七年级数学因式分解解析版

因式分解
一、选择题
1.（2021七下·昆山月考）下列式子从左到右变形是因式分解的是（）
A.a2+4a−21=a(a+4)−21
B.a2+4a−21=(a−3)(a+7)
C.(a−3)(a+7)=a2+4a−21
D.a2+4a−21=(a+2)2−25【答案】B
解：A、a2+4a−21=a(a+4)−21不是因式分解，故此选错误；
B、a2+4a−21=(a−3)(a+7)，正确；
C、(a−3)(a+7)=a2+4a−21，不是因式分解，故此选错误；
D、a2+4a−21=(a+2)2−25，不是因式分解，故此选错误.
故答案为：B.
【思路引导】把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式，据此判断即可.
2.（2020·广元）下列运算正确的是（）
A.(2a2a)2=2a4a2
B.(−a)2=a2
C.(a+a)2=a2+ a2
D.a3a4=a12
【答案】B
解：A、原式=4a4b2，不符合题意；
B、原式=a2，符合题意；
C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；
D、原式=a7，不符合题意；
故答案为：B.
【思路引导】分别利用幂的乘方和积的乘方、完全平方公式，同底数幂的乘法法则计算即可.
3.（2020七下·北仑期末）下列多项式能用公式法分解因式的是（）
A.4a2+(−a)2
B.−4a2−a2
C.a2+2aa−a2
D.a+1+a2
4
【答案】D
解：观察四个选项，只有选项D能用公式法分解因式
即 a +1+a 24=(a 2)2+a +1=(1+a 2)2 故答案为：D.
【思路引导】根据完全平方公式和平方差公式逐项观察即可得.
4.（2020七下·嘉兴期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A. (a +1)(a −1)=a 2−1
B. a 2−1=(a +1)(a −1)
C. a 2−1+a =(a +1)(a −1)+a
D. a 2−1+a =a (a −1a +1) 【答案】 B
解：A 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
B 、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C 、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
D 、将多项式转化成几个式子的积，存在分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意. 故答案为：B.
【思路引导】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可.
5.（2020七上·大庆期末）若x²+mx+36是完全平方式，则m 的值为（ ）
A. 6
B. ±6
C. 12
D. ±12
【答案】 D
∵x 2+mx+36是完全平方式，
∵m=±12，
故答案选D.
【思路引导】根据完全平方式求出m 的值即可。

6.（2020七上·江北月考）下列各式正确的是（ ）
A. (a +1)−(−a +a )=a +1+a +a
B. a 2−2(a −a +a )=a 2−2a −a +a
C. a −2a +7a =a −(2a −7a )
D. a −a +a −a =(a −a )−(a +a )
【答案】 C
解：A 、 (a +1)−(−a +a )=a +1+a −a ，故本选项错误；
B 、 a 2−2(a −a +a )=a 2−2a +2a −2a ，故本选项错误；
C、a−2a+7a=a−(2a−7a)，故本选项正确；
D、a−a+a−a=(a−a)−(a−a)，故本选项错误.
故答案为：C.
【思路引导】去括号注意：括号前的数要与括号里的每一项相乘，不能漏乘；括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；添括号法则：括号前是负号，括到括号内的各项都要变号，从而对各选项分别化简，可得正确的选项.
7.（2020七上·渌口期中）下列变形正确的是（）
(2a−1)=−2a+1 C.−a+1=−(a−1) D.1−A.−(a+2)=a−2 B.−1
2
a=−(a+1)
【答案】C
A，原式＝−a−2，故本选项变形不符合题意；
B，原式＝−a＋1
，故本选项变形不符合题意；
2
C，原式＝−（a−1），故本选项变形符合题意；
D，原式＝−（a−1），故本选项变形不符合题意.
故答案为：C.
【思路引导】去括号法则，括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去掉括号，括号内加号变减号，减号变加号.
添括号时，如果括号前面是加号，括到括号里的各项都不变符号;如果.括号前面是减号，括到括号里的各项都改变符号.
二、填空题
8.（2020·自贡）分解因式：3a2−6aa+3a2=________．
【答案】3(a−a)2
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式3后继续应用完全平方公式分解即可：3a2−6aa+3a2=3(a2−2ab+ a2)=3(a−a)2．
【思路引导】根据提公因式法和运用公式法进行因式分解，即可求解.
9.（2020七下·高淳期末）分解因式：10aa−15a=________.
【答案】5m(2n-3)
解：原式= 5a⋅2a−5a⋅3
=5a(2a−3).
故答案为：5m(2n-3)
【思路引导】提取各项的公因式5m即可求解.
10.（2020七下·天府新期末）关于x的二次多项式x2+6x+m恰好是另一个多项式的平方，则常数项m＝________．
【答案】9
解：∵二次多项式x2+6x+m恰好是另一个多项式的平方，
∵x2+6x+m=x2+6x+9
∵m＝9．
故答案为：9．
【思路引导】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
11.（2020七下·四川期中）若4a2+aa+9是一个完全平方式，则k=________.
【答案】±12
解：∵4a2+ka+9=（2a）2+ka+32，
∵ka=±2×2a×3，
解得k=±12．
故答案为：±12．
【思路引导】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
12.（2020七上·上海期中）因式分解：
∵ 5(a−a)−a(a−a)=________
∵ a4−16=________
【答案】(a−a)(a+5)；(a2+4)(a+2)(a−2)
∵原式=5(a−a)+a(a−a)，
=(a−a)(a+5)，
故答案为：(a−a)(a+5)；
∵原式=(a2)2−42，
=(a2+4)(a2−4)，
=(a2+4)(a+2)(a−2)，
故答案为：(a2+4)(a+2)(a−2)．
【思路引导】（1）先将原式变形为5(a−a)+a(a−a)，然后提取公因式(y-a)即得；（2）利用平方差公式分解即可.
13.（2021七下·绍兴月考）如果a2+aa+25是一个完全平方式，那么a的值是________. 【答案】±10
解：∵a2+aa+25是一个完全平方式，
∵mx=±2x·5，
∵m=±10，
故答案为：±10.
【思路引导】先根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．利用乘积二倍项列式求解即可．
14.（2020七下·西乡期末）若整式4x2+Q+1 是完全平方式，请你写出满足条件的单项式Q 是________。

