新初中数学四边形知识点总复习有答案(1)

新初中数学四边形知识点总复习有答案(1)
一、选择题
1．如图1，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设△BPQ的面积为y（cm2）．运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC的中点时，PQ的长为（）
A．2 B．4 C．3D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
点P、Q的速度比为33x＝2，y＝3P、Q运动的速度，即可求解．【详解】
解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC3a，
设P、Q同时到达的时间为T，
则点P的速度为3a
T
，点Q的速度为
3a
T
，故点P、Q的速度比为33
故设点P、Q的速度分别为：3v3，
由图2知，当x＝2时，y＝3P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝3＝3，
y＝1
2
⨯AB×BQ＝
1
2
⨯6v3v＝3v＝1，
故点P、Q的速度分别为：33AB＝6v＝6＝a，
则AC＝12，BC＝3
如图当点P在AC的中点时，PC＝6，
此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ3＝3CQ＝BC﹣BQ＝33＝3，过点P作PH⊥BC于点H，
PC ＝6，则PH ＝PC sin C ＝6×12＝3，同理CH ＝33，则HQ ＝CH ﹣CQ ＝33﹣23＝3，
PQ ＝22PH HQ +＝39+＝23，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
2．如图，四边形ABCD 是菱形，30ACD ∠=︒，2BD =，则AC 的长度为（ ）
A ．23
B ．22
C ．4
D ．2
【答案】A
【解析】
【分析】 由菱形的性质，得到AC ⊥BD ，由直角三角形的性质，得到BO=1，BC=2，根据勾股定理求出CO ，即可求出AC 的长度.
【详解】
解，如图，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，
∵2BD =，
∴BO=1，
在Rt △OBC 中，30BCO ACD ∠=∠=︒，
∴BC=2，
∴22
CO=-=；
213
AC=；
∴23
故选：A.
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用勾股定理求出OC的长度.
Y的顶点O，A，C的坐标分别为(0,0)，(4,0)，(1,3)，则顶点B 3．如图，若OABC
的坐标为（）
A．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5,4)
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标.
【详解】
解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，OA∥BC，
∴点B的纵坐标为3，
∵点O向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点C，
∴点A向右平移1个单位，向上平移3个单位得到点B，
∴点B的坐标为：（5，3）；
故选：B.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题.
4．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出下列判断：
①EF 是ABC V 的中位线；
②DEF V 的周长等于ABC V 周长的一半：
③若四边形AEDF 是菱形，则AB AC =；
④若BAC ∠是直角，则四边形AEDF 是矩形．
其中正确的是( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②④
D ．①③④ 【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠可得EF 是AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF ∥BC ，进而可得△AEF ∽△ABC ，从而得12AE AF AO AB AC AD ===，进而得到EF 是△ABC 的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是△ABC 的一半，进而得到△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=
12AB ，AF=12
AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC ．
【详解】
解：∵AD 是△ABC 的高，
∴AD ⊥BC ，
∴∠ADC=90°，
根据折叠可得：EF 是AD 的垂直平分线，
∴AO=DO=
12
AD ，AD ⊥EF ， ∴∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠ADC=90°，
∴EF ∥BC ，
∴△AEF ∽△ABC ，
12AE AF AO AB AC AD ===， ∴EF 是△ABC 的中位线， 故①正确；
∵EF 是△ABC 的中位线，
∴△AEF 的周长是△ABC 的一半， 根据折叠可得△AEF ≌△DEF ，
∴△DEF 的周长等于△ABC 周长的一半，
故②正确；
∵EF 是△ABC 的中位线，
∴AE=
12AB ，AF=12
AC ， 若四边形AEDF 是菱形，
则AE=AF ，
∴AB=AC ，
故③正确； 根据折叠只能证明∠BAC=∠EDF=90°，
不能确定∠AED 和∠AFD 的度数，故④错误；
故选：A ．
【点睛】
此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
5．如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，30BE AD
BCE ⊥∠=︒，.若2AE =，则边BC 的长为( )
A 5
B 6
C 7
D ．22【答案】B
【解析】
【分析】 由菱形的性质得出AD ∥BC ，BC=AB=AD ，由直角三角形的性质得出3，在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE 2+22=3）2，解得：2，即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD BC BC AB =，∥.
