【苏科版】初二数学上期中模拟试题(附答案)

一、选择题
1．如图，在等腰三角形ABC 中，,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点，ED AC ⊥交AB 于点E ，已知6,2AC DE ==，则BC 的长为（ ）
A ．13
B ．32
C ．40
D ．20 2．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020()
a b +的值（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3
4．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，交AC 边于E ，交BC 边于D ，连接AD ，若3AE =，ABD △的周长为13，则ABC 的周长（ ）
A ．16
B ．19
C ．20
D ．24 5．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，P
E ⊥A
F 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由
是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．SSA
D ．AAS
6．如图，点D 在线段BC 上，若1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒，且BC DE =，AC DC =，AB EC =，则下列角中，大小为x ︒的角是( )
A ．EFC ∠
B ．AB
C ∠ C ．FDC ∠
D ．DFC ∠ 7．如图，AD 是ABC 的高，AD BD 8==，
E 是AD 上的一点，BE AC 10==，AE 2=，BE 的延长线交AC 于点
F ，则EF 的长为（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.5
D ．3
8．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（ ）
A ．3A
B =，4B
C =，7CA =
B ．4A
C =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒
D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒ 9．如图，ABC 中，BC 边上的高是（ ）
A ．AE
B ．AD
C ．C
D D ．CF
10．如图，在ABC 中，AD 是角平分线，AE 是高，已知2BAC B ∠=∠，2B DAE ∠=∠，那么C ∠的度数为（ ）
A ．72°
B ．75°
C ．70°
D ．60° 11．下列长度的四根木棒，能与3cm ，7cm 长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ） A ．3cm B ．10cm C ．4cm D ．6cm 12．如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上________根木条（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二、填空题
13．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．
14．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________． 15．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．
16．已知点A 、E 、F 、C 在同一条直线l 上，点B 、D 在直线l 的异侧，若AB=CD ，AE=CF ，BF=DE ，则AB 与CD 的位置关系是_______．
17．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm,6cm AC BC ==，直线l 经过点C 且与边AB 相交，动点P 从点A 出发沿A C B →→路径向终点B 运动，动点Q 从点B 出发沿B C A →→路径向终点A 运动，点P 和点Q 的速度分别为3cm/s 和2cm/s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PM l ⊥于点M ，QN l ⊥点N ，设运动时间为t 秒，则当t =__________秒时，PMC △与QNC 全等．
18．如图，△ABC 的两条中线AD 、BE 相交于点G ，如果S △ABG ＝2，那么S △ABC ＝_____．
19．如图，P 为正五边形ABCDE 的边AE 上一点，过点P 作PQ //BC ，交DE 于点Q ，则∠EPQ 的度数为_____．
20．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中90C =∠，90F ∠=，30D ∠=，45A ∠=，则12∠+∠等于___________度．
三、解答题
21．如图1，在直角△ABC 中，∠C=90°，分别作∠CAB 的平分线AP 和AB 的垂直平分线DP ，交点为P ．
（1）如图2，若点P 正好落在BC 边上．
①求∠B 的度数；
②求证：BC=3PC ．
（2）如图3，若点C 、P 、D 恰好在一条直线上，线段AD 、PD 、BC 之间的数量关系是否满足AD +PD=BC ？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．
22．已知：如图，MON ∠为锐角，点A 在射线OM 上．
求作：射线AC ，使得//AC ON ．
小静的作图思路如下：
①以点A 为圆心，AO 为半径作弧，交射线ON 于点B ，连接AB ；
②作MAB ∠的角平分线AC ．
射线AC 即为所求的射线．
（1）使用直尺和圆规，按照小静的作图思路补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：OA AB =，
O ABO ∴∠=∠（__________）．
MAB ∠是AOB 的一个外角，
MAB ∴∠=∠_________+∠__________．
12
ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，
12
BAC MAB ∴∠=∠． ABO BAC ∴∠=∠．
//AC ON ∴（__________）．
23．如图，点E 在线段BD 上，已知,,AB AC AD AE BE CD ===．
（1）求证：BAC EAD ∠=∠．
（2）写出123∠∠∠、、之间的数量关系，并予以证明．
24．在数学课本中，有这样一道题：如图1，AB ∥CD ，试用不同的方法证明∠B +∠C ＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B +∠C ＝∠BEC
求证：AB ∥CD
证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，
