(浙江专版)高中数学模块复习精要复习课(二)直线与圆新人教A版必修2

复习课(二) 直线与圆
两直线的位置关系
程求法，难度中档以下．
[考点精要]
1．求直线斜率的基本方法
(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α. (2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1
x 2－x 1
. 2．判断两直线平行的方法
(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法
(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2.
(2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2. [典例] 已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的
a ，
b 的值．
(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；
(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②
解①②组成的方程组得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝2.
(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b
＝1－a .③
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数， 即4
b
＝－(－b )．④
由③④联立，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23，
b ＝2.
经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝23 ，
b ＝2.
[类题通法]
已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0
(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．
(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可．
[题组训练]
1．经过两点A (2,1)，B (1，m 2
)的直线l 的倾斜角为锐角，则m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞－1 C ．－1＜m ＜1
D ．m ＞1或m ＜－1
解析：选C ∵直线l 的倾斜角为锐角， ∴斜率k ＝
m 2－1
1－2
＞0，∴－1＜m ＜1.
2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43
C ．2
D ．3
解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.
3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( ) A.3
2 B.3
2或0 C ．0
D ．－2 解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，
a －1
1＝
a 2a ，解得a ＝3
2
.故选A.
直线方程
直线方程的求法一直是考查重点，多以解答题形式考查，常涉及距离、平行、垂直等知
识，有时与对称问题相结合，难度中档以上．
[考点精要]
1．直线方程的五种形式
2．常见的直线系方程
(1)经过两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，因此它不能表示直线l 2.
(2)平行直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)平行的直线系方程是Ax ＋
By ＋λ＝0(λ≠C )．
(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)垂直的直线系方程是Bx －
Ay ＋λ＝0.
[典例] 过点A (3，－1)作直线l 交x 轴于点B ，交直线l 1：y ＝2x 于点C ，若|BC |＝2|AB |，求直线l 的方程．
[解] 当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x ＝3， ∴B (3,0)，C (3,6)．
此时|BC |＝6，|AB |＝1，|BC |≠2|AB |， ∴直线l 的斜率存在．
设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －3)， 显然k ≠0且k ≠2. 令y ＝0，得x ＝3＋1
k
，
∴B ⎝
⎛⎭
⎪⎫3＋1k
，0，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝2x ，y ＋1＝k x －3，
得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1
k －2
.
∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪1k ，
∴
3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2
k
， 解得k ＝－32或k ＝14
.
∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0.
[类题通法]
求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．
[题组训练]
1．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，
d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．
解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或
d 2＝0，不符合题意)．
设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|
13
，
d 2＝
|m ＋13|
13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9. 故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 2．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)． ∵k PP ′·k l ＝－1，即
y ′－y
x ′－x
×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×
x ′＋x 2
－
y ′＋y
2
＋3＝0.②
由①②得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝－4x ＋3y －95
， ③y ′＝3x ＋4y ＋3
5. ④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －9
5－
3x ＋4y ＋3
5
－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
圆的方程
主要以选择、填空题的形式考查圆的方程的求法，或利用圆的几何性质、数形结合求函数式的最值．也可与其他曲线结合综合考查圆的方程的应用．
求圆的方程的主要方法是待定系数法，确定圆的方程需要三个独立的条件，求解时要注意结合图形，观察几何特征，简化运算．
[考点精要]
(1)圆的标准方程：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(2)圆的一般方程：x 2
＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0
(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：
①过两圆C 1：x 2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x
2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；
②过圆C ：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．
[典例] 在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，
C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .
(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．
[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)．
又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋3
1＋3
，
即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. 法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5，
则△ABC 是等腰三角形， 所以AD ⊥BC .
因为直线BC 的斜率k BC ＝2， 所以直线AD 的斜率k AD ＝－1
2
，
由直线的点斜式方程，得y －0＝－1
2(x ＋3)，
所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎪⎨⎪
⎧
9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，
16－4E ＋F ＝0，
解
得⎩⎪⎨⎪⎧
D ＝1，
E ＝5
2，
F ＝－6.
所以圆M 的方程是x 2＋y 2
＋x ＋52y －6＝0.
[类题通法]
利用待定系数法求圆的方程
(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，
r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．
(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．
[题组训练]
1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝2 B ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝2 C ．(x ＋1)2
＋(y ＋1)2
＝8 D ．(x －1)2
＋(y －1)2
＝8
解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝2.
2．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆
C 的方程．
解：设圆C 的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
.
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
2－a 2
＋－3－b 2
＝r 2
，－2－a 2＋－5－b 2＝r 2
，
a －2
b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－1，
b ＝－2，
r 2＝10.
所以圆C 的方程为(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝10.
3．求以圆C 1：x 2
＋y 2
－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2
＋y 2
＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．
解：联立两圆的方程得方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋y 2
－12x －2y －13＝0，
x 2
＋y 2
＋12x ＋16y －25＝0，
相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0.
再由⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ＋3y －2＝0，
x 2＋y 2
－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．
∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为12
5＋1
2
＋－6－2
2
＝5.
