长.(2)如果/ CFE=90° ,求证：CD 2DF 版AG .(3)如图，在(2)的条件下，若FG J5,点M、N是线段CF、CD上的动点，DM+MN 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 ^3.(初2020级BZ初三下第一次诊断)已知△ ABC是等边三角形，CD，AB交AB于M, DBXBC, E是AC上一点，EHXBC,垂足为H, EH与CD交于点F,连接BE.(1)如图，若EC=-AC , EH=6,求BE 的长. 5(2)如图，连接AF,将AF绕点A顺时针旋转，使F点落在BD边上的G点处，AG交CD 于Q,求证：BG=CF.(3)如图，在(2)的条件下，连接FG,交BE于N,连接MN,若竺勺，4AGF的面QG 3积为49户，求MN的长.3.(万州国本中学初三下期中考试)已知，在0ABCD中，AB BD, AB BD, E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F .(1)如图1,若点E与点C重合，且AF 2胫，求AD的长；(2)如图2,当点E在BC边上时，过点D作DG AE于G ,延长DG交BC于H ,连接FH ,求证：AF DH FH ；(3)如图3,当点E在射线BC上运动时，过点D作DG AE于G , M为AG的中点，点N在BC边上且BN 1 ,已知AB 4 J2 ,请直接写出MN的最小值.4 .（万州国本中学初三下第一次诊断） 【问题背景】如图1所示，在gABC 中，AB= BC, ABC=90，点D 为直线BC 上的一个动点（不与 B 、C 重合），连结AD,将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90。
沪科版几何证明题重点题型(一)
沪科版几何证明题重点题型(一)安徽实验中学 教授一证线段相等1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB2 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC3如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．： BA CDF2 1 EF E DC BA4如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
求证：AM 是△ABC 的中线。
MFECBA5AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。
求证：BF=CFFDCBA6如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。
求证：AF=DE 。
FE DCBA7.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。
8．已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．9如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．10．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：MB=MCC11．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BFAEB MCFACD EF12 如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。
求证：（1）AM=AN ；（2）AM ⊥AN 。
13 如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.14如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE ，求证：AE ＝DE.15、如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ． 求证：AC=EF ．16、已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，•PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系．A CEDB ABECDFGEDCBAP D ACBM N17、如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ． 、18如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．i. 求证：MB =MD ，ME =MFii. 当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．19已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。
中考几何证明与计算(1)
专题----<<几何>>证明与计算（1）1,在正方形ABCD中，AB=4 ,AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．（1）求证：△BEC≌△DEC；F，当∠BED=120°时，求△AEF的面积2, 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4．（1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长．3,已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．4, 如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由。
125. 在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30º,∠DAF=15 º.（1）求证： EF=BE+DF ； （2）若AB=3,求△AEF 的面积。
6,如图，已知在正方形ABCD 中，AB=2，P 是边BC 上的任意一点，E 是边BC 延长线上一点，E 是边BC 延长线上一点，连接AP ，过点P 作PF 垂直于AP ，与角DCE 的平分线CF 相交于点F ，连接AF ，于边CD 相交于点G ，连接PG 。
（1）求证：AP=FP（2）当BP 取何值时，PG//CFE7,如图，在ABC ∆中，点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．如果,90,AB AC BAC =∠=//点D 在线段BC 上运动．且45BCA ∠= 时，①请你判断线段CF BD 、之间的位置．．关系，并说明理由(要求写出证明过程).②若,3,24==CF AC 求正方形ADEF 的边长(要求写出计算过程).8,如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，延长BC 到点F 使CF ＝AE ． （1）若把ADE △绕点D 旋转一定的角度时，能否与CDF △重合？请说明理由． （2）现把DCF △向左平移，使DC 与AB 重合，得ABH △，AH 交ED 于点G ．求证：AH ED ⊥，并求AG 的长FE D C B AF H E B C。
青岛版初二数学八年级上册5.6几何证明举例(1)
小
结
AAS：有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 判定三角形全等的方法有: “ASA”, “ AAS”, “SSS”, “SAS”
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察要证 明的线段（或角）在那两个可能全等的三角形中，再 证明这两个三角形全等；（2）若图中没有全等三角形， 可以把要证明的线段（或角）用和它相等的线段（或 角）代换，再证明它们所在的三角形全等；（3）如果 没有相等的线段（或角）代换，可设法作辅助线构造 全等三角形。
两角分别相等且其中一组等角的对边
也相等的两个三角形全等(AAS)
从基本事实SAS,ASA,SSS以及定理AAS 出发可以判定两个三角形全等。
进一步推证两个全等三角形的有关线段或 角相等。
例2 . 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
在证明两个角相等或两条 线段相等时，可考察它们 是否在给出的两个全等三 角形中.如果不在，可以尝 试通过添加辅助线，构造 两个全等三角形，使待证 的角或线段分别是这两个 全等三角形的对应角或对 应边.
