江苏省赣榆县高三高考一轮复习模拟考试2(数学)

江苏省赣榆县高三高考一轮复习模拟考试2（数学）
一、填空题：（本大题14小题，每小题5分，共40分。

请把答案填写在答题纸相应位置上） 1．已知复数i(12i)z =-+，其中i 是虚线单位，则||z =
．
2．某同学五次测验的成绩分别为78，92，86，84，85，则该同学五次测验成绩的方差为
．
3.已知直线:230l x y ++=的方向向量为d ，圆C ：222()()x a y b r -+-=的圆心为Q (,)a b ，
半径为r . 如果从{}1,2,3,4,...,9,10中任取3个不同的元素分别作为,,a b r 的值，得到不同的圆，能够使得
0d OQ ⋅=（O 为坐标原点）的概率等于 .（用分数表示）
4．已知正数数列{}n a （n N *∈）定义其“调和均数倒数”12111
n n a a a V n ++⋅⋅⋅+=（n N *∈），那么当1
2n n V +=
时，2010a = .
5．若方程ln 2100x x +-=的解为x 0，则不小于x 0的最小整数是 ．
6．△ABC 中，若A =2B ，则a
b
的取值范围是 ．
7．在数列{}n a 中，如果存在正整数T ，使得max m a a =对于任意的正整数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫数列{}n a 的周期。

已知数列max 1{}||(2,)n n n x x x x n n N -=-≥∈满足，如果
121,(,0)x x a a R a ==∈≠，当数列{}n x 的周期最小时，该数列前项的和是。

8.关于直线 m 、n 和平面 α、β 有以下四个命题：
① 当 m ∥α ，n ∥β ，α∥β 时，m ∥n ; ② 当 m ∥n ，m ⊂ α ，n ⊥β 时，α⊥β; ③ 当 α∩β = m ，m ∥n 时，n ∥α 且 n ∥β; ④ 当 m ⊥n ，α∩β = m 时，n ⊥α 或n ⊥β. 其中假命题．．．的序号是 ___________
9.已知5
3)4
sin(=-πα,⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
∈45,
43ππα,则=αcos _______. 10.如图所示的)(*
∈⨯N n n n 的实数数表，满足每一行都是公差为1 的等差数列，第一列都是公比为2的等比数列．已知112a =，则 =++++nn a a a a 332211_________．
11.已知定义在R 上的函数)(x f ,满足,2)0(,1)1(),2
3()(-==-+-=f f x f x f 且)4
3
(-=x f y 是奇函数,=+++)2009()2()1(f f f 则 .
12.设曲线()x e ax y
1-=在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点()2
,y x B
处的切线为2l .若存在⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈23,00x
,使得21l l ⊥,则实数a 的取值范围为_____________. 13．设V 是已知平面M 上所有向量的集合，对于映射:,f V V a V →∈，记a 的象为()f a 。

若映射
:f V V →满足：对所有a b V ∈、及任意实数,λμ都有()()()f a b f a f b λμλμ+=+，则f 称为平
面M 上的线性变换。

现有下列命题：
①设f 是平面M 上的线性变换，a b V ∈、，则()()()f a b f a f b +=+
②若e 是平面M 上的单位向量，对,()a V f a a e ∈=+设，则f 是平面M 上的线性变换； ③对,()a V f a a ∈=-设，则f 是平面M 上的线性变换；
④设f 是平面M 上的线性变换，a V ∈，则对任意实数k 均有()()f ka kf a =。

