大学物理课后答案8

第8章
8-1目前可获得的极限真空为Pa 1033.111-⨯，求此真空度下3cm 1体积内有多少个分子?（设温度为27℃）
[解]由理想气体状态方程nkT p =
得kT V
N
p =
， 故3323
6
11cm 10213300
1038110110331⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---...kT pV N 8-2使一定质量的理想气体的状态按V p -图中的曲线沿箭头所示的方向发生变化，图线的BC 段是以横轴和纵轴为渐近线的双曲线．
（1）已知气体在状态A 时的温度是K 300A =T ，求气体在B 、C 、D 时的温度．
（2）将上述状态变化过程在T V -图（T 为横轴）中画出来，并标出状态变化的方向．
[解]（1）由理想气体状态方程恒量=T
pV
，可得A →B 这一等压过程中
B
B
A A T V T V =
则60030010
20A A B B =⋅=⋅=
T V V T K 因BC 段为等轴双曲线，所以B →C 为等温过程，则
==B C T T 600K
C →
D 为等压过程，则
C
C
D D T V T V =
30060040
20
C C
D D =⋅=⋅=
T V V T K （2）
8-3有容积为V 的容器，中间用隔板分成体积相等的两部分，两部分分别装有质量为m
的分子1N 和2N 个,它们的方均根速率都是0v ，求： （1）两部分的分子数密度和压强各是多少?
（2）取出隔板平衡后最终的分子数密度和压强是多少?
[解]（1）分子数密度V
N
V N n V
N V N n 2222111122==
==
由压强公式：23
1
v nm p =
可得两部分气体的压强为
V v mN mv n p 32312012011==V
v mN mv n p 32312
022
022=
= （2）取出隔板达到平衡后，气体分子数密度为V
N N V N n 2
1+==
混合后的气体，由于温度和摩尔质量不变，所以方均根速率不变，于是压强为：
()V
mv N N v nm p 33120212
+=
= 8-4在容积为33m 105.2-⨯的容器中，储有15101⨯个氧分子，15104⨯个氮分子，
g 103.37-⨯氢分子混合气体，试求混合气体在K 433时的压强．
[解]由nkT p =
V
N N N n 3
21++=
16237
310933.91002.62
103.3⨯=⨯⨯⨯=-N
则25.04331038.110
5.21033.99104101233
15
1515321=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯=++=--kT V N N N p Pa 8-5有33m 102-⨯刚性双原子理想气体，其内能为J 1075.62⨯． （1）试求气体的压强．
（2）设有22104.5⨯个分子，求分子的平均平动动能及气体的温度．
[解]（1）理想气体的内能kT i
N E 2⋅
=（1） 理想气体的压强kT V
N
nkT p ==（2）
由（1）、（2）两式可得5
3
21035.110251075.6252⨯=⨯⨯⨯⨯==-V E p Pa （2）由kT i
N E 2
⋅=则362104.51038.151075.625222232=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==-kN E T K
又2123105.73621038.12
3
23--⨯=⨯⨯⨯==kT w J
8-6一容积为3cm 10的电子管，当温度为300K 时，用真空泵把管内空气抽成压强为
mmHg 1056-⨯的真空，问此时管内有多少个空气分子?这些分子的总平动动能是多少?总转
动动能是多少?总动能是多少?
[解]由理想气体状态方程kT V
N
p =
得 12
2365610
61.1300
1038.1760101010013.1105⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---kT pV N 个 所以总的平均动能为：
865
6t 1011010760
10013.110523232323---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⋅==pV kT kT pV kT N E J
将空气中的分子看成是由双原子刚性分子组成，总的转动动能为：
865
6r 10666.01010760
10013.110522---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯====pV kT kT pV kT N E J
总动能8r t 10666.1-⨯=+=E E E k J
8-7某些恒星的温度可达K 108的数量级，在这温度下原子已不存在，只有质子存在．试
求：（1）质子的平均动能是多少电子伏?（2）质子的方均根速率是多少?