∴∠B ＝∠
∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知）
∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠FEC （等量代换）
∴∠ ＝∠ （等式性质）
∴EF ∥
∵EF ∥AB
∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB ∥CD ，在∠BCD 的平分线上取两个点M 、N ，使得∠BMN ＝∠BNM ，求证：∠CBM ＝∠ABN ．
（3）如图4，已知AB ∥CD ，点E 在BC 的左侧，∠ABE ，∠DCE 的平分线相交于点F ．请直接写出∠E 与∠F 之间的等量关系．
25．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，ABC 的外角CBD ∠的平分线BE 交AC 的延长线于点E ．
（1）求CBE ∠的度数；
（2）过点D 作//DF BE ，交AC 的延长线于点F ，求F ∠的度数．
26．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的对角线总数．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=CE，然后根据等边对等角可得∠ECD=∠A，再根据三角形内角和等于180°求出∠B=72°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BEC=72°，然后根据等角对等边的性质和勾股定理解答．【详解】
解：∵D是AC的中点，ED AC
⊥交AB于点E，
∴ED垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴∠ECD=∠A，
∵∠A=36°，
∴∠ECD=36°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=1
2
（180°-36°）=72°，
∵∠ECD=∠A=36°，
∴∠BEC=∠ECD+∠A=36°+36°=72°，
∴∠B=∠BEC，
∴BC=CE，
∵AE=CE，ED⊥AC，∴CD=1
2
AC=3，
在Rt△CED中，
∴
故选A．
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角以及等角对等边的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．
【详解】
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
3．C
解析：C
【分析】
根据关于坐标轴对称的规律，关于谁对称谁不变，另一个坐标变为相反数即可获得a 和b 的值，然后即可得解．
【详解】
∵点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称
∴2a =，3b =-
∴()
()20182018231a b +=-= 故选：C ． 【点睛】
本题考查了在坐标平面直角坐标系中关于x 轴对称的点的坐标的变化规律，点(),x y 关于x 轴对称的点的坐标为()x y -，，熟记规律即可得到正确答案．
4．B
解析：B
【分析】
根据线段垂直平分线性质得出 AD = DC ，求出和 AB + BC 的长，即可求出答案．
【详解】
DE 是 AC 的垂直平分线,AE=3cm,.
∴ AC=2AE=6cm ，AD = DC ,
△ ABD 的周长为13cm ，
∴ AB + BD +AD=13cm ，
∴AB + BD + DC = AB +BC=13cm
∴ △ ABC 的周长为 AB + BC +AC=13cm+6cm=19cm ，
故选 B ．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
5．D
解析：D
【分析】
求出∠PDA=∠PEA=90°，∠DAP=∠EAP ，根据AAS 推出两三角形全等即可．
【详解】
解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AF ，
∴∠PDA=∠PEA=90°，
∵AP 平分∠BAF ，
∴∠DAP=∠EAP ，
在△APD 和△APE 中
DAP EAP PDA PEA AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△APD ≌△APE （AAS ），
故选：D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．
6．C
解析：C
【分析】
先证明()ABC CED SSS ∆≅∆得到B E ∠=∠、FCD FDC ∠=∠，再根据
1802ACE ABC x ∠=︒-∠-︒可得2CFE x ∠=︒；然后根据外角的性质可得
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠即可解答．
【详解】
解：在ABC ∆和CED ∆中，
AC CD AB CE BC ED =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ABC CED SSS ∴∆≅∆，
B E ∴∠=∠，FCD FD
C ∠=∠
1802180ACE ABC x E CFE ∠=︒-∠-︒=︒-∠-∠，
2CFE x ∴∠=︒，
2EFC FDC FCD FDC ∠=∠+∠=∠=2x ︒，
FDC x ∴∠=︒．
故答案为C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．
7．A
解析：A
【分析】
先证明Rt ACD ≌()Rt BED HL ，得CD ED AD AE 6==-=，
CAD EBD ∠∠=，再证BE AC ⊥，然后由三角形面积关系求出BF 11.2=，则EF BF BE 1.2=-=．
【详解】
解：AD 是ABC 的高，
AD BC ∴⊥，
ADC BDE 90∠∠∴==︒，
在Rt ACD 和Rt BED 中，
AC BE AD BD =⎧⎨=⎩
， Rt ACD ∴≌()Rt BED HL ，
CD ED AD AE 826∴==-=-=，CAD EBD ∠∠=，
C CA
D 90∠∠+=︒，
C EB
D 90∠∠∴+=︒，
BFC 90∠∴=︒，
BE AC ∴⊥， ABC 的面积ABD =的面积ACD +的面积，
111AC BF AD BD CD AD 222
∴⨯=⨯+⨯， AC BF AD BD CD AD ∴⨯=⨯+⨯，
即10BF 8886112=⨯+⨯=，
BF 11.2∴=，
EF BF BE 11.210 1.2∴=-=-=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形面积等知识；证明三角形全等是解题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
利用构成三角形的条件，以及全等三角形的判定得解.