其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）
14.在△ABC 中，A =60o
，a =2，记△ABC 的周长为s 1，面积为s 2，则2
1
s s 的最小值是_________. 二、解答题（本大题共6小题，计90分）
15.（本小题14分）已知a =（1，sin α），b =（2，sin （α+2β）），a ∥b . （I ）若sin β=
5
3
，β是钝角，求tan α的值； （II ）求证：tan （α+β）=3tan β.
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛nn n n n n a a a
a a a a a a
21
22221
112
11
16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥O —ABCD 中，AD //BC ，AB =AD =2BC ，OB =OD ，M 是OD 的中点． 求证：（Ⅰ）直线MC //平面OAB ； （Ⅱ）直线BD ⊥直线OA ．
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
某污水处理厂欲在一个矩形污水处理池ABCD 的池底铺设呈直角三角形的污水净化管道EFG （G 是直角顶点）来处理污水，管道越短，则铺设管道的成本越低．已知该管道的接口G 是AB 的中点，E 、F 分别落在线段BC 、AD 上（如图所示）．20=AB m ，310=BC m ，记θ=∠BGE ．
（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出函数定义域； （2）当θ取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度．
18．（本小题满分16分）
已知221(5)5(13)C x y A ++=-:，点，
． （Ⅰ）求过点A 与1C 相切的直线l 的方程； （Ⅱ）设21C C 为
关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得P 到两圆的切
？荐存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．
O
M
D
A
B
C
E
G
B
19.数列{}2
21221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22
n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足
(1)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (2) 设21
2,n n n
a b a -=
求12.n n S b b b =+++
(3)证明：对(Ⅱ)中的n S ，当1
62.n n S n
≥-<时，
本小题16分）已知a >0，函数f （x ）=ax －bx 2
.
（I ）当b >0时，若对任意x ∈R 都有f （x ）≤1，证明a ≤2
b ；
（II ）当b >1时，证明：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ；
（III ）当0<b ≤1时，讨论：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件.
参考答案
1
2．3．
1
184．2010
1 5．5 6．（1，2） 7．1340 8.①③④是假命题
9.【解析】354,,[,],cos()444245πππππααπα⎡⎤∈∴-∈∴-=-⎢⎥⎣⎦，
cos cos[()]cos()cos
sin()sin 4444
44
π
πππππ
αααα∴=-
+=---
43525210
=--⨯=-
10. 【解析】111(1)2(1)n n
nn a a q n d n -=+-=+-
1(1)(1)(1)22122
n n a q n n n n S d q +---∴=+=+--
11.【解析】3
()()(3)()(2)(1)1,(3)(0)22
f x f x f x f x f f f f =-+⇒+=⇒=-===-
)43
(-=x f y 是奇函数333()()()()442f x f x f x f x ⇔--=--⇔-=--
1()(2)(1)2f f f ∴=--=-，而1
()(2)1,(1)12
f f f =-=-∴=
(1)(2)(2009)(1)(2)2f f f f f ∴++
+=+=
12.【解析】函数()x e ax y
1-=的导数为()x e a ax y 1/-+=,1l ∴的斜率为
()0
101x
e a ax k -+=,函数()x e x y
--=1的导数为()x
e x y --=2/
2l ∴的斜率为()0
202x
e x k --=, 由题设有12
1-=⋅k k 从而有
()()1210
0-=-⋅-+-x
x e x e a ax
()320020-=--∴x x x a ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈23,00
x
问题转化为求230200---=x x x a 的值域, 2356<<∴a
13．①③④ 14. 23
15. 解答：因为a =（1，sin α），b =（2，sin （α+2β）），且a ∥b
所以sin （α+2β）=2 sin α………………………………………………………………2分
（1）sin β=
53,β是钝角，所以cos β=-5
4
，可得sin2β=-2524， cos β=257，…………4分
代入sin αcos2β+cos αsin2β=2sin α化得tan α=-43
24
；………………………………………7分 （2）因为sin （α+2β）=2 sin α，即sin[（α+β）+β]=2sin[（α+β）-β]
得sin （α+β）cos β+ cos （α+β）sin β=2[sin （α+β）cos β- cos （α+β）sin β] ……………11分
移项得sin （α+β）cos β=3 cos （α+β）sin β，
等式两边同时除以cos （α+β）cos β 得 tan （α+β）=3tan β……………………14分 16．证明：（1）设N 是OA 的中点，连接MN ，NB ， 因为M 是OD 的中点， 所以MN //AD ，且2MN =AD ， 又AD //BC ，AD =2BC ， 所以MNBC 是平行四边形， 所以MC //NB ，
又MC ⊂平面OAB ，NB ⊂平面OAB ，
所以直线MC //平面OAB ； ………………………………（7分） （2）设H 是BD 的中点，连接AH ， 因为AB =AD ，所以AH BD ⊥， 又因为OB =OD ，所以OH BD ⊥ 所以BD ⊥面OAH
所以BD OA ⊥．……………………………………（14分） 17．解：（1）由已知，θ
sin 10
=
FG ，…………（2分） 所以θ
θθθcos sin 10
sin 100cos 1002222=+=
+=
FG EG EF ，
…………（4分）
所以θθθθcos sin 10sin 10cos 10+
+=L ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈3,6ππθ． （2）θ
θθθcos sin )
1cos (sin 10++=
L ，…………（8分）
设t =+θθcos sin ，则21
cos sin 2-=t θθ，⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡+∈2,213t ，………（10分） 于是120-=
t L ，因为120-=t L 在⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡+∈2,213t 单调递减，所以当2=t ，即4π
θ=时，L 最短，铺设管道的成本最低．………（13分）
此时，管道的长度为)12(20+m ．………………（14分）
18．解：（1
）11(0,5),C r -=，
因为点A 恰在1C 上，所以点A 即是切点，
11351
212
C A K k -+=
==-，所以， 所以，直线l 的方程为1
3(1),2502y x x y +=-++=即；……………（8分）
（2）因为点A 恰为C 1C 2中点，所以，2(2,1)C -，
所以，222(2)(1)5C x y -+-=：
， 设212
25(,0)25PC P a PC -=-，①，或22215
25
PC PC -=-② ， ……………………（11分） 由①得，22
20
210(20)(100)(2)4
a a P a +=----，解得或，所以，，或，， 由②得，224220
a a
a -=+，求此方程无解。