∴圆C 的方程为(x －2)2
＋(y ＋2)2
＝25.
直线与圆的位置关系
多以选择题、填空题考查直线方程与圆的方程的求法，涉及直线与圆有关的基本问题，对于直线中内容很少单独考查．
在解决直线与圆的问题时，充分发挥数形结合思想的运用，尤其是涉及弦长问题，多用几何法．
[考点精要]
1．直线与圆位置关系的判断方法
(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．
2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法
①当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，化成一般式kx －y ＋y 0－kx 0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k ；
②当切线斜率存在时，设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
联立，化为关于x 的一元二次方程，利用判别式为0，求出k .
当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切
线的方程．
3．圆中弦长的求法
(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解． (2)利用圆的弦长公式l ＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝1＋k 2
·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2(其中x 1，x 2为两
交点的横坐标)．
(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d 、圆的半径r 与弦长的一半l
2为线段长的三
条线段构成直角三角形，故有l ＝2r 2
－d 2
.
4．圆与圆的位置关系：
(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． (2)若圆C 1：x 2
＋y 2
＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2
＋y 2
＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交．
则两圆方程相减后得到的新方程：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．
[典例] (1)直线x ＋y －2＝0与圆(x －1)2
＋(y －2)2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.2
2
B.
32
C. 3
D. 2
(2)若直线x －my ＋1＝0与圆x 2
＋y 2
－2x ＝0相切，则m 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．± 3
D. 3
(3)已知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝4，直线l 过定点A (1,0)． ①若l 与圆C 相切，求l 的方程；
②若l 与圆C 相交于P ，Q 两点，且|PQ |＝22，求此时直线l 的方程． [解析] (1)∵圆心(1,2)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝2
2
，∴|AB |＝212
－⎝
⎛⎭
⎪⎫222
＝2，故选D.
(2)由x 2
＋y 2
－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|
1＋m
2
＝1，解得m ＝± 3. 答案：(1)D (2)C
(3)解：①若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝1，符合题意． 若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 即kx －y －k ＝0.
由题意知，圆心(3,4)到直线l 的距离等于2，即|3k －4－k |k 2
＋1
＝2，解得k ＝3
4，此时直线l
的方程为3x －4y －3＝0.
综上可得，所求直线l 的方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.
②由直线l 与圆C 相交可知，直线l 的斜率必定存在，且不为0，设直线l 的方程为k 0x －y －k 0＝0，圆心(3,4)到直线l 的距离为d ，
因为|PQ |＝24－d 2
＝22，所以d ＝2， 即
|3k 0－4－k 0|
k 20＋1
＝2，解得k 0＝1或k 0＝7，
所以所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0. [类题通法]
研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k 不存在情形，要注意作出图形进行判断．
[题组训练]
1．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2
－6x ＋y 2
＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7
D ．3
解析：选C 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2
＝8－1＝
7.
2．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2
＋y 2
－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( )
A. 2 B ．2 2 C. 3
D ．2 3
解析：选C 圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形PACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|PA |×r ＝|PA |＝|PC |2－r 2＝|PC |2
－1.要使四
边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝
|3－4＋11|32＋4
2
＝10
5＝2，所以四边形PACB 面积的最小值为4－1＝ 3. 3．已知圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点．
解：假设存在且设l ：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝9，圆心C (1，－2)，则过圆心C 垂直弦AB 的直线为y ＋2＝－x ＋1，
解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ＋m ，
y ＋2＝－x ＋1得AB 的中点N 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
m ＋12，m －12，
由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2
－|CN |2
＝ 9－2×⎝
⎛⎭
⎪⎫m ＋322，
|ON |＝
⎝
⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122. 所以9－2×⎝
⎛⎭⎪⎫3＋m 22＝⎝
⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122，
解得m ＝1或m ＝－4.
所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．
1．点A (2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在y 轴内 B ．在xOy 平面内 C ．在xOz 平面内
D ．在yOz 平面内
解析：选C 点A (2,0,3)的纵坐标为0，所以点A 应在xOz 平面内．
2．若直线l ：(m 2
－2m －3)x ＋(2m 2
＋m －1)y －2m ＋6＝0的斜率为1，则实数m 的值为( ) A ．－1 B.43 C ．－1或4
3
D ．1或1
2
解析：选B 由直线的斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧
2m 2
＋m －1≠0，－m 2
－2m －3
2m 2＋m －1＝1，
解得m ＝4
3
，选B.
3．过圆x 2＋y 2
－4x ＝0外一点(m ，n )作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m ，n 满足的关系式是( )
A ．(m －2)2
＋n 2
＝4 B ．(m ＋2)2＋n 2＝4 C ．(m －2)2
＋n 2
＝8
D ．(m ＋2)2
＋n 2
＝8
解析：选C 圆x 2
＋y 2
－4x ＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r ＝2.由题意，知(m －2)2
＋n 2
＝8.
