高中物理有关洛伦兹力的多解问题 素材版

有关洛伦兹力的多解问题
1、带电粒子或带电体电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正负粒子或带电体在磁场中运动轨迹不同，导致形成双解。

的轴O在匀[例1]在光滑绝缘水平面上，一轻绳拉着一个带电小球绕竖直方向
强磁场中做逆时针方向的水平匀速圆周运动。

磁场的方向竖直向下，其俯视图如右图所示。

假设小球运动到A点时，绳子突然断开，关于小球在绳断开后可能的运动情况，以下说法正确的选项是〔〕
A.小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径不变
B.小球仍做逆时针匀速圆周运动，半径减小
C.小球做顺时针匀速圆周运动，半径不变
D.小球做顺时针匀速圆周运动，半径减小
[解析]此题不知道带电小球的电性，所以需要考虑两种情况。

①如果小球带正电，那么小球所受洛伦兹力方向指向圆心，此种情况下，如果洛伦兹力刚好提供
向心力，这时绳子对小球没有作用力，绳子断开时，对小球的运动没有影响。

小球仍做逆时针的匀速圆周运动，半径不变；A正确。

如果洛伦兹力和拉力共同提供向心力，绳子断开时，向心力减小〔注意小球的速率不变〕，那么小球做逆时针的圆周运动，但半径增大。

②如果小球带负电，那么小球所受洛伦兹力方向背离圆心，由方程
2
v
T qvB m
R
-=可知，当洛伦
兹力的大小等于小球所受拉力的一半时，绳子断后，小球做顺时针的匀速圆周运动，半径不变，C正确。

当洛伦兹力的大小大于小球所受拉力的一半时，那么绳子断后，向心力增大，小球做顺时针的匀速圆周运动，半径减小，D正确。

故此题的正确答案为ACD
2、磁场方向不确定形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度方向。

此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的双解。

[例2]如右图所示，氢原子中电子绕核做圆周运动，可等效为环形电流，设此环形电流在通过其圆心的轴线上某点P处产生的磁场强度为1B，现垂直于圆轨迹平面加强度为0B的外磁场，假设电子轨迹半径
不变，只环绕速率发生了变化，用2B 表示此时环形电流在P 点产生的磁场的磁感应强度，试比较1B 和2B 的大小关系。

[解析]环形电流在其轴线上某点处产生的磁场强弱，取决于电流的强弱。

而电子绕核做圆周运动，等效电流22e e ev I r T r
v
ππ===，即电流强度正比于环绕速率v 。

由于此题中0B 的方向未知，所以应分两种情况讨论。

〔1〕当外加磁场0B 的方向垂直于纸面向里时，电子受洛伦兹力与静电力反向，做
圆周运动的向心力将减小，由于保持轨迹半径不变，所以速率v 要减小，所以21B B <。

〔2〕当外加磁场0B 的方向垂直于纸面向外时，电子受洛伦兹力与静电力同向，做圆
周运动的向心力将增大，由于保持轨迹半径不变，所以速率v 要增大，所以21B B >。

3、临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过一定角度后又从入射界面再次飞出，于是形成多解。

[例3]如右图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为
B ，磁场的宽度为L 。

一质量为m 、带电量为q 、速率
为0v 的正粒子从边界a 垂直于磁场方向射入，入射方向与边界a 的夹角为θ，求粒子再次从磁场里射出所经历的时间。

[解析]从此题所给的条件，我们无法判定粒子是从边
界a 射出还是
从边界b 射出，所以应分两种情况考虑。

〔1〕带电粒子从边界a 射出。

如右图所示，由几何关系可知(1cos )L R θ=+， 0mv R qB =，那么可知，0(1cos )mv L qB
θ>+时，粒子将从边界a 射出。

射出所经历的时间为(22)2()2T m t qB πθπθπ--=
= 〔2〕带电粒子从边界b 射出。

当0(1cos )mv L qB
θ<+时，粒子将从边界b 射出。

由几何关系知，sin sin (cos sin )L R R R αβθβ=+=+，
解得：cos arcsin()L R R
θβ-= 轨迹圆弧所对应的圆心角为2π
ϕαβθβ=+=-+ 射出所经历的时间为()()2222T m
T t qB
ππθβθβϕππ-+-+===。

注意：cos arcsin(
)L R R θβ-=； 0mv R qB =。

4、运动的重复性性形成多解
带电粒子在部分是电场，部分是磁场空间运动时，往往运动具有往复性，因而形成多解。

[例4]在x 轴上方有匀强电场，场强为E ，在x 轴下方有匀强
磁场，磁感应强度为B ，方向如右图所示。

在x 轴上有一点M ，离O 点距离为l ，
现有一带电量为q +的粒子，从静止开始释放后能经过M 点，求如果此粒子放
在y 轴上，其坐标应满足什么关系？〔重力忽略不计〕。

[解析]要使带电粒子从静止释放后能运动到M 点，必须把粒子放在电场中A 点先加速才行，当粒子经加速以速度v 进入磁场后，只受洛伦兹力而做匀速圆周运动，运动半周后到达B 点，再做减速运动，上升到与A 点等高处，再返回做加速运动，到B 点后又以速度v 进入磁场做圆周运动，半径与前者相同，以后重复前面的运动，从图中可以看出，要想经过M 点，OM 距离
应为直径的整数倍，即满足2R n OM l •==。

2R n l •= ① mv R qB
= ② 212
Eq y mv •= ③ 联立①②③可得：2228B l q y n mE
= 〔1n =、2、3……〕 以上列举了几种常见的洛伦兹力问题的多解问题，希望同学们在学习时多加注意。