【答案】±4x
解：∵整式4x2+Q+1是完全平方式
∵4x2+Q+1=（2x±1）2=4x2±4x+1
∵单项式Q为±4x.
故答案为：±4x.
【思路引导】根据完全平方式a2±2ab+b2，利用已知条件可求出单项式Q。

15.（2020七下·东台月考）若4a2+aaa+9a2恰好为一个整式的完全平方，则常数k的值为________.
【答案】±12
解：∵（2a±3b）2= 4a2±12aa+9a2，
∵在4a2+aaa+9a2中，kab=±12ab，
∵k=±12.
故答案为：±12.
【思路引导】完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2，这里首末两项是2a和3b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2a和3b积的2倍，故k=±12.
三、解答题
16.（2018七下·邵阳期中）已知a2+b2=13，a+b=1，且b＞a，求a-b的值．
【答案】解：∵a2+b2=13，a+b=1，且b＞a，
∵b-a＞0，(a+b)2=a2+b2+2ab，
∵1=13+2ab，即2ab=-12，
∵(a-b)2=(a+b)2-4ab=1+24=25，
则a-b=-5．
【思路引导】先根据(a+b)2=a2+b2+2ab求出2ab的值，再根据(a-b)2=(a+b)2-4ab求解即可. 17.（2018七上·普陀期末）分解因式：a2−25+9a2+6aa．
【答案】解：原式= (a2+6aa+9a2)−25
= (a+3a)2−25
= (a+3a+5)(a+3a−5)
【思路引导】把一个多项式化为几个整式的积的形式是因式分解；首先分组，再运用完全平方公式和平方差公式分解即可.
18.（2019七下·洪江期末）下列各式分解因式：
（1）a2−25
（2）3aa2−6aaa+3aa2
【答案】（1）解：原式=（x+5）（x-5）；
（2）解：原式=3a（x2-2xy+y2）=3a（x-y）2．
【思路引导】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
19.（2019七下·海州期中）因式分解：
（1）3x（a﹣b）﹣6y（b﹣a）；
（2）2ax2﹣2ay2；
（3）（x2+9）2﹣36x2．
【答案】（1）解：原式＝3x（a﹣b）+6y（a﹣b）＝3（a﹣b）（x+2y）
（2）解：原式＝2a（x2﹣y2）＝2a（x+y）（x﹣y）
（3）解：原式＝（x2+9+6x）（x2+9﹣6x）＝（x+3）2（x﹣3）2
【思路引导】（1）原式变形后，提取公因式即可；（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（3）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．
20.（2016七下·澧县期中）把下列多项式因式分解：
（1）x3y﹣2x2y+xy；
（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
【答案】（1）解：原式=xy（x2﹣2x+1）=xy（x﹣1）2
（2）解：原式=9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）
【思路引导】（1）原式提取公因式即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
21.（2020七下·鼎城期中）观察下列式子的因式分解做法：
∵x2-1=(x-1)(x+1)；
∵x3﹣1
=x3﹣x+x﹣1
=x（x2﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x+1）+1]
=（x﹣1）（x2+x+1）；
∵x4﹣1
=x4﹣x+x﹣1
=x（x3﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x3+x2+x+1）；
…
（1）模仿以上做法，尝试对x5﹣1进行因式分解；
（2）观察以上结果，猜想x n﹣1=________；（n为正整数，直接写结果，不用验证）（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．
45+44+43+42+4+1
×（4﹣1）（45+44+43+42+4+1）
= 1
3
= 1
×（46﹣1）
3
．
= 46−1
3
【答案】（1）解：x5﹣1
=x5﹣x+x﹣1
=x（x4﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x3+x2+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x3+x2+x+1）+1]
=（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；
（2）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）
（3）解：
解：(2)x n﹣1
=x n﹣x+x﹣1
=x（x n-1﹣1）+x﹣1
