2023年高二上数学选择性必修一：直线的两点式方程

2023年高二上数学选择性必修一：直线的两点式方
程
一、基础巩固
1.经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是()
A.x+y+1=0
B.x+y-1=0
C.x-y+1=0
D.x-y-1=0
y-2
3-2
=x-3
4-3
,
即x-y-1=0.
2.若直线方程为x
2
−y
3
=1,则直线在x轴和y轴上的截距分别为()
A.2,3
B.-2,-3
C.2,-3
D.-2,3
x轴交点的横坐标,与y轴交点的纵坐标,所以当x=0时,y=-3,当y=0时,x=2.故选C.
3.如图,直线l的截距式方程是x
a
+y
b
=1,则()
A.a>0,b>0
B.a>0,b<0
C.a<0,b>0
D.a<0,b<0
M(a,0),N(0,b),由题图知M在x轴正半轴上,N在y轴负半轴上,则a>0,b<0.
4.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为()
A.2x+y-8=0
B.2x-y+8=0
C.2x+y-12=0
D.2x-y-12=0
M 的坐标为(2,4),点N 的坐标为(3,2),由两点式方程得y -2
4-2=x -3
2-3,即2x+y-8=0.
5.已知点M (1,-2),N (m ,2),若线段MN 的垂直平分线的方程是x
2+y =1,则实数m 的值是( ) A.-2
B.-7
C.3
D.1
,得线段MN 的中点坐标是(1+m 2
,0).又点(
1+m 2
,0)在线段MN 的垂
直平分线上,所以1+m 4
+0=1,所以m=3,故选C .
6.经过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是 .
x
a +y
b =1,则{
b =3,
a +
b =5,
解得{a =2,b =3,则直线方程为x 2+y
3=1,
即3x+2y-6=0.
x+2y-6=0
7.已知直线l 经过点P (-1,2),与x 轴、y 轴分别相交于A ,B 两点.若P 为线段AB 的中点,则直线l 的方程为 .
A (x ,0),
B (0,y ).
由P (-1,2)为AB 的中点,
∴
{x+0
2=-1,0+y
2
=2,
∴{
x =-2,
y =4.
由截距式得l 的方程为
x -2+y
4
=1,即2x-y+4=0.
x-y+4=0
8.经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为.
x
a
+y
a
=1或x
a
+y
-a
=1(a≠0),
把(2,1)代入直线方程得2
a
+1
a
=1或2
a
+1
-a
=1,
解得a=3或a=1,所以所求直线的方程为x
3
+y
3
=1或x
1
+y
-1
=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.
3=0或x-y-1=0
9.求过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.
0时,设所求直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=−2
5
,
此时直线方程为y=−2
5
x,即2x+5y=0.
当横截距、纵截距都不是0时,设所求直线方程为x
2a
+y
a
=1(a≠0),
将(-5,2)代入x
2a
+y
a
=1中,得a=−1
2
,
此时直线方程为x+2y+1=0.
综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.
二、能力提升
1.直线x
a2
−y
b2
=1在y轴上的截距是()
A.|b|
B.-b2
C.b2
D.±b
x=0,得直线在y轴上的截距是-b2.
2.两条直线l1:x
a
−y
b
=1和l2:x
b
−y
a
=1在同一直角坐标系中的图象可以是()
3.已知光线从点A(-3,4)射出,到x轴上的点B后,被x轴反射,这时反射光线恰好过点
C(1,6),则BC所在直线的方程为()
A.5x-2y+7=0
B.2x-5y+7=0
C.5x+2y-7=0
D.2x+5y-7=0
A(-3,4)关于x轴的对称点A'(-3,-4)在直线BC上,又因为点C的
坐标为(1,6),所以直线BC的方程为y-6
-4-6=x-1
-3-1
,化为5x-2y+7=0.
4.已知点A(1,2),B(3,1),则线段AB的垂直平分线的方程是.
AB的中点M的坐标为(x,y),则x=1+3
2=2,y=2+1
2
=3
2
,所以M(2,3
2
).
因为直线AB的斜率为2-1
1-3=−1
2
,所以线段AB的垂直平分线的斜率k=2,线段AB的垂直
平分线的方程为y−3
2
=2(x−2),即4x-2y-5=0.
x-2y-5=0
5.已知点A(-1,2),B(3,4),线段AB的中点为M,求过点M且平行于直线x
4−y
2
=
1的直线l的方程.
M(1,3),直线x
4−y
2
=1的方程化为斜截式为y=1
2
x−2,其斜率为1
2
,
所以直线l的斜率为1
2
.
故直线l的方程是y-3=1
2
(x−1),即x-2y+5=0.
6.已知直线l经过点(1,6)和点(8,-8).
(1)求直线l的两点式方程,并化为截距式方程;
(2)求直线l 与两坐标轴围成的图形面积.
因为直线l 的两点式方程为y -6
-8-6=x -1
8-1, 所以y -6
-14=
x -17
,即
y -6-2
=x −1,
所以y-6=-2x+2,即2x+y=8. 所以x
4+y
8=1.
故所求截距式方程为x
4+y
8=1.
(2)如图,直线l 与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB ,且OA ⊥OB ,|OA|=4,|OB|=8, 故S △AOB =1
2·|OA|·|OB|=12×4×8=16.
故直线l 与两坐标轴围成的图形面积为16.
★7.已知一条直线经过点A (-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线的方程.
x
a +y
b =1. 因为A (-2,2)在直线上, 所以−2
a +2
b =1.①
又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1, 所以12|a|·|b|=1. ②
由①②可得(Ⅰ){a -b =1,
ab =2或(Ⅱ){a -b =-1,ab =-2.
由(Ⅰ)解得{
a =2,
b =1或{a =-1,b =-2.
方程组(Ⅱ)无解. 故所求的直线方程为x
2+y
1=1或x
-1+y
-2=1, 即x+2y-2=0或2x+y+2=0.。