∵BE AD ⊥.∴BE BC ⊥.
∴30BCE ∠=︒，∴2EC BE =， ∴223AB BC EC BE BE ==-=.
在Rt ABE △中，由勾股定理得()22223BE BE +=
， 解得2BE =
，∴36BC BE ==.
故选B.
【点睛】 此题考查菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
6．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】D
【解析】
【分析】 根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．
【详解】
∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点，
32184EF ∴==>．
∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：
①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；
②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，
186,Q
∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；
③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，
∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．
综上所述，满足题意的点P 的个数是6．
故选D ．
本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别是（0，0），（4，0），（3，2），以A，B，C三点
为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（）.
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】
A点在原点上，B点在横轴上，C点在第一象限，根据平行四边形的性质：两组对边分别平行，可知第四个顶点可能在第一、二、四象限，不可能在第三象限，故选C
8．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
【答案】C
【解析】
试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360
÷72=5（边）.
考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.
9．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③△EFG ≌△GBE；④EG＝EF，其中正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，BO＝DO＝1
2
BD，AO＝CO，AB∥CD，即可得
BO＝DO＝AD＝BC，由等腰三角形的性质可判断①，由中位线定理和直角三角形的性质可判断②④，由平行四边形的性质可判断③，即可求解．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，BO ＝DO ＝12BD ，AO ＝CO ，AB ∥CD ∵BD ＝2AD
∴BO ＝DO ＝AD ＝BC ，且点E 是OC 中点
∴BE ⊥AC ，
∴①正确
∵E 、F 、分别是OC 、OD 中点
∴EF ∥DC ，CD ＝2EF
∵G 是AB 中点，BE ⊥AC
∴AB ＝2BG ＝2GE ，且CD ＝AB ，CD ∥AB
∴BG ＝EF ＝GE ，EF ∥CD ∥AB
∴四边形BGFE 是平行四边形，
∴②④正确，
∵四边形BGFE 是平行四边形，
∴BG ＝EF ，GF ＝BE ，且GE ＝GE
∴△BGE ≌△FEG （SSS ）
∴③正确
故选D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线及等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．如图，平行四边形ABCD 的周长是26,cm 对角线AC 与BD 交于点,,O AC AB E ⊥是BC 中点，AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则AE 的长度为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．8cm
【答案】B
【解析】
【分析】 根据题意，由平行四边形的周长得到13AB AD +=，由AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，则3AD AB -=，求出AD 的长度，即可求出AE 的长度．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD 的周长是26cm ， ∴126132
AB AD +=⨯=， ∵BD 是平行四边形的对角线，则BO=DO ，
∵AOD △的周长比AOB V 的周长多3cm ，
∴()()3AO OD AD AO OB AB AD AB ++-++=-=，
∴5AB =，8AD =，
∴8BC AD ==，
∵AC AB ⊥，点E 是BC 中点， ∴118422
AE BC =
=⨯=； 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题．
11．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，可添加的条件不正确的是（ ）
A ．A
B ∥CD
B ．∠B ＝∠D
C ．A
D ＝BC D ．AB ＝CD
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定解答即可．
【详解】
∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故A 正确；
∵AD ∥BC ，AD=BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故C 正确；
∵AD ∥BC ，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠B=∠D ，
∴∠B+C=180°，
∴AB ∥CD ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，故B 正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查平行四边形的判定，解题关键是根据平行四边形的判定解答．
12．如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若AB ＝AD ＝5，BD
＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）
A．40 B．24 C．20 D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，得到AD=CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO=3，于是得到结论．
【详解】
∵AB＝AD，点O是BD的中点，
∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，
∵∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AB＝5，BO
1
2
=BD＝4，
∴AO＝3，
∴AC＝2AO＝6，
∴四边形ABCD的面积
1
2
=⨯6×8＝24，
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
13．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）
A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=1
2
∠ADC D．∠ADE=
1
3
∠ADC
【解析】
【分析】
【详解】
设∠ADE=x ，∠ADC=y ，由题意可得，
∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，
即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，
由①×3-②可得3x-y=0， 所以13x y =
，即∠ADE=13∠ADC ． 故答案选D ．
考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．
14．如图，点E F G H 、、、分别是四边形ABCD 边AB 、BC 、CD 、DA 的中点.则下列说法：①若AC BD =，则四边形EFGH 为矩形；②若AC BD ⊥，则四边形EFGH 为菱形；③若四边形EFGH 是平行四边形，则AC 与BD 互相平分；④若四边形EFGH 是正方形，则AC 与BD 互相垂直且相等.其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
【分析】 因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形.
