【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题35 二元一次不等式(组)(含解析)

考点35 二元一次不等式（组）
1．（2019·安徽高三高考模拟（理））若直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域有公共点，
则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞
B ．[]0,2
C ．[]
2,1-
D ．(]2,2-
2．（2019·湖南长沙一中高三高考模拟（理））已如定点P (1,9)，动点Q (,)x y 在线性约束条件36020
0x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域内，则直线PQ 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．[1,7]-
B ．[7.1]-
C ．),7[]1,(+∞⋃--∞
D ．[9,1][7,)--+∞
3．（2019·福建高三高考模拟（理））已知平面区域
：，：，则点是
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．（2018·湖南长沙一中高三高考模拟（理））在平面直角坐标系中，为不等式组所表
示的区域上一动点，则的最小值是（ ） A ．1
B ．
C ．2
D ．
5．（2019·福建高三高考模拟（理））已知(1,1)A -，(4,0)B ，(2,2)C ，平面区域E 是由所有满足AD AB AC λμ=+(12,13)λμ≤≤≤≤的点(,)D x y 组成的区域，则区域E 的面积是（ ）． A ．8
B ．12
C ．16
D ．20
6．（2019·北京高三高考模拟（理））设不等式组2
2(1)x y y k x ⎧+≤⎨+≤+⎩
所表示的平面区域为D ，其面积为S .①
若4S =，则k 的值唯一；②若12S =
，则k 的值有2个；③若D 为三角形，则2
03
k <≤；④若D 为五边形，则4k >．以上命题中，真命题的个数是( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．（2019·北京高三高考模拟（理））记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪
≤+⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是
“1k ≤-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．（2019·江西高三高考模拟（理））已知20(,)|20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪
=-+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪
-+≥⎩⎩⎭
，给出下列四个命题：
1P ：(,)x y D ∀∈，22x y -≤+≤；2P ：(,)x y D ∀∈，
03
y
x >+； 3P ：(,)x y D ∃∈，2x y +<-；4P ：(,)x y D ∃∈，222x y +≤；其中真命题是（ ）
A ．1P 和2P
B ．1P 和4P
C ．2P 和3P
D ．2P 和4P
9．（2019·江西新余一中高三高考模拟（理））已知实数x ，y 满足线性约束条件21x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥-⎩
，则其表示的平
面区域外接圆的面积为（ ）. A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．6π
10．（2019·河北唐山一中高三高考模拟（理））已知x ，y 满足约束条件，若20100x x y x y m -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，若32z x y
=-的最大值为4，则实数m 的值为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
11．（2018·湖北高三高考模拟（理））设不等式组表示的平面区域为，则（ ）
A ．的面积是
B ．内的点到轴的距离有最大值
C ．点
在内时，
D ．若点
，则
12．（2018·山东高二高考模拟（理））已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则
实数k 的值为
A ．1
B ．
C ．1或
D ．
13．（2018·江西高三高考模拟（理））已知实数、满足线性约束条件，则其表示的平面区域
的面积为 A ． B ． C ． D ．
14．（2018·河南信阳高中高三高考模拟（理））已知实数，满足约束条件，则的取
值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
15．（2019·辽宁高三高考模拟（理））已知实数x ，y 满足1233211
4
2y x y x y x ⎧
≥-+⎪⎪
≤--⎨⎪⎪≤+⎩
，则目标函数43z x y =-的最小
值为_____．
16．（2019·西藏山南二中高三高考模拟（理））设不等式组22042x y x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
表示的平面区域为D ，在区域D
内随机取一个点，则此点到直线50x -=的距离大于7的概率是__________． 17．（2019·南昌市外国语学校高三高考模拟（理））设m 为实数，若
22250
{()|30}{()|25}0x y x y x x y R x y x y mx y -+≥⎧⎪-≥∈⊆+≤⎨⎪+≥⎩
，，、，，则m 的最大值是____．
18．（2019·河南高三高考模拟（理））不等式组2024020x x y x y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪--+≤⎩
，表示的平面区域的面积为________．
19．（2019·江苏高三高考模拟）记不等式组03y y x y kx ≥⎧⎪
≤+⎨⎪≤⎩
，所表示的平面区域为D ．
“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”成立的_____条件．（可选填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）
20．（2019·四川高三高考模拟（理））已知变量x ，y 满足20{2300
x y x y y -≤-+≥≥，则z x y =+的最小值为_________.
21．（2018·江西高三高考模拟（理））已知实数，满足不等式组，那么的最大值和
最小值分别是和,则
=___________.