综上，存在两点P （-2，0）或P （10，0）适合题意．………………（16分）
E
G
19.解:(1)因为121,2,a a ==所以2
2
311(1cos
)sin 12,2
2
a a a π
π
=++=+=
22
422(1cos )sin 2 4.a a a ππ=++==
一般地，当*
21(N )n k k =-∈时，
2
22121(21)21
[1cos ]sin 22
k k k k a a ππ+---=++＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -=
当*
2(N )n k k =∈时，2
2222222(1cos
)sin 2.22
k k k k k a a a ππ
+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k
k a =
故数列{}n a 的通项公式为*
*21,21(N ),
22,2(N ).n
n n n k k a n k k +⎧=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩ (2)由(1)知，2122,2n n n a n b a -=
=23123
,222
2n n
n
S =++++
① 2241112322222
n n n
S +=++++ ② ①-②得，23111111.222222
n n n n
S +=++++-
211
11
[1()]
12
21.122212
n n n n n ++-=-=--- 所以11222.222n n n n
n n S -+=-
-=- (3)要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，(2)
12
n
n n +<成立. 令2
(2)
(6)2
n n n c n +=≥，则21121(1)(3)(2)30.222n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683
1.644
n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，
2
(2)
1.2
n n +< 综上所述，当6n ≥时，12.n S n
-<
解答：（1）证明：根据题设，对任意x ∈R ，都有f （x ）≤1.又f （x ）=－b （x －b a 2）2+b a 42.∴f （b
a
2）
=b
a 42≤1，∵a >0，
b >0，∴a ≤2b .………………………4分 （2）证明：必要性：对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≥－1.据此可推出
f （1）≥－1，即a －b ≥－1，∴a ≥b －1. …………………………6分
对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1⇒f （x ）≤1，因为b >1，可得0<b 1<1，可推出f （b
1）≤1，
即a ·
b
1
－1≤1，∴a ≤2b ，∴b －1≤a ≤2b .………………………8分 充分性：因为b >1，a ≥b －1，对任意x ∈［0，1］，可以推出ax －bx 2
≥b （x －x 2
）－x ≥－x ≥－1，即
ax －bx 2≥－1，因为b >1，a ≤2b ，.………………………………………10分
对任意x ∈［0，1］，可以推出：
ax －bx 2≤2b x －bx 2－b （x －
b
1）2+1≤1，即ax －bx 2
≤1，∴－1≤f （x ）≤1. ……12分 综上，当b >1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2
b .
（3）解：因为a >0，0<b ≤1时，对任意x ∈［0，1］有f （x ）=ax －bx 2
≥－b ≥－1，即f （x ）≥－1；
f （x ）≤1⇒f （1）≤1⇒a －b ≤1，即a ≤b +1，又a ≤b +1⇒f （x ）≤（b +1）x －bx 2≤1，即f （x ）
≤1.
所以，当a >0，0<b ≤1时，对任意x ∈［0，1］，|f （x ）|≤1的充要条件是a ≤b +1. ……16分。