[解]质子只有3个平动自由度，所以其平均动能也就是它的平均平动动能
4198231029.110602.1/101038.12
3
23⨯=⨯⨯⨯⨯==
--kT E eV 质子的方均根速率为：
6
27
823p 2
p
10
57.110673.1101038.133⨯=⨯⨯⨯⨯==--m kT v m 8-8容器内某理想气体的温度K 273=T ，压强atm 1000.13-⨯=p ,密度为3g/m 25.1,求： （1）气体分子的方均根速率；
（2）气体的摩尔质量，是何种气体?
（3）气体分子的平均平动动能和转动动能； （4）单位体积内气体分子的总平动动能； （5）气体的内能．设该气体有m ol 3.0． [解]（1）由RT pV ν=
所以49310
25.110013.11000.13333
5
32
=⨯⨯⨯⨯⨯===--ρp m kT v s m （2）气体的摩尔质量
p
kT
N m N M ρ0
0mol ==
mol kg 028.010013.11000.12731038.11025.110
02.65
323323
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=---
所以该气体是2N 或CO
（3）气体分子的平均平动动能
J 1065.52731038.12
3232123--⨯=⨯⨯⨯==kT ε
气体分子的转动动能
J 1077.32731038.12
221232--⨯=⨯⨯==kT ε
（4）单位体积内气体分子的总平动动能
32531m J 1052.110013.11000.12
3
2323⨯=⨯⨯⨯⨯==⋅==-p kT kT p n E ε
（5）该气体的内能
J 1070.127331.82
5
3.023.03.03mol ⨯=⨯⨯⨯=⨯==RT i E E
8-9容积为33m 1010-⨯的容器以速率m 200匀速运动，容器中充有质量为50g ，温度为18℃的氢气．设容器突然静止，全部定向运动的动能都转变为气体热运动的动能，若容
器与外界没有热交换，达到平衡时氢气的温度增加了多少?压强增加了多少?氢分子视为刚性分子．
[解]由能量守恒定律知k 22
1
E Mv ∆= 又因T R M M T R i M M E ∆=∆=
∆2
5
2mol mol k
所以K 94.11038.151041035.35523
4
2722mol =⨯⨯⨯⨯⨯===∆--k mv v R M T
由kT V
N p =
Pa 100.410
101035.394.11038.1105043
27233⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆⋅=∆----mV T Mk T k V N p 8-10一摩尔水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几（不计振动自由度）?
[解]由水的分解方程知，1mol 水蒸气分解为1mol 氢气和2
1
mol 氧气．设温度为T ，
1mol 水蒸气的内能RT RT E 326
1==
1mol 氢气的内能RT E 2
5
2=
21mol 氧气的内能RT RT E 4
525213=⨯= 所以RT E E E E 4
3
132=-+=∆
所以内能增加的百分比为
%25%1001
=⨯∆E E
8-11求速度与最概然速率之差不超过最概然速率1%的分子数占分子总数的百分比．
[解]根据题意，由麦克斯韦分布定律
v v e kT m N N kT mv ∆⎪⎭
⎫ ⎝⎛=∆-2
22
32
24ππ 又m
kT
v 2p =
所以p
2
p 2
3p 2
p 2
p
44v v e v v v v e
v N N v v
v v ∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
∆=∆⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--ππ
在p v 附近，p v v ≈p p p p p 02.0100100v v v v v v =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+
=∆ %66.102.041=⨯⨯=∆-e N N π
8-12速率分布函数的物理意义是什么?试说明下列各量的意义： （1）v v f d )(；（2）v v Nf d )(；（3）
v v f v v d )(2
1
⎰
；
（4）v v Nf v v d )(2
1
⎰
；
（5）v v vf v v d )(2
1
⎰
．
[答])(v f 表示在热力学温度T 时，处于平衡状态的给定气体中，单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比．