【详解】
解：A ，AB BC CA +=，不满足三边关系，不能画出三角形，故选项错误； B ，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；
C ，不满足三角形全等的判定，不能画出唯一的三角形，故选项错误；
D ，可以利用直角三角形全等判定定理HL 证明三角形全等，故选项正确.
故选:D
【点睛】
本题考查三角形全等的判定以及构成三角形的条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法.
9．B
解析：B
【分析】
根据从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，确定出答案即可．
【详解】
由图可知，过点A 作BC 的垂线段AD ，则ABC 中，BC 边上的高是AD ．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角形的高的定义，熟记概念是解题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
利用角平分线的定义和三角形内角和定理，余角即可计算．
【详解】
由图可知DAE DAC EAC ∠=∠-∠，
∵AD 是角平分线． ∴12DAC BAC ∠=
∠， ∴12
DAE BAC EAC ∠=∠-∠， ∵90EAC C ∠=︒-∠， ∴1(90)2
DAE BAC C ∠=
∠-︒-∠ ∵2BAC B ∠=∠，2B DAE ∠=∠， ∴14(90)2
DAE DAE C ∠=⨯∠-︒-∠，
∴90DAE C ∠=︒-∠
∵180C B BAC ∠=︒-∠-∠，
∴18024C DAE DAE ∠=︒-∠-∠，
∴1802(90)4(90)C C C ∠=︒-︒-∠-︒-∠，
∴72C ∠=︒．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理以及余角．根据题意找到角之间的数量关系是解答本题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
根据三角形的三边关系解答．
【详解】
解：∵三角形的两边为3cm ，7cm ，
∴第三边长的取值范围为7-3＜x ＜7+3，
即4＜x ＜10，
只有D 符合题意，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．
12．B
解析：B
【分析】
根据三角形的稳定性，要使它不变形，只需每一条边都分别在一个三角形之中即可
【详解】
解：要使六边形木框不变形，则需每一条边都分别在一个三角形之中，观察图形可得，至少还需要再钉上3根木条
故选：B
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性，观察图形如何使每一条边都分别在一个三角形之中是解决本题的关键
二、填空题
13．【分析】利用余角等腰三角形和三角形外角的性质即可求出【详解】∵∴∵∴根据题意可知∴∴故答案为：45【点睛】本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角找出图形中角的等量关系是解答本题的关键
解析：45
【分析】
利用余角、等腰三角形和三角形外角的性质即可求出．
【详解】
∵BDA DAE AEC ∠=∠+∠，DAE DAC EAC ∠=∠+∠，
∴BDA DAC EAC AEC ∠=∠+∠+∠．
∵90DAC BAC BAD BAD ∠=∠-∠=︒-∠，
∴90BDA BAD EAC AEC ∠=︒-∠+∠+∠．
根据题意可知=BDA BAD EAC AEC ∠=∠∠∠，．
∴45BDA AEC ∠-∠=︒，
∴=45DAE ∠︒．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查等腰三角形和三角形外角的性质以及余角．找出图形中角的等量关系是解答本题的关键．
14．【分析】题中没有指明长为的边长是腰还是底则分两种情况进行分析还应验证是否满足三角形的三边关系【详解】当腰长是时底边长不能构成三角形；当底长是时三角形的腰能构成三角形其他两边长为故答案为：【点睛】本题 解析：9，9
【分析】
题中没有指明长为6的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．
【详解】
当腰长是6时，底边长246612=--=，6、6、12不能构成三角形；
当底长是6时，三角形的腰()24629=-÷=，6、9、9能构成三角形，其他两边长为9、9．
故答案为：9，9．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
