数学建模导向下解题教学设计的探索与思考——以一道模拟题的解题教学为例

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）把数学建模过程界定为在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题，并将数学建模划为数学活动范畴，同属于数学探究类活动课程.
上述表述，往往使人产生数学建模与平时的课堂教学毫无关系的错觉.事实上，反思涉及实际问题的数学课堂解题教学，会发现解应用题的过程与数学建模的过程存在很多一致之处.进一步探究会发现，只要教师从培养数学建模能力、提升数学建模素养的导向去设计解题教学过程，就能实现解题教学与数学建模过程的有机整合，实现数学建模与平时的数学教学的结合.
下面以2019年辽宁省鞍山市高三第一次模拟考试第21题的解题教学为例，介绍以数学建模为导向设计解题教学过程的历程，谈谈在解题教学中采取设计问题串的形式培养数学建模能力、提升数学建模素养的探索与思考.
题目
某检验机构为检验样品中是否含有某种病
毒，采取以下办法：每个样品用3种试剂检验，如果在3种试剂的检测中有2种及以上反映含有病毒，则认为该样品中含有病毒；如果只有1种试剂检测出有病毒，则再次用另外2种试剂检验是否含有病毒，此时如果有1种及以上反映含有病毒，则认为该样品中含有病毒.
设每个样品被检测出含有病毒的概率为p ()0<p <1，且每次检验结果相互独立.
（1）设每份样品被认定为含有病毒的概率为f ()p ，求f ()p 的函数表达式.
（2）如果不需要复检，每份样品的检测费用为900元；如果需要复检，每份样品的检测费用为1500元.现有样品6000份需要检验，在检验过程中，每份样品除上述检验费用外，还需要其他费用100万元，问提出800万元预算用于检验是否够用？试给出结果，并说明理由.
这是典型的应用数学知识解决实际生活问题的例子.下面以培养数学建模能力、提升数学建模素养为导向，逐步构建问题情境，探究解决问题的方法.
一、以数学建模为导向设计解题教学的探索
为达到利用解题教学实现培养数学建模能力和提升数学建模素养的目的，下面运用数学建模解决实际问题的一般思路与方法，针对第（1）小题的求解，探索设计层层递进、逐步深入的问题串，从数学建模的角度去体会问题串设计的具体实施过程.1.明确需要解决的问题，从给出的实际生活问题中解析其含义，抽象出解题需要的文字信息
因为设问是“认定样品含有病毒”，所以要提炼题
收稿日期：2020-05-27
作者简介：李伟（1961—），男，中学高级教师，辽宁省特级教师，主要从事中学数学解题研究和教材教法研究.
数学建模导向下解题教学设计的探索与思考
——以一道模拟题的解题教学为例
李摘
要：数学建模活动过程中的各个要素与数学应用问题求解过程之间有着必然的联系，因此可
以以数学建模为导向采取问题串的形式，实现将课堂解题教学转化为培养数学建模能力、提升数学建模素养的重要载体之一.
关键词：问题串；数学建模；数学应用题；解题教学·
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目中有关决定样品含有病毒的信息，由此设计、布置如下探究问题.
问题1：针对解题需要，你觉得题目中有价值的关键词有哪些？
提炼结果1：在3种试剂检测中有2种及以上反映含有病毒，说明样品含有病毒.此时包括：3种试剂检测反映含有病毒，2种试剂检测反映含有病毒.
提炼结果2：只有1种试剂检测出有病毒时，则再次用另外2种试剂检验是否含有病毒，此时如果有1种及以上试剂检测出有病毒，说明样品含有病毒.此时包括检验另外2种试剂时，有1种或2种含有病毒.
问题1的任务是围绕主题在具有生活气息的大量文字信息中提炼出关键、简洁的文字信息.
2.对实际生活中的文字信息进行抽象，实现文字信息的数学化
在完成问题1的基础上，为实现数学化打基础，设计、布置探究问题如下.
问题2：可否将上述关键词数学化，采取什么办法将其数学化？
探究结果1：当3种或2种试剂反映有病毒时，含有病毒.
探究结果2：当1种试剂反映有病毒，在另外2种试剂的再次检验中有1种或2种试剂反映有病毒时，含有病毒.
在此环节，对于比较复杂的情形，可以采取列表、统计图、思维导图等形式来呈现分类情况及结果.
问题2的任务是提炼出题目中关键、简洁的文字信息进行数学化，奠定实现数学化的基础.
3.确立数学问题类型，实现数学化
在完成问题2的基础上，为选择数学工具解决问题，设计、布置探究问题如下.
问题3：第（1）小题是什么类型的数学问题？
探究结果1：由文中“设每种样品检测出病毒的概率为p()
0<p<1”，说明这是数学中的概率问题.
探究结果2：“每次检验结果相互独立”说明是n 次独立重复试验问题.
探究结果3：“设每份样品被认定为含有病毒的概率为f()p，求f()p的函数表达式”说明是求概率值的问题.
探究结果4：综合上述探究结果，说明该题是伯努利概型的求概率问题.
问题3的任务是在实现数学化的基础上，确定是什么类型的数学问题.
4.选择数学工具
在完成问题3的基础上，运用数学工具求解，设计、布置如下探究问题.