（1）v v f d )(表示某分子的速率在v ~v +d v 间隔内的概率；或者说速率在v ~v +d v 间隔内的分子数占总分子数的百分比；
（2）v v Nf d )(表示分子速率在v ~v +d v 间隔内的分子数；
（3）
v v f v v d )(2
1
⎰
表示分子速率在1v ~2v 间隔内的概率，或者说该分子速率在1v ~2v 间隔
内的分子数占总分子数的百分比；
（4）v v Nf v v d )(2
1⎰
表示分子速率在1v ~2v 间隔内的分子数；
（5）
v v vf v v d )(2
1
⎰
无直接明显的物理意义，只能表示在1v ~2v 间隔内分子对速率算术平
均值的贡献．
8-13由N 个粒子组成的系统，其速率分布曲线如图所示，当v >02v 时，0)(=v f ，求： （1）常数a ；
（2）速率大于0v 和小于0v 的粒子数；
（3）分子的平均速率．
[解]（1）由归一化条件知曲线下的面积
12
1
00=+=a v a v S
所以
12
3
0=a v 得到032v a =
（2）v <0v 时，曲线下的面积3
12101==a v S ，所以粒子数为N N 311=
v >0v 时，曲线下的面积3
22=S ，所以粒子数为N N 32
2=
（3）()()()⎰
⎰⎰
+==0
00220
120
d d d v v v v v v vf v v vf v v vf v
由图知()v v a
v f 0
1=
()a v f =2 所以020202
020
02
911
611233d d 000
v av v a av v av v v a v v v v v ==+=+=⎰⎰
8-14容积为33m 1030-⨯的容器中，储有kg 10203-⨯的气体，其压强为Pa 107.503⨯．求气体分子的最概然速率、平均速率及方均根速率．
[解]设容器内气体分子总数为N ，则有kT
pV
N = 该气体分子质量为pV
kT
M
N M m == 最概然速率为
m 1090.310
201030107.50222223
3
3p ⨯=⨯⨯⨯⨯⨯====--M pV kT pV M kT m kT v 平均速率为
s m 1040.410
2014.31030107.50888823
3
3⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯====--M pV kT pV M kT m kT v πππ 方均根速率
s m 1078.410
201030107.50333323
3
32
⨯=⨯⨯⨯⨯⨯====--M pV kT pV M kT m kT v 8-15质量为g 102.614-⨯的粒子悬浮于27℃的液体中，观测到它的方均根速率为
cm /s 40.1．
（1）计算阿佛加德罗常数．
（2）设粒子遵守麦克斯韦分布律，求粒子的平均速率．
[解]（1）由方均根速率公式m ol
23M RT v =
得到2mol 3v
RT
M =
阿佛加德罗常数为()/mol 1015.6102.6104.1300
31.8332317
2
22mol 0⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===
--m v RT m M N
（2）mol mol 60.18M RT
M RT v ==
π
而mol
mol 273.13M RT
M RT v ==
所以m 1029.11040.173
.160
.173.160.1222--⨯=⨯⨯==
v v 8-16由麦克斯韦分布律求速率倒数的平均值⎪⎭
⎫
⎝⎛v 1．)21
d (
2
⎰
∞
-=
b
x xe bx ． [解]由麦克斯韦分布律()2
22
32
24v e kT m v f kT mv
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=ππ
所以()2
12
30
222
30
22224d 241d 1
12
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛==
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰
⎰
∞
-∞
kT m m kT kT m v v e kT m v v v f v
v kT mv πππππ 8-17大气压强随高度的变化规律为)exp(mol 0RT
gh
M p p -
=．
拉萨海拔约3600m ，设大气温度为27℃，而且处处相同，求拉萨的大气压是多少?空气的摩尔质量是kg/mol 10293-⨯．海平面处大气压为1atm ．
[解]拉萨大气压强为300
31.83600
8.9102931⨯⨯⨯⨯-
-⨯=e
p atm 0.664atm =
8-18实验测得常温下距海平面不太高处，每升高10m ，大气压约降低1mmHg ，试用恒
温度气压公式证明此结果（海平面处大气压按760mmHg 计，温度取273K ）．
