短期人口增长预测模型

１ ） 模型．
表 ６ 新陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型精度检验
３ 结 论
笔者对灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ）模型 、 新陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型分别进行 了分析 与对 比 ， 结合实 际 ， 建 立了不 同
维度 的预测模 型 ， 并 对 预测模 型进行对 比和讨 论 ． 得
序列 的 ， 并 且 预 测 的 时 间越 短 ， 误 差越 小 ． ５维 灰 色
２ ． １ 模 型建立 所谓 新 陈代 谢 模 型， 即 有 原 始 序 列 ’＝ ［ ‘ 。 （ １ ） ， ‘ 。 （ ２ ） ， …， 。 （ ｎ ） ］ 建模 后 求 得 预测 值
Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模型 的平均相对误差最小 ， 平均相对精度也
・
２ ０・
平 顶 山学 院 学 报
２ ０ １ ３正
’ （ ｋ ＋１ ） ， 将 此信 息加 入 序列 ， 并 去掉 最 老 的信 息 ∞ ’ （ １ ） 以保 持 序列 长度 不变 ， 如此 反 复类 推则 可 以
朱 维钧 ， 杨锦 伟
（ 平顶 山 学院 数 学与信 息科 学学 院 ， 河 南 平顶 山 ４ ６ ７ ０ ９ ９ ）
摘 要： 利 用 已知 数 据 对 不 同 维 度 的 灰 色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 和 不 同 维度 新 陈 代 谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 进 行 了精
选择初始序列 的维度．
由于灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 预测模 型是一个 短时 间序 列
模型， 并不是数据越 多越好 ， 所 以原始 数据不 一定 全 部用来建模． 一般来 说 ， 取 不 同维 的数据 建立 的模 型
到２ ０ ２ ０年 的人 口数． 具体计算结果如表 ５ ．
表 ４ 灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 误 差 检 验
我们从 国家统计局公 布的 ２ ０ １ １ 年 统计年鉴 中收
集数据． 部 分数据 如表 ２ ．
亿人
表２ 各 年 份 全 国 人 口总 量 表
１ ． ４ 模 型 的求 解
比较高 ， 模型拟合 值 与实际值 更加接 近 ， 故 而笔者 先
选择 ５维 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 为最优预 测模 型 ， 预测 ２ ０ １ １
分别为 。 和 ‘ ． 残差序列
６＝ （ 占 （ １ ） ， （ ２） ， …， ６（ ｎ ） ）＝
人 口增长在 短期 （ １—１ ０年 ） 内可 以看 成是 一个 灰色系统 ， 可应 用灰 色系统 理论进 行研究 和分 析． 灰
色Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型常 用 于短 期 的 人 口预 测 、 生物生 长 、
４所示 ．
表 ３ 灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 精 度 检 验
维数
（ 真实值为 （ 真实值为 （ 真实值为 ： 。
１ ３ ２ ８ ０ ２ ３ ３ ４ ５ ０ ３ ４ ０ ９ １ ） １ ． ） １ ． ） … ～
（ 。 （ ）一 ‘ 。 ’ ） ， 的 均 值 和 方 差 分 别 为
＝
砉 ｓ （ ） 和 ｓ ＝ ＿ ｌ 砉 （ 占 （ ） 一 ； ） ， 均 方 差
＾ ）１
若模 型精度 为一 级 ， 则表示模 型精度 很高 ， 可用
比值为 Ｃ＝ ＇ Ｄ ２ ．
．
表５ ５维 灰 色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 预 测 结 果
亿 人
均方差 比 Ｃ＝ ０ ． ０ ０ ４ ５ ， 小概率误差 Ｐ＝１ ， 平 均相
对 误差 ０ ． ０ ０ ５ ７ ７ ６ ％．
２ 新陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模型 …
从表 ３ 、 表 ４可以看 出 ， 短序列预测 的误差小 于长