4．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射后经过点B (2,10)，则光线从A 到B 的距离是( )
A ．5 2
B ．2 5
C ．510
D ．10 5
解析：选C 根据光学原理，光线从A 到B 的距离，等于点A 关于x 轴的对称点A ′到点
B 的距离，易求得A ′(－3，－5)．
所以|A ′B |＝
2＋3
2
＋10＋5
2
＝510.
5．直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2
有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是( ) A ．|b |＝ 2 B ．－1<b ≤1或b ＝－ 2 C ．－1≤b ≤1
D ．非A ，B ，C 的结论
解析：选B 作出曲线x ＝1－y 2
和直线y ＝x ＋b ，利用图形直观考查它们的关系，寻找解决问题的办法．
将曲线x ＝1－y 2
变为x 2
＋y 2
＝1(x ≥0)．当直线y ＝x ＋b 与曲线
x 2＋y 2＝1相切时，则满足
|0－0－b |
2
＝1，|b |＝2，b ＝± 2. 观察图像，可得当b ＝－2或－1<b ≤1时，直线与曲线x ＝1－y 2
有且仅有一个公共点． 6．已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.
213
C.25
3
D.43
解析：选B 在坐标系中画出△ABC (如图)，利用两点间的距离公式可得|AB |＝|AC |＝|BC |＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC 为等边三角形．设BC 的中点为D ，点E 为外心，同时也是重心．所以|AE |＝23|AD |＝233
，从而|OE |＝|OA |2＋|AE |2＝
1＋43＝21
3
，故选B. 7．圆x 2
＋y 2
－4x ＋6＝0和圆x 2
＋y 2
－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线的方程是________．
解析：由题意，知圆x 2
＋y 2
－4x ＋6y ＝0和圆x 2
＋y 2
－6x ＝0交于A ，B 两点，则弦AB 的垂直平分线，就是两个圆的圆心的连线．圆x 2
＋y 2
－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为(2，－3)，圆x 2
＋y 2
－6x ＝0的圆心坐标为(3,0)，所以所求直线的方程为
y ＋33＝
x －2
3－2
，即3x －y －9＝0.
答案：3x －y －9＝0
8．(全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2
＋y 2
＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.
解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝
|3m －3|
m 2＋1
.
由|AB |＝23得⎝
⎛⎭
⎪⎫3m －3m 2
＋12＋(3)2
＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π
6
.
画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π
6.在Rt △CDE 中，可得|CD |
＝
|AB |cos π6
＝23×2
3＝4. 答案：4
9．过点P (3,0)作一直线l ，使它被两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0所截的线段AB 以P 为中点，则此直线l 的方程是________．
解析：法一：设直线l 的方程为y ＝k (x －3)， 将此方程分别与l 1，l 2的方程联立，
得⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝k x －3，2x －y －2＝0和⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝k x －3，
x ＋y ＋3＝0，
解得x A ＝3k －2k －2和x B ＝3k －3
k ＋1
，
∵P (3,0)是线段AB 的中点，∴x A ＋x B ＝6， 即
3k －2k －2＋3k －3k ＋1
＝6，解得k ＝8. 故直线l 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 法二：设直线l 1上的点A 的坐标为(x 1，y 1)， ∵P (3,0)是线段AB 的中点，
则直线l 2上的点B 的坐标为(6－x 1，－y 1)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x 1－y 1－2＝0，6－x 1＋－y 1＋3＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝11
3，y 1
＝16
3，
∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫113，163，由两点式可得直线l 的方程为8x －y －24＝0.
答案：8x －y －24＝0
10．已知以点C 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，且圆心在直线x ＋3y －15＝0上．设
点P 在圆C 上，求△PAB 的面积的最大值．
解：∵线段AB 的中点为(1,2)，直线AB 的斜率为1，
∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －2＝－(x －1)，即y ＝－x ＋3.
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝－x ＋3，x ＋3y －15＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－3，
y ＝6，
即圆心C 为(－3,6)， 则半径r ＝－3＋12＋62
＝210.
又|AB |＝
3＋1
2
＋42
＝42，
∴圆心C 到AB 的距离d ＝210
2
－22
2
＝42，
∴点P 到AB 的距离的最大值为d ＋r ＝42＋210，
∴△PAB 的面积的最大值为1
2×42×(42＋210)＝16＋8 5.
11.如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．
(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．
解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－
1
k AB
＝1，
∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0.
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，
∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝1
2
|AC |·|BC |＝2.
12．已知：以点C ⎝
⎛⎭
⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，
B ，其中O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． 解：(1)证明：∵圆C 过原点O ，∴r 2＝OC 2＝t 2
＋4t
2.
设圆C 的方程是(x －t )2
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t
2.
令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4
t
；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .
∴S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪
4t ×|2t |＝4，
即△OAB 的面积为定值．
(2)∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k O C ＝12.∴直线OC 的方程是y ＝1
2x .
∴2t ＝1
2
t .解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5， 此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15
<5，
圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5， 此时C 点到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95
>5，
圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去． ∴圆C 的方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝5.。