B (E )
F O A
第2 题
C
D
△AOF≌△DOC理由是：
证明：∵ △ABC≌△DEF(已知） ∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等) AB=DE BC=EF(全等三角形的对应边相等） ∴AB-EF=DE-BC(等式的性质） 即AF=CD(等量代换） 又∵ ∠AOF=∠DOC(对顶角相等） ∴ △AOF≌△DOC(AAS)
作 业
187页 习题5.6 复习与巩固
第 1题 , 第 2题 , 第 3题 .
∴ △ABD≌△ACD（S.S.S）.
§5.6 几何证明举例(1)
年级八年级 学科 数学 第 五 单元第 7 课时 总计 课时 2013年 10月 31日1§5.6 几何证明举例（1）课程标准：掌握三角形全等的判定定理，并会运用此定理证明相关的命题。
学习目标：1、 证明并掌握定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
并会运用此定理证明相关的命题。
2、 在证明过程中，体验数学的转化思想，提升学生综合运用知识的能力。
3、 养成善于思考，善于探究，善于推理，言必有据的好习惯。
学习重点：证明“角角边”定理。
学习难点：会灵活运用全等三角形的基本事实、性质和定理证明相关命题。
我的目标以及突破重难点的设想：学前准备：学情分析：学案使用说明以及学法指导：预习案一、忆一忆1、你还记得有关全等三角形的判定方法有哪些吗？全等三角形的性质是什么？ 其中哪些作为基本事实？2、几何证明的步骤是什么？（简写）二、做一做已知：如图，AB 和CD 相交于点O ，OA=OD ，OC=OB求证：△OAC ≌ △ODB课型： 新授 执笔： 马海丽 审核： 滕广福 韩增美2 探究案探究一：全等三角形的判定AAS求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中的一角的 对边对应相等，那么这两个三角形全等。
点拨：1、判定三角形全等的根据：基本事实： 定理：2、利用全等三角形的对应边和对应角的定义，可以进一步推证有关的线段或角相等。
小试牛刀：已知：如图，AB=AC ，DB=DC.求证：∠B=∠C.探究二：全等三角形的三线（小组合作交流）已知：如图，△ABC ≌△A'B'C'，AD 和A'D'分别是对应角的平分线。
求证：AD=A'D'。
思考：全等三角形对应边上的中线以及高有什么性质？证明你的结论。
课堂小结：训练案课本177页 练习1,2题我的反思：A CBD。
沪教版数学八年级上第十九章几何证明19.2证明举例练习一和参考答案
沪教版数学⼋年级上第⼗九章⼏何证明19.2证明举例练习⼀和参考答案数学⼋年级上第⼗九章⼏何证明19.2证明举例（1）⼀、选择题1．如图，AC=AD，CE=ED，则图中全等三⾓形有（）A．3对 B．4对 C．5对 D．6对第1题第3题2．⼀个⾓的两边与另⼀个⾓的两边分别平⾏，则这两个⾓的位置关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补; D．互余3．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列⼀个条件后，仍然⽆法判断△ABE≌△ACD 的是（）A．AD=AE B．∠AEB=∠ADC C．BE=CD D．AB=AC4．等腰三⾓形的⼀个⾓是80°，那么另外两个⾓分别是（）A．80°、20° B．50°、50° C．80°、80° D．80°、20°或50°、50°5．下列图形中，两个三⾓形全等的是（）A. 边长为15cm的两个等边三⾓形B.含60°⾓的两个锐⾓三⾓形C. 腰长对应相等的两个等腰三⾓形D. 有⼀个钝⾓对应相等的两个等腰三⾓形6. 在下列命题中，为假命题的是（）A. 两边及其夹⾓对应相等的两个三⾓形全等B. 两⾓及其夹边对应相等的两个三⾓形全等C. 两边及⼀边的对⾓对应相等的两个三⾓形全等D. 三边对应相等的两个三⾓形全等⼆、填空题7. 过⼀点有且直线与已知直线垂直。
8. 等腰三⾓形顶⾓的、底边上的、互相重合。
9. 在⼏何证明过程中，为了化繁为简，常常要利⽤来实现。
10. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠B=38°，则∠ACD= 。
11. 若等腰三⾓形⼀个内⾓为70°，则它⼀腰上的⾼与底边所夹的⾓等于。
12. 如图，BC=AD，只需添加⼀个条件，则△ABC≌△CDA。
第12题第13题第14题第15题13. 如图，已知AB=AD，∠ABC=∠ADC，要证CB=CD，需添置辅助线是。
22.4(1)几何证明之角的相等
45321H G F E D B C A 21E D CB AC B A 51342F ED 第二十二章 几何证明 22.4几何证明举例 教学目的：1、 掌握几何证明的基本方法，学会分析、推理论证，强调每一步推理言必有据2、 运用学过的平行线判定及性质，全等三角形判定性质，等腰三角形判定性质等进行正确的推理论证。
教学重点：掌握几何证明的推理方法，做到言必有据 教学难点：证明题目的思路 教学过程：如何证明角相等？ 例：与平行线有关的证明角相等。