（ ‘ 。 （ １ ）一 ‘ 。 ’ （ １ ） ， 。 （ ２ ）一 ‘ 。 （ ２ ） ， …， ‘ 。 （ ｎ ）一曼 ‘ 。 （ ｎ ） ）
繁殖预测及产 品经济 寿命预 测 ， 预测精 度也 较高． 灰 色Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型的基本原理 和计算方法及 检验方 法
灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型的时间响应序列 为
‘ （ ＋１ ）＝（ （ 。 （ ０ ） 一 ） ｅ － ａ ｋ ＋ — ｂ —
，
（ １ ）
‘ ’ （ ０ ） 取为 。 （ １ ） ， 则（ １ ） 式变为
‘ （ ＋ １ ） ＝（ （ 。 ’ （ １ ） 一旦 ） ｅ － ａ ｋ ＋
‘ （ ）＝（ ‘ 。 （ ０ ） 一 ） ｅ ＋ ，
人 口问题 是影响人 口生存 与发展 的各 种 问题 的
总称 ， 是指人 口发 展的过 程 、 规模 、 速度 、 质 量等 同社 会经济 、 生态环境 发生不 相适应 的 问题 ． 特别是 一些 经济不发达 国家 的人 口过度增长 ， 影响 了整个 国家 的
对于给定的 Ｃ ｏ＞０ ， 当 Ｃ ＜Ｃ ｏ 时， 称模 型为均方 差 比合格模 型．
于较准确 的预测 ； 模 型精度 为二级 ， 表示模 型精度 较
高； 模型精度为三级和 四级时 ， 表示模 型精度一般 ， 预
测效 果 较 差 ．
１ ． ３ 数 据 准 备
３ ）计 算 小 残 差 概 率 （ Ｐ ＝ Ｐ｛ ｌ占 （ ）一；ｌ ＜ ０ ． ６ ７ ４ ５ Ｓ ， ｝ ） 对 于给定的 Ｐ 。＞０ ， 当 Ｐ ＞Ｐ ｏ 时， 称模 型为小残
简介如下 ：
相对残差序列为 △ ＝ （ △（ １ ） ， ａ（ ２ ） ， …， △ （ ｎ ） ）＝
设 ‘ 。 ’ 为初始数据序列 （ 非负 ） ， “ 为
序列 ， 则 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ）的 灰 微 分 方 程 为
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２— ０ ９— ０ ６
的一次
第 ２期
朱维钧 ， 杨锦伟 ： 短期人 口增长预测模型
・１ ９・
给定 Ｏ ／ ， 当 五 ＜Ｏ ／ 且 △（ ｜ ｊ ｝ ）＜ｏ ｄ 成立时 ， 称模 型 为
差概率合格模型．
残差 合格模 型． ２ ）均方差 比合格检验 设 ∞ 为原始序列 ， ∞ ’ 为相 应 的灰色模 型预测
不 一样 ， 参 数也都不 一样 ， 因而模 型 的预测值 也不一 样． 所以， 为了提 高预测精度 ， 有必要建立 不 同维数 的 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型进行 比较 ， 从 中选择精度高 的维数来建
立模 型进行 预测． 考 虑到灰 色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型数 据一
般 要 求 不 少 于 ５维 ， 所 以 笔 者 选 择 ５～ ９维 序 列 进 行 预测 ， 从 中选 择 适 当 的维 数 进 行 建 模 ， 结果 如表 ３ 、 表
第２ பைடு நூலகம் 卷第 ２期
２ ０ １ ３年 ４月
平顶 山学 院学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｐ ｉ ｎ ｇ ｄ ｉ ｎ ｇ ｓ ｈ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ０ １ ． ２ ８ Ｎｏ ． ２ Ａｐｒ ． ２ ０１ ３
短 期 人 口增 长 预 测 模 型
（ ｋ ）＋
（ Ｉ Ｉ ， １ 黯 ＇ １ Ｉ ）
并 计算平均相对残差 ＝ ｉ １ ∑△ （ ）
累加 生成 （ １一 Ａ Ｇ Ｏ） 序列 ， ｚ ’ 为 “ ’ 的 紧邻 均值 生成
作者简介 ： 朱维钧 （ １ ９ ８ ２ 一 ） ， 男， 甘肃省 天水市人 ， 硕士 ， 平顶山学院数学 与信息科学学院讲师
一
趋势 ， 以便更好地控制人 口发展． 常用 的人 口预测模 型有 ： 指数 增长模 型 、 阻滞增 长模 型、 Ｌ ｅ ｓ ｌ ｉ ｅ 矩 阵模 型 、 线性 回归模型 、 微 分方程模 型 …、 灰色预测模型瞳 等． 笔者 主要 采用 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模
型 与新 陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 ．
