高中数学 椭圆 讲义

授课内容 椭圆基础
知识梳理
知识点一、椭圆定义 1.第一定义
平面内与两定点 、 的距离的和等于常数 （
）的动点P 的轨迹叫做椭圆。

即：
其中两定点 、 叫做椭圆的焦点，两焦点的距离 叫做椭圆的焦距。

为
椭圆的动点。

椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴，长为 椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴，长为
可变为
2.第二定义
平面内到定点 （c ,0）的距离和定直线 ：c
a x 2
（ 不在 上）的距离之比为常数 （即
离心率 ，0<e <1）的点的轨迹是椭圆。

其中定点 为椭圆的焦点，定直线 称为椭圆的准线（该定直线的方程是c a x 2
±= （焦点在
x 轴上），或c
a y 2
±= （焦点在y 轴上））。

注意：
到定点（焦点）和定直线（准线）距离之比小于1的点的轨迹为椭圆； 到定点（焦点）和定直线（准线）距离之比等于1的点的轨迹为抛物线； 到定点（焦点）和定直线（准线）距离之比大于1的点的轨迹为双曲线； 2.第三定义
平面内一点P 到两个定点)0,(),0,(a a -的斜率之积为一负常数22
a b -，则P 的轨迹为一椭圆
22a x +2
2
b y =1(a ＞b ＞0)。

知识点二、椭圆相关概念
1.椭圆22a x +22
b
y =1(a ＞b ＞0)，范围：椭圆位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形里，即｜x ｜≤
a ，｜y ｜≤b.
2.对称性：椭圆关于x 轴，y 轴和原点都是对称的.坐标轴为椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，即为椭圆的中心.
3.顶点：椭园与坐标轴的交点为椭圆的顶点为A 1(-a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，b),B 2(0,-b)
4.离心率：e=a
c
,(o ＜e ＜1),e 越接近于1，则椭圆越扁；e 越接近于0，椭圆就越接近于圆.
*5.椭圆的通径公式：a
b x 2
2⋅=
*6.椭圆的焦半径公式：设P(x 0,y 0)是椭圆22a x +22
b
y =1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2分别是椭圆
的左、右焦点，则｜PF 1｜=a+ex 0,｜PF 2｜=a-ex 0.
*7.椭圆的参数方程⎩⎨⎧==ϕϕϕsin )
(cos b y a x 是参数
8. 椭圆的几何性质：
焦点的位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 ()22
2210x y a b a b +=>> ()22
2210y x a b a b +=>> 范围
a x a -≤≤且
b y b -≤≤
b x b -≤≤且a y a -≤≤
顶点
()1,0a A -、()2,0a A
()10,b B -、()20,b B
()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B
轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a =
焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c
焦距 ()222122F F c c a b ==-
对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称
离心率
()2
2101c b e e a a
==-<<
准线方程
2
a x c
=±
2
a y c
=±
9. 设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则
121
2
F F e d d M M =
=．
专题精讲
题型一、椭圆的基本量
例1、指出椭圆364922=+y x 的焦点坐标和离心率.
【变式1】椭圆116
252
2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________
【变式2】椭圆125
162
2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ∆的周长1ABF C ∆=___________.
【变式3】 已知椭圆的方程为1162
2
2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。

A ．－4≤m ≤4且m ≠0 B ．－4＜m ＜4且m ≠0 C ．m ＞4或m ＜－4 D ．0＜m ＜4
【变式4】已知椭圆mx 2+3y 2－6m=0的一个焦点为（0，2），求m 的值。

题型二、椭圆的标准方程
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10；
（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛2523-，。

【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，，且椭圆经过点
）（0,5。

【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14
92
2=+y x 有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。

【变式3】求经过点P （－3，0）、Q （0，2）的椭圆的标准方程。

【变式4】求与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦距，且离心率为5
5
的椭圆的标准方程。

【变式5】在椭圆的标准方程中
，
，则椭圆的标准方程是（ ）
A ．
1353622=+y x B ．1353622=+x y C ．136
22
=+y x D ．以上都不对
题型三、求离心率
例3、若P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一点，且21tan ,02121=∠=⋅F PF PF PF ,
则椭圆的离心率为（ ） A. 35 B.3
2 C.31 D. 21
【变式1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.23
D. 不确定
【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）
【变式3】椭圆122
22=+b
y a x 上一点到两焦点的距离分别为21,d d ，焦距为
，若21,2,d c d 成等差数列，
则椭圆的离心率为__________。

【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。

【变式5】已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3221π=∠PF F ，
求其离心率的取值范围。

【变式6】已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点
M ，使MA ⊥MO ，求椭圆离心率的取值范围。

题型四、椭圆定义的应用
例4、若一个动点P （x ，y ）到两个定点A （－1，0）、A ＇（1，0）的距离的和为定值m （m>0），试求P 点的轨迹方程。

【变式1】下列说法中正确的是（ ）
A ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆
B ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段
C ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线
D ．平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段 【变式2】已知A （0，－1）、B （0，1）两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【变式3】已知圆，圆A 内一定点B （2，0），圆P 过B 点且与圆A 内切，求圆心
P 的轨迹方程。

题型五、求轨迹方程（对椭圆定义的深层考察）
例5、△ABC 的两个顶点坐标分别是B （0，6）和C （0，－6），另两边AB 、AC 的斜率的乘积是9
4
-，求顶点A 的轨迹方程。

【变式1】已知A 、B 两点的坐标分别为（0，－5）和（0，5），直线MA 与MB 的斜率之积为9
4
-，则M 的轨迹方程是（ ）
A ．191002522=+y x
B ．）（519100252
2±≠=+x y x C ．
125422522=+y x D ．1254
22522=+y x （0≠x ）
【变式2】△ABC 两顶点的坐标分别是B （6，0）和C （－6，0），另两边AB 、AC 的斜率的积是9
4
-，则顶点的轨迹方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【变式3】已知A 、B 两点的坐标分别是（－1，0）、（1，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为m （m ＜0），求点M 的轨迹方程并判断轨迹形状。

1．椭圆22
11625
x y +
=的焦点坐标为( ) （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0)
2．在方程
22
110064
x y +=中，下列a , b , c 全部正确的一项是( ) （A ）a =100, b =64, c =36 （B ）a =10, b =6, c =8 （C ）a =10, b =8, c =6 （D ）a =100, c =64, b =36 3．已知1,4==b a ，焦点在x 轴上的椭圆方程是( )
（A ）2214x y += （B ）2214y x +
= （C ）22116x y += （D ）22
116
y x += 4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且6=a 的椭圆方程是( )
（A ）2213620x y +
= （B ）2212036x y += （C ）2213616x y += （D ）22
11636
x y += 5．若椭圆
22
110036
x y +=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 （A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14
6．已知F 1, F 2是定点，821=F F , 动点M 满足821=+MF MF ，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 7．若a x a y -=
⋅-3
1
lg 22表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是 . 8．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是 .
9．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段
PP ’的中点M 的轨迹方程为 .
10．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 .
11．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求此椭圆的方程。