1、已知：如图，∠1=∠2 求证：∠3=∠4证明：∵∠1 = ∠2（已知）∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行） ∴∠3=∠5（两直线平行，同位角相等） ∵∠4=∠5（对顶角相等）∴∠3=∠4（等量代换）2、如图，已知⊿ABC 的外角平分线AD ∥BC 求证：∠B=∠C 证明：∵AD 平分EAC （已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵AD ∥BC （已知）∴∠1=∠B （两直线平行，同位角相等 ∠2=∠C （两直线平行，内错角相等） ∴∠B=∠C （等量代换）3、 如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D 求证：∠A=∠F证明一：∵∠1=∠3，∠2=∠4（对顶角相等） ∴∠1=∠2（已知） ∴∠3=∠4（等量代换）∵∠D+∠F+∠3=180°，∠C+∠A+∠4=180°（三角形内角和180°） 又∵∠C=∠D （已知） ∴∠A=∠F （等式性质）证明二：∵∠1=∠3（对顶角相等） 又∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠3 （等量代换）∴EC ∥DB （同位角相等，两直线平行）∴∠C=∠5（两直线平行，同位角相等） ∵∠C=∠D （已知）∴∠5=∠D （等量代换）∴DF ∥BC （内错角相等，两直线平行） ∴∠A=∠F （两直线平行，内错角相等） 例：与全等有关的证明角相等。
BD 21CFA E DCBEAE3A C BDGHF124EC DAB 1、如图，已知：点C ，D 在AB 上，且AC=BD ，DF ∥EC ，DF=CE 求证：∠E=∠F证明：∵AC=BD （已知）∴AC+CD=BD+CD （等式性质） 即AD=BC∵DF ∥CE （已知）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等） 在⊿AFD 和⊿BEC 中， (21DF CE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）（已证）（已证）∴⊿AFD ≌⊿BEC （S.A.S ）∴∠E=∠F （全等三角形对应角相等）2、如图，已知点D 在线段AB 上，CB ，DE 均垂直于AB ，且AD=BC ，DE=AB 求证：∠ACE=∠AEC证明：∵CB ⊥AB ，DE ⊥AB （已知）∴∠CBA=∠ADE=90°（垂直定义） 在⊿ABC 和⊿EDA 中，(CB AD CBA ADE AB ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）（已证）（已知）∴⊿ABC ≌⊿EDA （S.A.S ）∴AC=AE （全等三角形对应边相等） ∴∠ACE=∠AEC （等边对等角）书上练习P63（1）已知：如图直线AB 、CD 被直线EF 、GH 所截，∠1+∠2=180° 求证：∠3=∠4证明：∵∠1+∠2=180°（已知）∴AB ∥CD （同旁内角互补，两直线平行） ∴∠3=∠4（两直线平行，同位角相等） （2）已知：如图AB=AD ，BC=DC求证：AE 平分∠BAD证明：在⊿ABC 与⊿ADC 中，(AB AD BC DCAC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知）（已知）（公共边） ∴⊿ABC ≌⊿ADE （S.S.S ）∴∠BAC=∠DAC （全等三角形对应角相等） 即AE 平分∠BADADFC E B OCB A21BCAD（3）已知：如图：BE=CF ，∠ACB=∠DFE ，AC=DF 求证：AB ∥DE证明：∵BE=CF （已知）∴BE+EC=CF+EC （等式性质） 即BC=EF在⊿ACB 与⊿DFE 中，(AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）（已知）（已证）∴⊿ACB ≌⊿DFE （S.A.S ）∴∠A BC=∠DEF （全等三角形对应角相等） ∴AB ∥DE （同位角相等，两直线平行） （4）已知：如图AB=AC ，∠BAO=∠CAO 求证：∠OBC=∠OCB证明：在⊿BAO 和⊿CAO 中，(A B A CB A OC A O A O A O =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩已知）（已知）（公共边）∴⊿BAO ≌⊿CAO （S.A.S ）∴OB=OC （全等三角形对应边相等） ∴∠OBC=∠OCB （等边对等角） 总结：证明“角相等”的思考步骤：第一层次：对顶角相等 （定理3） 角平分线定义第二层次：同（等）角的雨（补）角相等 （定理1，2） 两直线平行，同位角相等 （公理4） 两直线平行，内错角相等 （定理12） 第三层次：在同一个三角形中，等边对等角 （定理17） 全等三角形对应角相等 （定理41） 等腰三角形底边上的中线（底边上的高）平分顶角 （定理18） 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60度。
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B
C
D
我相信我能行
变式1、 已知：如图，AB=AC， ∠ B=∠ C. 求证： DB=DC.