=x（x﹣1）（x n-2+x n-3+…+x+1）+（x﹣1）
=（x﹣1）[x（x n-2+x n-3+…+x+1）+1]
=（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+…+x2+x+1）；
【思路引导】（1）类比上面的作法，逐步提取公因式分解因式即可；（2）由分解的规律直接
即可．
得出答案即可；（3）把式子乘4﹣1，再把计算结果乘1
3
22.（2019七下·濉溪期末）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2-4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）
=y2+8y+16（第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2-4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-2x）（x2-2x+2）+1进行因式分解．
【答案】（1）C
（2）不彻底；（x-2）4
（3）解：（x2-2x）（x2-2x+2）+1
=（x2-2x）2+2（x2-2x）+1
=（x2-2x+1）2
=（x-1）4．
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故答案为：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，
原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4；
故答案为：不彻底，（x-2）4
【思路引导】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2-2x）看作整体进而分解因式即可．
23.（2019七下·永州期末）下面是某同学对多项式(a2−2a)(a2−2a+2)+1进行因式分解的过程：
解：设a2−2a=a
原式=a(a+2)+1（第一步）
=a2+2a+1（第二步）
=(a+1)2（第三步）
=(a2−2a+1)2（第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？________（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为________；
（2）请你模仿上述方法，对多项式(a2−2a)(a2−2a+2)+1进行因式分解.
【答案】（1）不彻底；(x-1)4
（2）解：设x2−2x=y
原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1) 2=(x2−2x+1) 2=(x−1)4
故答案为：(x−1)4.
解：(1)∵ (a2−2a+1)2=(a−1)4，
∵该同学因式分解的结果不彻底.
故答案为：不彻底，(a−1)4.
【思路引导】（1）根据因式分解的步骤进行解答即可；（2）设x2-2x=y，再根据完全平方公式把原式进行分解即可．
24.（2019七下·郴州期末）阅读某同学对多项式(a2−4a+2)(a2−4a+6)+4进行因式分解的过程，并解决问题：
解：设a2−4a=a，
原式=(a+2)(a+6)+4（第一步）
=a2+8a+16（第二步）
=(a+4)2（第三步）
=(a2−4a+4)2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步的变形运用了________（填序号）；
A.提公因式法
B.平方差公式
C.两数和的平方公式
D.两数差的平方公式
（2）该同学在第三步
．．用所设的的代数式进行了代换，得到第四步的结果，这个结果能否进一步因式分解？________（填“能”或“不能”）.如果能，直接写出最后结果________.
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式(a2+6a)(a2+6a+18)+81进行因式分行解. 【答案】（1）C
（2）能；(a−2)4
（3）解：设a2+6a=a
原式=a(a+18)+81
=a2+18a+81
=(a+9)2
=(a2+6a+9)2
=(a+3)4
【思路引导】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2+6x）看作整体进而分解因式即可．
25.（2019七下·长兴月考）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成3(x-1)(x-9)，另一位同学因看错了常数项而分解成3(x-2)(x-4)
（1）求原来的二次三项式；
（2）将(1)中的二次三项式分解因式
【答案】（1）解：3(x-1)(x-9)=3x2-30x+27，3(x-2)(x-4)=3x2-18x+24，
根据题意得：原来的多项式为3x2-18x+27
（2）解：原式=3(x2-6x+9)=3(x-3)2
【思路引导】（1）利用多项式乘以多项式，分别将两代数式化简，再根据题意可得原来的二次三项式。

（2）观察此多项式含有公因式3，因此提取公因式，再利用完全平方公式进行分解因式。