15．61°【分析】首先利用直角三角形的性质求得∠ABC 的度数然后利用角平分线的判定方法得到BD 为∠ABC 的平分线再求出∠ABD 的度数根据三角形外角的性质进而求得结论【详解】解：∵∠A=32°∠ACB=9
解析：61°
【分析】
首先利用直角三角形的性质求得∠ABC 的度数，然后利用角平分线的判定方法得到BD 为∠ABC 的平分线，再求出∠ABD 的度数，根据三角形外角的性质进而求得结论．
【详解】
解：∵∠A=32°，∠ACB =90°，
∴∠CBA=58°，
∵DE ⊥AB ，DC ⊥BC ，DC=DE ，
∴BD 为∠ABC 的平分线，
∴∠CBD=∠EBD ，
∴∠CBD=
12∠CBA=12
×58°=29°, ∴∠BDC=∠A+∠ABD=32°+29°=61°． 故答案为：61°．
【点睛】
本题考查了角平分线的判定与性质，解题的关键是根据已知条件得到BD 为∠ABC 的平分线，难度不大．
16．AB//CD 【分析】先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE 然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF 最后根据内错角相等两直线平行即可解答【详解】解：∵AE=CF ∴AE+EF=CF+EF 即AF=EC 在
解析：AB//CD
【分析】
先利用SSS 证明△ABF ≌△CDE ，然后根据全等三角形的性质得到∠DCE=∠BAF ，最后根据内错角相等、两直线平行即可解答．
【详解】
解：∵AE=CF ，
∴AE+EF=CF+EF,即AF=EC
在△ABF 和△CDE 中，
,,,AB CD AF EC BF DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△CDE （SSS ），
∴∠DCE=∠BAF ．
∴AB//CD ．
故答案为：AB//CD ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，运用全等三角形的知识得到∠DCE=∠BAF 成为解答本题的关键．
17．2或【分析】分点Q 在BC 上和点Q 在AC 上根据全等三角形的性质分情况列式计算【详解】由题意得AP ＝3tBQ ＝2tAC ＝8cmBC ＝6cmCP ＝8﹣3tCQ ＝6﹣2t①如图当与全等时PC=QC 解得；②如
解析：2或145
．
【分析】
分点Q 在BC 上和点Q 在AC 上，根据全等三角形的性质分情况列式计算．
【详解】
由题意得，AP ＝3t ，BQ ＝2t ，
AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，
∴ CP ＝8﹣3t ，CQ ＝6﹣2t ，
①如图，当PMC △与QNC 全等时，PC=QC ，
6283t t -=-，解得2t =；
②如图，当PMC △与QNC 全等时，点P 已运动至BC 上，且与点Q 相遇， 则PC=QC ，6238t t -=-，解得145
t =；
故答案为：2或
145
． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解决问题的关键． 18．6【分析】根据DE 分别是三角形的中点得出G 是三角形的重心再利用重心的概念可得：2GD ＝AG 进而得到S △ABG ：S △ABD ＝2：3再根据AD 是△ABC 的中线可得S △ABC ＝2S △ABD 进而得到答案【详
解析：6
【分析】
根据D ，E 分别是三角形的中点，得出G 是三角形的重心，再利用重心的概念可得：2GD ＝
AG进而得到S△ABG：S△ABD＝2：3，再根据AD是△ABC的中线可得S△ABC＝2S△ABD进而得到答案．
【详解】
解：∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，
∴2GD＝AG，
∵S△ABG＝2，
∴S△ABD＝3，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC＝2S△ABD＝6．
故答案为：6．
【点睛】
此题主要考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的两倍．
19．36°【分析】连接AD由正五边形的性质可得∠B＝∠BAE＝∠E∠EDC＝∠C ＝108°AE＝DE由等腰三角形的性质可求∠AED＝∠EDA＝36°可证AD∥PQ由平行线的性质可求解【详解】解：连接AD
解析：36°
【分析】
连接AD，由正五边形的性质可得∠B＝∠BAE＝∠E∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，由等腰三角形的性质可求∠AED＝∠EDA＝36°，可证AD∥PQ，由平行线的性质可求解．
【详解】