考点35 二元一次不等式（组）
1．（2019·安徽高三高考模拟（理））若直线()1y k x =+与不等式组24
3322y x x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域有公共点，
则实数k 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞ B ．[]0,2
C ．[]
2,1-
D ．(]2,2-
【答案】B 【解析】
画出不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域,如下图所示
直线()1y k x =+过定点(1,0)A -
要使得直线()1y k x =+与不等式组243322y x x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域有公共点
则0
AC k
k
20=
20(1)
AC k
[]0,2k ∴∈.
故选B
2．（2019·湖南长沙一中高三高考模拟（理））已如定点P (1,9)，动点Q (,)x y 在线性约束条件36020
0x y x y y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域内，则直线PQ 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．[1,7]- B ．[7.1]-
C ．),7[]1,(+∞⋃--∞
D ．[9,1][7,)--+∞
【答案】C 【解析】
不等式组表示的平面区域是如图所示阴影部分，
直线20x y -+=与直线360x y --=的交点为(4,6)A ， 直线20x y -+=与y 轴的交点为(0,2)B ，
只需求出过p 的直线经过可行域内的点A 或B 时的斜率，
92710BP k -=
=-，96
114
AP k -==--，所以结合图象可得7≥k 或1k ≤-， 故选C.
3．（2019·福建高三高考模拟（理））已知平面区域
：，：，则点是
的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 平面区域
，表示圆以及内部部分；
的可行域如图三角形区域：
则点P （x ，y ）∈Ω1是P （x ，y ）∈Ω2的必要不充分条件． 故选：B ．
4．（2018·湖南长沙一中高三高考模拟（理））在平面直角坐标系中，为不等式组所表
示的区域上一动点，则的最小值是（ ） A ．1 B ．
C ．2
D ．
【答案】B 【解析】
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，过点O 向直线 作垂线，垂足在可行域内，所以O 到直线
的距离即为
的最小值，所以
.故选
B.
5．（2019·福建高三高考模拟（理））已知(1,1)A -，(4,0)B ，(2,2)C ，平面区域E 是由所有满足AD AB AC λμ=+(12,13)λμ≤≤≤≤的点(,)D x y 组成的区域，则区域E 的面积是（ ）． A ．8 B ．12
C ．16
D ．20
【答案】C
【解析】由()1,1A -，()4,0B ，()2,2C ，(),D x y 得()1,1AD x y =-+，()3,1AB =，()1,3AC = 因为AD AB AC λμ=+
所以1313x y λμλμ-=+⎧⎨+=+⎩，解得348
348x y y x λμ--⎧
=⎪⎪⎨
-+⎪=⎪⎩
又因为12,13λμ≤≤≤≤
代入化简得12320
4320x y y x ≤-≤⎧⎨
≤-≤⎩
画出不等式组代表的平面区域如图中阴影部分，且阴影部分为平行四边形
由直线方程解出点()A 5,3，()B 8,4，()C 10,10，()
D 7,9 点()D 7,9到直线AB:340x y -+=的距离(
)
2
2739410
13d -⨯+=
=
+-，AB 10= 所以阴影部分面积为S 101610
=⨯= 故选：C.
6．（2019·北京高三高考模拟（理））设不等式组2
2(1)x y y k x ⎧+≤⎨+≤+⎩
所表示的平面区域为D ，其面积为S .①
若4S =，则k 的值唯一；②若12S =
，则k 的值有2个；③若D 为三角形，则2
03
k <≤；④若D 为五边形，则4k >．以上命题中，真命题的个数是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】
由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域，
不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的一侧（与k 的正负有关），
所以不等式组()
2
21x y y k x ⎧+≤⎪
⎨
+≤+⎪⎩所表示的平面区域D 就是它们的公共部分，
（1）因为大正方形的面积为8，若4S =，面积为正方形面积的一半，且过原点O 的任意直线均可把正方形的面积等分，故当S=4时，直线必过原点，所以k=2,k 的值唯一，命题正确; （2）左边阴影三角形的面积为1，故当k 取适当的负值左倾可以使三角形的面积为1
2
，k 取适当的正值，使得阴影部分的面积为
12，故S=1
2
时，k 的值有两个，故该命题正确；
（3）由（2）的讨论可知，当k ＜-2时，左边也有一个三角形，所以当D 为三角形时，k 的取值范围为
2
--20]3
∞（，）（，，故该命题错误；
(4)经过点（-1，-2）和（0,2）的直线绕定点（-1，-2）向左旋转一点，D 就是五边形， 此时k ＞
2--2=40--1（）
（）
.故命题正确.
