云梦县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

云梦县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =
--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2． 有以下四个命题：
①若=，则x=y ． ②若lgx 有意义，则x ＞0．
③若x=y ，则
=
．
④若x ＞y ，则 x 2＜y 2． 则是真命题的序号为（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．③④
3． 已知M={（x ，y ）|y=2x }，N={（x ，y ）|y=a}，若M ∩N=∅，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，1） B ．（﹣∞，1] C ．（﹣∞，0） D ．（﹣∞，0]
4． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （
）=（ ）
A ．2或0
B ．0
C ．﹣2或0
D ．﹣2或2
5． 高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）
A ．112
B ．114
C ．116
D ．120
6． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段
间隔为（ ）1111]
A ．10
B ．51
C ．20
D ．30
7． 已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点22(2,log )M a 、25(5,log )N a 都在直线1y x =-上，则数列
{}n a 的前n 项和为（ ）
A ．22n
- B ．1
2
2n +- C ．21n - D ．121n +-
8． 已知函数f （x ）=e x +x ，g （x ）=lnx+x ，h （x ）=x ﹣的零点依次为a ，b ，c ，则（ ）
A ．c ＜b ＜a
B ．a ＜b ＜c
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c
9． 已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
10．已知M 是△ABC 内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB 的面积分别为
，x ，y ，则+的最小值是（ ） A ．20 B ．18
C ．16
D ．9
11．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若2＋a i
1＋i ＝3＋b i ，则a －b 为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12．在三角形中，若，则
的大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=3
x x +，对任意的m ∈[﹣2，2]，f （mx
﹣2）+f （x ）＜0恒成立，则x 的取值范围为_____．
14．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积S =，
则边c 的最小值为_______．
【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．
15．已知直线5x+12y+m=0与圆x 2
﹣2x+y 2
=0相切，则m= ．
16．在△ABC 中，若角A 为锐角，且=（2，3），=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
17．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 ．
18．设变量x ，y
满足约束条件
，则的最小值为 ．
三、解答题
19．（本小题满分13分）
设1
()1f x x
=+，数列{}n a 满足：112a =，1(),n n a f a n N *+=∈．
（Ⅰ）若12,λλ为方程()f x x =的两个不相等的实根，证明：数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨⎬-⎩⎭
为等比数列；
（Ⅱ）证明：存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
）
20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程：
在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ-=，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)p p ρθθ=>．
（1）设t
为参数，若22
x =-+，求直线l 的参数方程； （2）已知直线l 与曲线C 交于,P Q ，设(2,4)M --，且2||||||PQ MP MQ =⋅，求实数p 的值．
21．已知曲线y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点
间的曲线与x轴交于点（π，0），φ∈（﹣，）．
（1）求这条曲线的函数解析式；
（2）写出函数的单调区间．
22．双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F．
（1）求弦AB的中点M的轨迹方程
（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．
23．已知函数f（x）=log a（1+x）﹣log a（1﹣x）（a＞0，a≠1）．
（Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明；
（Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0．
24．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：
（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；
（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？
（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 合计
云梦县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】
考点：二元一次不等式所表示的平面区域.
2．【答案】A
【解析】解：①若=，则，则x=y，即①对；
②若lgx有意义，则x＞0，即②对；
③若x=y＞0，则=，若x=y＜0，则不成立，即③错；
④若x＞y＞0，则x2＞y2，即④错．
故真命题的序号为①②
故选：A．
3．【答案】D
【解析】解：如图，
M={（x，y）|y=2x}，N={（x，y）|y=a}，若M∩N=∅，
则a≤0．
∴实数a的取值范围为（﹣∞，0]．
故选：D．
【点评】本题考查交集及其运算，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．
4． 【答案】D
【解析】解：由题意：函数f （x ）=2sin （ωx+φ），
∵f （
+x ）=f （﹣x ），
可知函数的对称轴为x=
=
，
根据三角函数的性质可知，
当x=时，函数取得最大值或者最小值．
∴f （
）=2或﹣2
故选D ．
5． 【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得； 该班级数学成绩的平均分是
=80×0.005×20+100×0.015×20 +120×0.02×20+140×0.01×20 =114． 故选：B ．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
6． 【答案】D 【解析】
试题分析：分段间隔为5030
1500
=，故选D. 考点：系统抽样 7． 【答案】C
【解析】解析：本题考查等比数列的通项公式与前n 项和公式．22log 1a =，25log 4a =，∴22a =,516a =,∴11a =,2q =，数列{}n a 的前n 项和为21n
-，选C ．
8． 【答案】B
【解析】解：由f （x ）=0得e x
=﹣x ，由g （x ）=0得lnx=﹣x ．由h （x ）=0得x=1，即c=1． 在坐标系中，分别作出函数y=e x
，y=﹣x ，y=lnx 的图象，由图象可知
a＜0，0＜b＜1，
所以a＜b＜c．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