A
1 2
B
C
3
?
4
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D
我相信我能行
小
结
1、判定三角形全等的方法有: “ASA”, “ AAS”, “SSS”, “SAS” 2、证明全等的思路：若已知一条边可考虑“ASA”、 “ AAS”, 若已知两条边可考虑“SAS”，若已知三条边 可考虑“SSS”。 3、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
达标检测
1、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和 △ABC全等的图形是 （ B ） A．甲和乙 Ｂ．乙和丙 Ｃ．只有乙 Ｄ．只有丙
2．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的 条件是（ D ） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN
• 我们把全等三角形的判定方法三作为全等 三角形的判定定理： • 两角分别相等且其中一组等角的对边也相 等的两个三角形全等、简称 (AAS)
• 全等三角形的判定方法有：
“SAS” “ASA” “SSS” “AAS”
• 全等三角形的作用：证明线段或角相等
二、典型类析
例1. 如图2，AE＝CF， AD∥BC，AD＝CB， 求证：△ADF≌△CBE
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全等三角形的判定方法有哪些？它有什么性质？ 其中哪些是基本事实？ “SAS” “ASA” “SSS” “AAS” 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等 “SAS” “ASA” “SSS”
教学目标：
.Leabharlann • 1. 能用推理的方法验证AAS定理，并根据题意选择 适当方法判定两个三角形是否全等，进而推证有关 线段或角相等； • 2. 在证明过程中，体验数学的转化思想； • 3. 体会数学源于生活，又服务于生活的事理. 重点： 目标1 难点： • 根据问题归纳出“已知”与“求证”。
在数学的天地里，重要的不 是我们知道什么，而是我们怎么 知道什么。
——毕达哥拉斯
情境导入
• • • • • • 如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块， 现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃， 那么最省事的办法是（ ） (A)带①和②去 (B)带①去 (C)带②去 (D)带③去
回顾与思考
4、证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察 要证明的线段（或角）在那两个可能全等的三角形中， 再证明这两个三角形全等；（2）若图中没有全等三角 形，可以把要证明的线段（或角）用和它相等的线段 （或角）代换，再证明它们所在的三角形全等；（3） 如果没有相等的线段（或角）代换，可设法作辅助线 构造全等三角形。
D
C
A
证明：连接AC 在△ADC和△CBA中 AD=BC DC=BA AC=AC
B
∴△ADC≌△CBA(SSS) ∴∠D=∠B
DAC=∠BCA,∠DCA=∠BAC 又∵∠DA∠B=∠DAC+∠BAC,∠DCB=∠DCA+∠BCA ∴∠DAB=∠DCB
例 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
自主学习教材
已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′， ∠B=∠B′ ∠C=∠C′
求证：△ABC ≌ △A′B′C′。
（ 已知
）
（ 三角形内角和定理 ） （等量代换 ∵ ） ∠B=∠B′ AB=A′B′ ∠A=∠A′ （ 已知 ） （ 已知 ） （ 已证 ） （ ASA ）
｛
归纳总结：
不积小流无以成江海，不积硅步无以至千里
• 总结反思：补充完善自己的数学成长记 录，感受自己的点滴进步
作
作 业
业
课后练习2
再 见
证明：∵AE=CF(已知） ∴AE-EF=CF-EF（等式的性质） 即AF=CE 又∵AD∥BC（已知） ∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等） 在△ADF和△CBE中 AF=CE(已证） ∠A=∠C(已证） AD=CB(已知） ∴△ADF≌△CBE（SAS)
例2、如图所示，已知AB=CD,AD=BC, 求证：∠B=∠D,∠A=∠C