经济发展 、 社会 安定 和人 民生 活水平 的提 高 ， 给人 类
生 活带来许多 问题 ， 例如 ： 生态环境问题 、 劳动就业 问 题、 人 口老龄化 问题 等． 为 了解 决人 口增长 过快 的问 题， 必须控制人 口数量 ， 提高人 口的素质． 使人 口的增 长与社会 、 经济 的发展相 适应 ， 与 环境 、 资源相 协调 ． 这就需要我们清楚人 口的发展 过程 ， 预测人 口的发展
，
累减还原得 ‘ 。 （ ｋ ＋１ ）＝ ‘ ’ （ ｋ ＋ １ ）一 ‘ 。 ’ （ ｋ ） ， 即原始序列 的模拟序列为
。 ’ ＝（ ‘ 。 ’ （ １ ） ， ‘ 。 ’ （ ２ ） ， 。 （ ３ ） ， …， 。 （ ／ ７ ， ） ） ．
１ ． ２ 模 型 检 验
建立Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模型群． 对 于新陈代谢模 型 同样 要考 虑采取 几维数 据精 度最高 ， 另外还要考虑新陈代谢模型与一般模 型哪个
２ ０ ２ ０年的人 口数 ， 见表 ８
表８ ５维新陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模型预测结果 亿 人
精度更 高． 编程计算 比较 ０ ８ 、 ｏ ９ 、 １ ０年精度 ， 结果 如下 （ 在计算 平均相 对残差 ， 均方 差 比 ， 小 残差概率 时 ０ ８ ， ０ ９ ， ｌ ０年的数据也计算在 内） 由表 ６ ， 表 ７的 对 比我 们 可 以 看 出 新 陈 代 谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 的误差较小 ， 精 度高 ， ５维新 陈代 谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 比其他 维度 的误差较小 ， 精度高． 综上所述 ， 我 们在 中短期人 口预测时采用 ５维 的新 陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ，
ａｚ
（ Ｉ ’ （ ）； ｂ （ 其 中 ａ为发展系数 ， ｂ为灰色作用 量 ， 。 ，
０ 引 言
ｂ 可用最小二乘 法求 出 ） ． 称ｄ ｘ ‘ ／ ｄ ｔ ＋ａ ｘ ， ㈩ ＝ｂ为灰
色Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模型 的 白化 方程 ， 也 叫影 子方程 ， ｔ 为时 间． 则 白化方程的解（ 时间响应 函数 ） 为
１ 灰色 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型¨
个灰色模 型要经过检验才能判定其是 否合理 ，
是否合格 ． 只有 通过 检验 的模型 才能用来 进行 预测 ． 通常检验方法有 以下 ３种 ：
１ ） 残 差合 格 检 验
１ ． １ 模 型 建 立
设初始序列 和相应 的灰 色模 型预测 （ 模拟） 序列
一
由上可知 ， 给定一组 取值 ， 就确定 了模 型精度 的
个 等级． 常用 的精度 等级见 表 １ ， 可供 检验模 型参
表１ 灰 色 模 型 精 度 检 验 等 级
考．
（ 模拟 ） 序列， 为残差 序列 ， 则 ∞ ’的均 值和方 差分
别为
＝ ÷∑ （ ） 和 Ｓ ＝
出 ５维新陈代谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ）模 型进行 预测 效果最 好 ， 并 给出结果． 由此可 以看 出， 在 每次利 用灰 色模 型进 行建模预测 时 ， 都需要针对实际数据 ， 筛选 恰 当类 型、
恰当维度的模 型 ， 以获得最佳预测结果．
Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型是灰色预测模型 中最基本 的模 型 ，
度 对 比． 最 终 选取 ５维新 陈代 谢 Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型 来预 测 ２ ０ １ １— ２ ０ ２ ０年 的我 国人 口数 量 ．
关 键 词： 人 口模 型 ； 人 口预 测 ； Ｇ Ｍ（ １ ， １ ） 模 型
中图分 类号 ： ０ ２ １ ３
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ６ ７ ３—１ ６ ７ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２— ０ ０ １ ８— ０ ３