9．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l，m是α内不同于l的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；
综上D选项中的命题是错误的
故选D
10．【答案】B
【解析】解：由已知得=bccos∠BAC=2⇒bc=4，
故S△ABC=x+y+=bcsinA=1⇒x+y=，
而+=2（+）×（x+y）
=2（5++）≥2（5+2）=18，
故选B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算．要注意灵活利用y=ax+的形式．
11．【答案】
【解析】选A.由2＋a i
1＋i
＝3＋b i 得，
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ， ∵a ，b ∈R ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝3－b a ＝3＋b
，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A. 12．【答案】A
【解析】 由正弦定理知，不妨设，
，
，
则有，所以
，故选A
答案：A
二、填空题
13．【答案】22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【解析】
14．【答案】1
15．【答案】8或﹣18
【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．
【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）2++y2=1
故圆的圆心为（1，0），半径为1
直线与圆相切
∴圆心到直线的距离为半径
即=1，求得m=8或﹣18
故答案为：8或﹣18
16．【答案】．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．17．【答案】3．
【解析】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），
故三角形的面积S=×2×3=3，
故答案为：3．
【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．
18．【答案】4．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，
则的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象可知，OC的斜率最小，
由，解得，
即C（4，1），
此时=4，
故的最小值为4， 故答案为：
4
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的定义以及数形结合是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：证明：2
()10f x x x x =⇔+-=，∴2112221010λλλλ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，∴211
2
22
11λλλλ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩． ∵1
21111111
121222222221
1111n n n n n n n n n n
a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλλλλλ++--+----====⋅------+， （3分）
11120a a λλ-≠-，12
0λ
λ≠，
∴数列12n n a a λλ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
为等比数列． （4分）
（Ⅱ）证明：设1
2
m =
，则()f m m =． 由112a =及111n n
a a +=+得223a =，335a =，∴130a a m <<<．
∵()f x 在(0,)+∞上递减，∴13()()()f a f a f m >>，∴24a a m >>．∴1342a a m a a <<<<，（8分） 下面用数学归纳法证明：当n N *
∈时，2121222n n n n a a m a a -++<<<<．
①当1n =时，命题成立． （9分）
②假设当n k =时命题成立，即2121222k k k k a a m a a -++<<<<，那么 由()f x 在(0,)+∞上递减得2121222()()()()()k k k k f a f a f m f a f a -++>>>>
∴2222321k k k k a a m a a +++>>>>
由2321k k m a a ++>>得2321()()()k k f m f a f a ++<<，∴2422k k m a a ++<<， ∴当1n k =+时命题也成立， （12分）
由①②知，对一切n N *
∈命题成立，即存在实数m ，使得对n N *
∀∈，2121222n n n n a a m a a -++<<<<.
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查抛物线极坐标方程、直线的极坐标方程与参数方程的互化、直线参数方程的几何意义的应用，意在考查逻辑思维能力、等价转化的能力、运算求解能力，以及方程思想、转化思想的应用．
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意可得A=，
=
﹣
，求得ω=．
再根据最高点的坐标为（
，
），可得sin （×+φ）=
，即sin （×
+φ）=1 ①．
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），可得得sin（×+φ）=0，即sin（+φ）
=0 ②，
由①②求得φ=，故曲线的解析式为y=sin（x+）．
（2）对于函数y=sin（x+），令2kπ﹣≤+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，
可得函数的增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z．
令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，
可得函数的减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x12﹣y12=2，x22﹣y22=2，
两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0，
∴=，
∵双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），
∴，
化简可得x2﹣2x﹣y2=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），l AB：y=k（x﹣2）
由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0，
∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①
，
所以（k2≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②
联立①②得：k2+1=0无解
所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由，得，
即﹣1＜x＜1，即定义域为（﹣1，1），
则f（﹣x）=log a（1﹣x）﹣log a（1+x）=﹣[log a（1+x）﹣log a（1﹣x）]=﹣f（x），
则f（x）为奇函数．
（Ⅱ）当0＜a＜1时，由f（x）＞0，
即log a（1+x）﹣log a（1﹣x）＞0，
即log a（1+x）＞log a（1﹣x），
则1+x＜1﹣x，
解得﹣1＜x＜0，
则不等式解集为：（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，利用定义法以及对数函数的单调性是解决本题的关键．
24．【答案】
【解析】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5，
②中的值为=0.40，③中的值为50×0.2=10，
④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为=0.30；
（2）不低于85的概率P=×0.20+0.30=0.40，
∴获奖的人数大约为800×0.40=320；
（3）该程序的功能是求平均数，
S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82，
∴800名学生的平均分为82分。