[证明]因为大气压强随高度变化规律为⎪⎭⎫
⎝⎛-=RT gh M p p mol 01exp
升高h ∆后大气压为()⎪⎭
⎫
⎝⎛∆+-=RT h h g M p p mol 02exp
所以
mmHg 95.0127331.8108.91029exp 17601exp exp 3
mol mol 012-=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=∆-RT h g M RT gh M p p p p
8-19重力场中粒子按高度的分布为kT mgh e n n /0-=．设大气中温度随高度的变化忽略不计，在27℃时，升高多大高度，大气压强减为原来的一半．
[解]由nkT p =知，当大气压强减为原来的一半时，20n n =
由kT mgh e n n /0-=得，2
1/=-kT mgh e 即m 60808
.91029300
31.82ln 2ln 2ln 3mol =⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅=
-g M RT mg kT h 8-20试计算空气分子在标准状况下的平均自由程和平均碰撞频率．取分子的有效直径为m 105.310-⨯，空气平均摩尔质量为kg/mol 10293-⨯．
[解]平均自由程
()m 1084.610
013.110
5.314.32273
1038.1221
85
2
102322---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===
p
d kT
n d ππλ
平均碰撞频率
()
1
923
5
32
10
mol 2
2s 1054.6273
1038.110013.1102927331.860.1105.314.32822----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
⨯⨯⨯⨯=⋅
==kT
p M RT d n v d z πππ
8-21一定量的理想气体贮于固定体积的容器中，初态温度为0T ，平均速率为0v ，平均碰撞频率为0z ，平均自由程为0λ．若温度升高为04T 时，求v 、z 和λ各是多少?
[解]平均速率m ol
8M RT
v π=
故当04T T =时，0mol
282
v M RT v ==π
平均碰撞频率n v d z 2π=
因为容器体积不变，分子数密度不变，所以002222z n v d n v d z ===ππ 平均自由程n
d 2
21πλ=
由于n 不变，所以0λλ=
8-22设气体放电管中气体分子数密度为n ．电子不断与气体分子碰撞，因电子速率远大于气体分子的平均速率，所以气体分子可以认为是不动的，设电子的“有效直径”比起气体分子的有效直径d 来可忽略不计．求电子与气体分子碰撞的平均自由程．
[解]因为电子的有效直径可以忽略不计，所以电子与气体分子碰撞的有效半径为2d ，所以一秒钟时间内电子和其他分子碰撞的平均次数为
n v d n v d Z 22
412ππ=⎪⎭
⎫
⎝⎛=
所以平均自由程为n
d Z v 24
πλ==
8-23在质子回旋加速器中，要使质子在km 1015⨯的路径上不和空气分子相撞，真空室内的压强应为多大?设温度为300K ，空气分子的有效直径为m 105.310-⨯，质子的有效直径可忽略不计，空气分子可认为静止不动．
[解]空气分子的有效直径为m 10310-⨯，因为质子的有效直径可以忽略不计，所以质子与空气分子碰撞的有效半径为2d ，碰撞的有效面积为()2
2d π
按题意，要求在体积()l d V 2
2π=()
km 1015⨯=l 最多有一个分子才能满足条件，所以
单位体积内空气分子数为l
d V n 241π==
所以空气压强为()Pa 1031.410
105.314.33001038.14410
8
210232---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===kT l d nkT p π 8-24真空管的线度为m 102-，其中真空度为Pa 1033.13-⨯，设空气分子的有效直径为
m 10310-⨯，求27℃时单位体积内的分子数，平均自由程和平均碰撞频率．
[解]由nkT p =知
31723
3
/m 1021.3300
1038.11033.1⨯=⨯⨯⨯==--kT p n 平均自由程()7.79m m 1021.310314.321
2117
2
102=⨯⨯⨯⨯⨯==
-n d πλ 而真空管的线度为m 102-，所以分子间很难碰撞，空气分子只能与器壁碰撞，所以其自由程为m 102-．
平均碰撞频率由Z v
=
λ知 1423
s 1068.41010
2914.3300
31.8818--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==
=
λπλ
mol M RT v
Z。