妙解三角恒等变换问题

妙解三角恒等变换问题
摘要：三角恒等变换问题不但方法灵活，并且涉及到的公式较多。

处理三角恒等变换时，我们往往感觉无从下手，但万变不离其宗，三角恒等变换的目的主要是达到两个“统一”，即函数名的统一和角的统一。

为此，我们可以用“先角后函数原则”来处理这类问题。

关键词：三角恒等；变换问题；函数；解题
所谓先角后函数原则就是先考虑角的恒等变化，然后再考虑函数名的变化。

这里的“角”可分为“条件中的角”和“结论中的角”。

该解法关键是运用“整体思想”确定“条件中的角”和“结论中的角”，然后寻找“条件中的角”和“结论中的角”的关系。

在化简时，则不必把角分为“条件中的角”和“结论中的角”，只要能够找到题中角与角之间的关系就可以了。

如何在三角恒等变换中运用“先角后函数原则”解题，以下举例说明。

一.化简问题
例1.化简：
剖析：本题中出现了三个角,分别是“”、“”、“”它们之间的关系是，这样本题就有如下解法.
解：原式＝
＝
=
=
=
=
评注：本题的关键是发现，在解题尽量减少角的个数，最终达到角的统一。

例2. 化简：
剖析：本题所含的角较多，出现了、、这三个角，结构复杂，
函数名称也不一致。

仔细观察，不难发现，，所以可从变角入手，从而打开缺口。

解：原式=
= =1.
评注：本题的关键是发现、、三者之间的关系，把、用表示，最终达到角的统一。

当然，本题中的三个角也可以都用
表示。

二.求值问题
求值问题常见的有三类:1.给值求值；2.给角求值；3.给值求角。

1.给值求值
例3.已知 ,且 ,求的值.
剖析：本例出现的角可以看做是条件中的角,看做是结论中的角。

注意：这里要用上数学思想“整体思想”，不能把角看成出现了角与，而应该把当作一个角。

类似的也要把当作一个角，
当作另一个角。

运用“先角后函数原则”，先找到角的关系： .这样就产生如下解法.
解： ,、
又，
，
，
，
∴
.
2.给角求值
例4.求值： .
剖析：采用“先角后函数原则”，仔细剖析题中出现的三个角，容易发现，但求值时应把转化为 .
解：原式=
=
= =
= = =
3.给值求角
例5.已知，，且，求的值.
剖析：本例中出现的角有、、。

为了求，运用“先角后函数原则”，可以把表示成，这样就产生如下解法.
解：，
又，
由知，从而，而，
，由知，
，
评注:“给值求角”本质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，末了求角.
三.证明问题
例6.已知 , , ,
求证:
剖析：本例中条件中的角是，结论中的角是。

为了证明等式，只要把“条件中的角”用“结论中的角”来表示即可。

容易发现：及 .
解：
化简得
, ,
（1）式两边同除以得
先角后函数原则的要点是：先考虑角的变化，找到条件中的角与结论中的角的关系；条件中的角与结论中的角的关系找到了，函数名的变化也就水到渠成了。

以下的题目，都可采用“先角后函数原则”来解，大家不妨试一试。

1.已知，且，求的值.
2.设，，均为锐角，求的值.
3.已知，，，，求的值.
4.已知：，求证： .
（提示：采用“先角后函数原则”，将条件中的角与用结论中的角和来表示，其中，）。