因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，
当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形，
故④选项正确，
故选A ．
【点睛】
本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC 时，中点四边形是菱形，当对角线AC ⊥BD 时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD ，且AC ⊥BD 时，中点四边形是正方形．
15．如图，在ABCD Y 中，8AC =，6BD =，5AD =，则ABCD Y 的面积为( )
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
【答案】C
【解析】
【分析】 由勾股定理的逆定理得出90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，得出ABCD Y 是菱形，由菱形面积公式即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴142OC OC AC ===，132
OB OD BD ===， ∴22225OA OD AD +==，
∴90AOD ∠=o ，即AC BD ⊥，
∴ABCD Y 是菱形，
∴ABCD Y 的面积11862422
AC BD =
⨯=⨯⨯=； 故选C ．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABCD 是菱形是解题的关键．
16．如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，则下列条件能判定四边形ABCD 为矩形的是（ ）
A．BA=BC
B．AC、BD互相平分
C．AC⊥BD
D．AB∥CD
【答案】B
【解析】
试题分析：根据矩形的判定方法解答．
解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分．
理由如下：∵AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴▱ABCD是矩形．
其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形．
故选B．
考点：矩形的判定．
17．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若
四边形MBND是菱形，则AM
MD
等于（）
A．3
5
B．
2
3
C．
3
8
D．
4
5
【答案】A
【解析】
试题分析：设AB=a,根据题意知AD=2a，由四边形BMDN是菱形知BM=MD，设AM=b,则BM=MD=2a-b.在Rt△ABM中，由勾股定理即可求值.
试题解析：∵四边形MBND是菱形，
∴MD=MB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°．
设AB=a，AM=b，则MB=2a-b，（a、b均为正数）．
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即a2+b2=（2a-b）2，
解得
a=4b 3， ∴
MD=MB=2a-b=5
3
b ， ∴355
3
AM b MD b ==. 故选A.
考点：1.矩形的性质；2.勾股定理；3.菱形的性质．
18．如图，在菱形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标轴为()4,1, 点D 的坐标为()0,1， 则菱形ABCD 的周长等于（ ）
A ．5
B ．43
C ．45
D ．20
【答案】C
【解析】
【分析】 如下图，先求得点A 的坐标，然后根据点A 、D 的坐标刻碟AD 的长，进而得出菱形ABCD 的周长.
【详解】
如下图，连接AC 、BD ，交于点E
∵四边形ABCD 是菱形，∴DB ⊥AC ，且DE=EB
又∵B ()4,1，D ()0,1
∴E(2，1)
∴A(2，0)
∴AD=()()2220015-+-=
∴菱形ABCD 的周长为：45
故选：C
【点睛】
本题在直角坐标系中考查菱形的性质，解题关键是利用菱形的性质得出点A 的坐标，从而求得菱形周长.
19．如图点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ，连接PB 、PD ，若1AE =，8PF =，则图中阴影部分的面积为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．9
【答案】C
【解析】
【分析】 由矩形的性质可证明S △PEB =S △PFD ，即可求解．
【详解】
作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ．
则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，
S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ，
∴S △DFP =S △PBE =
12
×1×8=4， ∴S 阴=4+4=8，
故选：C ．
【点睛】
此题考查矩形的性质、三角形的面积，解题的关键是证明S △PEB =S △PFD ．
20．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）
A ．1
B ．2
C ．32
D ．85
【答案】C
【解析】
【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．
【详解】
解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，
∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，
由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，
∴CF=5-3=2，
在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，
由勾股定理，得：2222(4)x x +=-， 解得：32x =
； ∴32
BE =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．。