故选：C
7．（2019·北京高三高考模拟（理））记不等式组0,3,y y x y kx ≥⎧⎪
≤+⎨⎪≤⎩
所表示的平面区域为D ．“点(1,1)D -∈”是
“1k ≤-”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
画出可行域和点()1,1-如下图所示，将y kx =旋转到点()1,1-的位置，得1,1k k =-=-，当()1,1D -∈时，
1k ≤-；当1k ≤-时，()1,1D -∈.故“点()1,1D -∈”是“1k ≤-”的充分必要条件.故选
C.
8．（2019·江西高三高考模拟（理））已知20(,)|20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪
=-+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪
-+≥⎩⎩⎭
，给出下列四个命题：
1P ：(,)x y D ∀∈，22x y -≤+≤；2P ：(,)x y D ∀∈，
03
y
x >+； 3P ：(,)x y D ∃∈，2x y +<-；4P ：(,)x y D ∃∈，222x y +≤；其中真命题是（ ）
A ．1P 和2P
B ．1P 和4P
C ．2P 和3P
D ．2P 和4P
【答案】B 【解析】
不等式组()20,|20360x y D x y x y x y ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪
=-+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪
-+≥⎩⎩⎭
的可行域如图，
当z=x+y 过A （﹣2，0）点时，z 最小，可得：﹣2+0＝﹣2，当z=x+y 过B 或C 点时，z 最大，可得：z=2， 故P 1：(),x y D ∀∈，22x y -≤+≤为真命题； P 3：(),x y D ∃∈，2x y +<-为假命题；
又
3
y
x +表示可行域内的点与（-3，0）连线的斜率， ∴由A （﹣2，0）点，可得
23=-+0， 故P 2：∀（x ，y ）∈D ，
3
y
x +＞0错误； 由（﹣1，1）点，x 2+y 2＝2
故p 4：∃（x ，y ）∈D ，x 2+y 2≤2为真命题． 可得选项1P 和4P 正确． 故选：B ．
9．（2019·江西新余一中高三高考模拟（理））已知实数x ，y 满足线性约束条件21x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥-⎩
，则其表示的平
面区域外接圆的面积为（ ）. A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．6π
【答案】C 【解析】
由线性约束条件21x y y x x +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥-⎩
，画出可行域如图（ABC 及内部），
又2x y +=与y=x 垂直，
∴ABC ∠为直角，即三角形ABC 为直角三角形，
∴ABC 外接圆的直径为AC ，又A(-1,3),C(-1,-1),AC=4, ∴ABC 外接圆的半径r=2， ∴ABC 外接圆的面积为2πr ⨯=4π，故选C.
10．（2019·河北唐山一中高三高考模拟（理））已知x ，y 满足约束条件，若20100x x y x y m -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
，若32z x y
=-的最大值为4，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．8
【答案】B 【解析】
由不等式组，画出可行域如下图所示：
线性目标函数z 3x 2y =-，化为322
z y x =
- 画出目标函数可知，当在A 点时取得z 取得最大值 因为A （2，-2+m ） 代入目标函数可得342222
m -+=⨯- 解得m=3 所以选B
11．（2018·湖北高三高考模拟（理））设不等式组表示的平面区域为，则（ ）
A ．的面积是
B ．内的点到轴的距离有最大值
C ．点在内时，
D ．若点
，则
【答案】C 【解析】
画出可行域如下图所示：有图可知，可行域面积是无限大的，可行域内的点到轴的距离也是没有最大值的，故
两个选项错误.注意到
在可行域内，而
，故D 选项错误.有图可知，可行域内的点和
连线的斜率比的斜率要小，故C 选项正确.所以选C.