问题4：伯努利概型求概率应该选择何种数学工具（定理、公式等）？
探究结果：选择n次独立重复试验及其概率公式
P
n
()
X=k=C k
n
p k()
1-p n-k()
k=0，1，…，n.
问题4的任务是在确定数学问题的基础上，确定所需要的数学求解工具.
5.运用数学工具解决问题
在完成问题4的基础上，为实现问题求解，设计、布置探究问题如下.
问题5：如何用n次独立重复试验概率公式求解？
探究结果以解题步骤的形式呈现.
步骤1：有3种试剂反映有病毒的概率是C33p3.
步骤2：有2种试剂反映有病毒的概率是C23p2()
1-p.
步骤3：有1种试剂反映有病毒的概率是C13p()
1-p2.在另外2种试剂的再次检验中，有1种试剂反映有病毒的概率是C12p()
1-p，有2种试剂反映有病毒的概率是C22p2.
步骤4：根据以上解题步骤，给出f()p的表达式为f()p=C33p3+C23p2()1-p+C13p()1-p2[]
C12p()1-p+C22p2，化简，得f()p=-3p5+12p4-17p3+9p2.
问题5的任务是在确定数学工具进行求解的基础上，通过逻辑推理得到数学结果.
6.反思、完善解题过程，对实际问题给出数学解释（数学答案）
在完成问题5的基础上，反思、梳理解题过程，查找解题漏洞，规范解题步骤，寻求是否有其他解题思考等.设计、布置探究问题如下.
问题6：解题过程是否存在漏洞，还有其他解题思路吗？
探究结果：应添加定义域0<p<1.
到此，第（1）小题得到解决.
问题6的任务是检验解题过程中是否有遗漏，数
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学推理是否存在问题，并根据数学结果对实际问题给出解释说明.
由于第（2）小题的解题教学设计思路与第（1）小题一致，限于篇幅，不再赘述.
二、以数学建模为导向设计解题教学的思考
对比上述解题教学设计历程和数学建模要求（见文献［3］）可以看出：在解题教学中，以数学建模为导向的问题串设计能够提升学生的数学建模能力，培养学生的数学建模素养.为进一步完善该项工作，提出如下思考.
1.用设计问题串的方式实现在解题教学中培养数学建模能力、提升数学建模素养的合理性
上述题目解决过程中的问题串设计与数学建模环节对比，除缺少“问题提出”环节外，其他环节要求都基本一致.也就是说，用培养数学建模能力、提升数学建模素养的理念和做法来引领，将数学应用题解题教学转化为数学建模的过程是合理且可行的. 2.问题串设计的相对性（层级的多少、跨度的大小）
由于具体的数学应用问题给出的语言文字形式存在差异，对问题解决要求的难度不同，学生学习的水平和能力存在差异等，必然使问题串设计的层级和数量会有所不同.但是至少有两点是不变的：一是设计理念不变，即突出以学生学习、能力培养、素质提升为中心；二是问题串的逻辑关系不变，即前一层级的问题设计为后一层级的探究提供清晰的基础和出发点. 3.问题串设计对培养数学建模能力、提升数学建模素养的促进作用
从问题解决的过程中可以看出，问题串层级设计为在解题教学中实现学生高效独立思考、自主探究解决问题，以及搭设攀登的“脚手架”提供了范例和思考；给学生在数学建模活动课中高质量完成数学建模任务提供了锻炼的平台.此外，《标准》中提出了“创设问题情境”“尝试探索发现”的理念，以实现学生的数学能力培养和数学素养提升.而文中以学生的学习水平和经验作为起点的问题串层级设计，突出了“创设问题情境”“尝试探索发现”的过程，成为新课程理念落实和实施的重要载体.
4.问题串设计要关注解题所需要的关键词的取舍
各层级的问题串设计要突出对提炼解决问题所需要的文字信息的关键词、数字符号化表述、数学化的过程与方法、数学概念外延的引领、数学公式化解决等几大环节的掌控.善于利用图表、思维导图等形式分类表述从问题中提炼的信息，追求更加清楚、简洁.
5.问题串设计与解题能力提升
由上述示例可以看出，问题串的层级设计为学生解题提供一种新的、具体的、可操作的实施步骤和方法.它能引领学生探究解题思路，帮助学生实现解题思维的层层递进，使解题思路变得更加清晰、明了等.显然，所有这些对提高学生的解题能力和解题水平是有帮助的，对学生改进解题叙述的规范性有很好的指导意义.因此，能够在一定程度上促使解题教学取得更好的效果.
综上所述，文中提出的观点，不仅为在解题教学中培养学生的数学建模能力、提升学生的数学建模素养提供了具体可行的做法，也为追求解决数学问题所需要的“化难为易、化繁为简、层次递进、思路清晰”提供可行的途径和做法.同时，对培养学生的数学抽象素养和逻辑思维能力都有实际的帮助.事实上，文献［5］对数学教师进行数学教学要注重数学应用等提出了很好的要求和做法，强调数学教学既重视纯数学的演绎推理又重视数学在社会和实际生产中的应用是数学教师与其他数学工作者的最大区别.
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版
社，2018.
［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版）》解读［M］.北京：高等教育出版
社，2018.
［3］徐利治.数学方法论十二讲［M］.大连：大连理工大学出版社，2007.
［4］加侬，柯蕾.建构主义学习设计［M］.宋玲，译.北京：中国轻工业出版社，2008.
［5］弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995.
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