第21章 一元二次方程 人教版数学九年级上册单元闯关双测A卷及答案

第二十一章一元二次方程（测基础）——2023-2024学年人教版数学
九年级上册单元闯关双测卷
【满分：120】一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列方程一定是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.若是关于x的一元二次方程的一个解.则m的值是( )
A.6
B.5
C.2
D.-6
3.方程的两个根为( )
A.，
B.，
C.，
D.，
4.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. B.
C. D.
5.学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
6.我们知道方程的解是，，现给出另一个方程
，它的解是( )
A.，
B.，
C.，
D.，
7.对于任意实数a，b，规定，已知，则实数m的值为( )
A.或2
B.1或-2
C.1或2
D.-1或-2
8.用A、B两种规格的长方形纸板（如图1）无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32cm的正方形，已知A种长方形的宽为1cm，则B种长方形的面积是( )
A. B. C. D.
9.若方程的两根为，，则的值( )
A.6
B.7
C.8
D.9
10.如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设，则这个正方形的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.若a是方程的一个根，则代数式的值是_________.
12.关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是_________.
13.已知,是一元二次方程的两个实数根,则的值是
________.
14.一次会议上,每两个参加会议的人都互相握手一次,有人统计一共握了66次手,则这次会议到会人数是________人.
15.若实数a，b满足，则___________.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）解方程：
（1）；
（2）.
17.（8分）阅读与思考：阅读下面内容并完成任务.
小明同学在解一元二次方程时，两边同时除以，得到，于是得到原方程的根为.小华同学的解法是：将移到等号左边，得到
，提公因式，得，即或，进而得到原方程的两个根为，.
任务一：请对小明、小华同学的解法是否正确作出判断.
任务二：若有不正确，请说明其理由.
任务三：直接写出方程的根.
18.（10分）若m是关于x的一元二次方程的一个实数根.
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值.
19.（10分）已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
(2)当该方程的根的判别式的值最小时，写出m的值，并求出此时方程的解.
20.（12分）某公园准备在一块长为，宽为的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为x.
(1)用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积；
(2)若草坪面积为时，求这时道路宽度.
21.（12分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”.例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”.
（1）通过计算，判断是否是“倍根方程”；
（2）若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；（3）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值.
答案以及解析
1.答案：A
解析:选项A.是一元二次方程;
选项B,方程,有两个末知数,故不是一元二次方程;
选项C,方程中若,则是一元一次方程,故不是一元二次方程;
选项D,方程中中含有分式,故不是一元二次方程;
故选A.
2.答案：A
解析：因为是关于x的一元二次方程的一个解，
所以满足该方程，
所以，
解得.
故选A.
3.答案：D
解析：，，解得，，故选D.
4.答案：D
解析：A、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、，方程没有实数根，故本选项正确；
故选：D.
5.答案：B
解析：根据题意得，故选B.
6.答案：D
解析：方程的解是，，
方程中，或，
解得，，
故选：D.
7.答案：D
解析：，
，
，
，
解得或，
故选D.
8.答案：B
解析：设A长方形的长是x cm，则B长方形的宽是，B长方形的长是，依题意有，
解得，
.故B种长方形的面积是.故选B.
9.答案：B
解析：由题意得：，，
.
10.答案：A
解析：根据图形和题意可得：
，其中，则方程是，
解得：，（不合题意舍去），
所以正方形的面积为.
故选：A.
11.答案：-9
解析：a是方程的一个根，
，
，
，
，
故答案为：-9.
12.答案：4
解析：关于x的方程有两个相等的实数根，，解得.
13.答案：2
解析:,是一元二次方程的两个实数根,
,,
故答案为:2.
14.答案：12
解析:设参加会议有x人,
依题意得:,
整理得:
解得,,(舍去).
答:参加这次会议的有12人.
15.答案：或1
解析：设，则由原方程，得，
整理，得，即，
分解得：，
解得：，.
则的值是或1.
故答案为：或1.
16.答案：(1)，
(2)，
解析：（1），
，
则或，
解得，；
（2），
，
即，
则或，
解得，.
17.答案：任务一：小明同学的解法错误；小华同学的解法正确.任务二：当时，方程的两边不能同时除以.
任务三：，.
解析：任务三：，
，
或，
解得，.
18.答案：（1）因为是关于x的一元二次方程，
所以，解得.
（2）由（1）知，该方程为，
把代入，得，故.
又由，得，所以，
所以.
19.解析：(1)证明：，无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根.
(2)当时，判别式的值最小，
把代入方程，得，，
或，
，.
20.答案：(1)温室花房的面积为，小路的面积为；
(2)当草坪面积为时，道路的宽度为.
解析：(1)温室花房边长是小路宽度的6倍，小路宽度为x，
温室花房边长为6x，
温室花房的面积为，
小路的面积为.
答：温室花房的面积为，小路的面积为.
(2)依题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）.
答：当草坪面积为时，道路的宽度为.
21.解析：（1），，或，
所以，，
则方程是“倍根方程”；
（2），或，
解得，，
是“倍根方程”，
或，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，解得，或，，
m的值为13或-11.。