12．（2018·山东高二高考模拟（理））已知不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，则实数k的值为
A．1 B．C．1或D．
【答案】A
【解析】
不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，如图：
平面为三角形所以过点，
，与x轴的交点为，
与的交点为，
三角形的面积为：，
解得：．
故选：A．
13．（2018·江西高三高考模拟（理））已知实数、满足线性约束条件，则其表示的平面区域的面积为
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
满足约束条件，如图所示：
可知范围扩大，实际只有，其平面区域
表示阴影部分一个三角形，其面积为
故选B．
14．（2018·河南信阳高中高三高考模拟（理））已知实数，满足约束条件，则的取值范围为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
画出不等式表示的可行域，如图阴影三角形所示，由题意得．
由得，
所以可看作点和连线的斜率，记为，由图形可得，
又，
所以，
因此或，
所以的取值范围为．
故选C．15．（2019·辽宁高三高考模拟（理））已知实数x，y满足
12
33
21
1
4
2
y x
y x
y x
⎧
≥-+
⎪
⎪
≤--
⎨
⎪
⎪≤+
⎩
，则目标函数43
z x y
=-
的最小值为_____．【答案】﹣22
【解析】
解：画出约束条件
12
33
21
1
4
2
y x
y x
y x
⎧
≥-+
⎪
⎪
≤--
⎨
⎪
⎪≤+
⎩
表示的平面区域如图所示，
由图形知，当目标函数z＝4x﹣3y过点A时取得最小值，
由12 33
1
4
2
y x
y x
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，解得A（﹣4，2），
代入计算z＝4×（﹣4）﹣3×2＝﹣22，
所以z＝4x﹣3y的最小值为﹣22．
故答案为：﹣22．
16．（2019·西藏山南二中高三高考模拟（理））设不等式组
220
4
2
x y
x
y
-+≥
⎧
⎪
≤
⎨
⎪≥-
⎩
表示的平面区域为D，在区域D 内随机取一个点，则此点到直线50
x-=的距离大于7的概率是__________．
【答案】
4
25
【解析】
如图，不等式对应的区域为DEF
∆及其内部
其中()()()
6,2,4,2,4,3
D E F
---
求得直线DF交x轴于点()
2,0
B-
当点D 在线段2x =-上时，点D 到直线50x -=的距离等于7
∴要使点D 到直线的距离大于7，则点D 应在BCD ∆内（或其边界）
因此，根据几何概型计算公式，可得所求概率1
4
2
42
1251052
⨯⨯=⨯⨯ 本题正确结果：425
17．（2019·南昌市外国语学校高三高考模拟（理））设m 为实数，若
22250
{()|30}{()|25}0x y x y x x y R x y x y mx y -+≥⎧⎪-≥∈⊆+≤⎨⎪+≥⎩
，，、，，则m 的最大值是____．
【答案】43
【解析】
解：设()250{,|30,,}0x y M x y x x y R mx y -+≥⎧⎪
=-≥∈⎨⎪+≥⎩
，
()22{,|25}N x y x y =+≤，
显然点集N 表示以原点为圆心，5为半径的圆及圆的内部，
点集M 是二元一次不等式组25030,,0x y x x y R mx y -+≥⎧⎪
-≥∈⎨⎪+≥⎩
表示的平面区域，
如图所示，
作图可知，边界250x y -+=交圆2
2
25x y +=于点()()3,4,5,0A C -，
边界y mx =-恒过原点，
要求m 的最大值，故直线y mx =-必须单调递减， 因为M N ⊆，
所以当y mx =-过图中B 点时，m 取得最大，
联立方程组22
3
25x x y =⎧
⎨+=⎩，解得()3,4B -， 故4030m ---=
-，即max 4
3
m =． 18．（2019·河南高三高考模拟（理））不等式组20
24020x x y x y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪--+≤⎩
，表示的平面区域的面积为________．
【答案】3 【解析】
依据不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，
平面区域为ABC ∆，其中()2,0A ，()0,2B ，()2,3C ，所以
1
232
S AC =⨯⨯=.
故答案为：3.
19．（2019·江苏高三高考模拟）记不等式组03y y x y kx ≥⎧⎪
≤+⎨⎪≤⎩
，所表示的平面区域为D ．
“点(1,1)D -∈”是“1k ≤-”成立的_____条件．（可选填：“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分必要 【解析】
解：因为点(﹣1，1)满足0
3
y y x ≥⎧⎨
≤+⎩
所以点(﹣1，1)R ∆D 等价于1k ≤-等价于1k ≤- 所以“点(﹣1，1)R ∆D”是“k ≤﹣1”成立的充要条件 故答案为：充分必要.
20．（2019·四川高三高考模拟（理））已知变量x ，y 满足20
{2300
x y x y y -≤-+≥≥，则z x y =+的最小值为_________.
【答案】3
-
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝x+y得y＝﹣x+z，
平移直线y＝﹣x+z，
由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，
由
230
y
x y
=
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得A（﹣3，0），此时z＝﹣3，
故答案为-3．
21．（2018·江西高三高考模拟（理））已知实数，满足不等式组，那么的最大值和最小值分别是和,则=___________.
【答案】0
【解析】
画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．
由得，
结合图形，平移直线可得，
当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最大值；当直线经过可行域内的点B时，直线在y轴上的截距最小，此时取得最小值．由题意得，
∴，
∴.
故答案为0．。