解：连接AD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠B＝∠BAE＝∠E=∠EDC＝∠C＝108°，AE＝DE，
∴∠AED＝∠EDA＝36°，
∴∠BAD＝72°，
∵∠BAD+∠ABC＝180°，
∴BC∥AD，
∵PQ∥BC，
∴AD∥PQ，
∴∠EPQ＝∠EAD＝36°，
故答案为：36°．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和外角，等腰三角形的性质，平行线的性质，灵活运用这些性质
解决问题是本题的关键．
20．210【分析】由题意得：∠1=∠D+∠DGA∠2=∠F+∠FHB然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH∠2=∠F+∠CHG最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值【详解】解：如图给
解析：210
【分析】
由题意得：∠1=∠D+∠DGA，∠2=∠F+∠FHB，然后由对顶角相等的性质得∠1=∠D+CGH，∠2=∠F+∠CHG，最后由直角三角形两锐角互余的性质可以算出∠1+∠2的值．
【详解】
解：如图，给两三角板的两个交点标上G、H符号，
则∠1=∠D+∠DGA=∠D+CGH，∠2=∠F+∠FHB=∠F+∠CHG，
∴∠1+∠2=∠D+CGH+∠F+∠CHG
=∠D+∠F+（CGH+∠CHG）
=30°+90°+90°
=210°，
故答案为210 ．
【点睛】
本题考查直角三角形的应用，灵活运用直角三角形两锐角互余、三角形的外角性质和对顶角相等的定理求解是解题关键．
三、解答题
21．（1）①∠B的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析
【分析】
（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明
BP=2PD，进而即可得到结论；
（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．
【详解】
（1）①∵DP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
∴∠PAD=∠B ，
又∵AP 平分∠CAB ，
∴∠PAD=∠PAC ，
∴∠PAD=∠PAC=∠B ，
设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，
∵在Rt ABC 中，∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
即3x=90，x=30，
∴∠B 的度数是30°．
②∵AP 平分∠CAB ，∠C=90°，DP ⊥AB ，
∴PC=PD ，
∵在Rt △BDP 中，∠B=30°，
∴BP=2PD ，
∴BC=BP+PC=3PC ．
（2）如图，过点P 作PE ⊥AC 于点E ，
∵CD 是AB 的垂直平分线，
∴AC=BC ，
∴∠ACD=∠BCD=
12
∠ACB=45°． ∵PE ⊥AC ，
∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE ，
∴PE=CE ，
又∵AP 平分∠CAB ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，
∴PE=PD ，
∴在Rt △AEP 和Rt △ADP 中， ,,AP AP PE PD =⎧⎨=⎩
∴Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），
∴AE=AD ，
∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD ，
又∵AC=BC ，
∴AD+PD=BC ．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．
22．（1）见解析；（2）等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行
【分析】
（1）按照步骤作图即可；
（2）由作法知，OA=AB ，AC 是∠MAB 的平分线，然后根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义说明即可．
【详解】
解：（1）作图如下：
（2）证明：OA AB =，
O ABO ∴∠=∠（等边对等角）．
MAB ∠是AOB 的一个外角，
MAB O ABO ∴∠=∠+∠
12
ABO MAB ∴∠=∠． AC 平分MAB ∠，
12
BAC MAB ∴∠=∠. ABO BAC ∴∠=∠.
//AC ON ∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：等边对等角；O ；ABO ；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了作一条线段等于已知线段，作角的角平分线，以及等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及角平分线的定义等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 23．（1）证明见解析；（2）312∠=∠+∠，证明见解析．
【分析】
（1）根据SSS 证BAE CAD ≅，推出 1BAE ∠=∠即可；
（2）根据全等三角形性质推出1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，代入 3BAE ABE ∠=∠+∠求出即可．
【详解】
证明：（1）∵在BAE △和CAD 中
AE AD AB AC BE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴
()BAE CAD SSS ≌， ∴1BAE ∠=∠，∴1BAE EAC EAC ∠+∠=∠+∠，
∴BAC EAD ∠=∠．
（2）312∠=∠+∠，
证明：∵BAE CAD △≌△，
∴1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，
∵3BAE ABE ∠=∠+∠，
∴312∠=∠+∠．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
24．（1）BEF ，C ，CEF ，CD ；（2）证明见解析；（3）∠E ＝2∠F
【分析】
（1）过点E ，作EF ∥AB ，根据内错角性质即可得出∠B ＝∠BEF ，利用等量代换即可证出∠C ＝∠CEF ，进而得出EF ∥CD ．
（2）如图3，过点N 作NG ∥AB ，交BM 于点G ，可以知道NG ∥AB ∥CD ，由平行线的性质得出∠ABN ＝∠BNG ，∠GNC ＝∠NCD ，由三角形的外角性质得出∠BMN ＝
∠BCM +∠CBM ，证出∠BCM +∠CBM ＝∠BNG +∠GNC ，进而得出∠BCM +∠CBM ＝∠ABN +∠NCD ，由角平分线得出∠BCM ＝∠NCD ，即可得出结论．
（3）如图4，分别过E ，F 作EG ∥AB ，FH ∥AB ，则EG ∥CD ，FH ∥CD ，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【详解】
（1）证明：如图2，过点E ，作EF ∥AB ，
∴∠B ＝∠BEF ，
∵∠B +∠C ＝∠BEC ，∠BEF +∠FEC ＝∠BEC （已知），
∴∠B +∠C ＝∠BEF +∠FEC （等量代换），
∴∠C ＝∠CEF （等式性质），
∴EF ∥CD ，
∵EF ∥AB ，
∴AB ∥CD （平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF ，C ，CEF ，CD ；
（2）如图3所示，过点N 作NG ∥AB ，交BM 于点G ， 则NG ∥AB ∥CD ，
∴∠ABN ＝∠BNG ，∠GNC ＝∠NCD ，
∵∠BMN 是△BCM 的一个外角，
∴∠BMN ＝∠BCM +∠CBM ，
又∵∠BMN ＝∠BNM ，∠BNM ＝∠BNG +∠GNC ，
∴∠BCM +∠CBM ＝∠BNG +∠GNC ，
∴∠BCM +∠CBM ＝∠ABN +∠NCD ，
∵CN 平分∠BCD ，
∴∠BCM ＝∠NCD ，
∴∠CBM ＝∠ABN ．
（3）如图4，分别过E ，F 作EG ∥AB ，FH ∥AB ，则EG ∥CD ，FH ∥CD ，
∴∠BEG ＝∠ABE ，∠CEG ＝∠DCE ，
∴∠BEC ＝∠BEG +∠CEG ＝∠ABE +∠DCE ，
同理可得∠BFC ＝∠ABF +∠DCF ，
∵∠ABE ，∠DCE 的平分线相交于点F ，
∴∠ABE ＝2∠ABF ，∠DCE ＝2∠DCF ，
∴∠BEC ＝2（∠ABF +∠DCF ）＝2∠BFC ．
【点睛】
本题考察了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键． 25．（1）55CBE ∠=︒；（2）25F ∠=︒．
【分析】
(1)利用三角形的外角性质和角的平分线性质求解即可；
(2)根据三角形外角的性质和两直线平行，同位角相等求解.
【详解】
（1）在ABC 中，30A ∠=︒，80ACB ∠=︒，
3080110CBD A ACB ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒， BE 是CBD ∠的平分线，
111105522
CBE CBD ∴∠=∠=⨯︒=︒； （2）80ACB ∠=︒，55CBE ∠=︒，
805525
CEB ACB CBE
∴∠=∠--
︒
∠=︒=︒，
//
DF BE，
25
F CEB
∴∠=∠=︒.
【点睛】
本题考查了运用三角形外角性质，角平分线性质，平行线的性质求角的度数，熟练并灵活运用这些性质是解题的关键.
26．35条
【分析】
一个多边形的内角和等于外角和的4倍而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1440°．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
【详解】
解：设这是一个n边形，依题意得：
(n-2)．180°=4×360°，
解得n=10
故这个多边形的总条数为
()
10103
35
2
⨯-
=（条）
答：对角线的总数为35条．
【点睛】
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．。