浙江省台州市2012届高三数学期末质量评估试题 文 新人教A版

1
台州市 2011学年
第一学期 高三年级期末质量评估试题 数 学（文） 2012．01
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
Ⅰ 选择题部分（共50分）
参考公式：
球的表面积公式 24S πR = 柱体的体积公式 Sh V =
球的体积公式 343
V πR = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高
其中R 表示球的半径 台体的体积公式
121()3
V h S S =
锥体的体积公式 Sh V 3
1
= 其中1S ，2S 分别表示台体的上底、
下底面积， 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 h 表示台体的高 如果事件A ,B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求．） 1. 复数
31i
i
--等于 （A ）i 21+
（B ）12i -
（C ）2i +
（D ）2i -
2. 集合12
{0,log 3,3,1,2}A =-，集合{|2,}x B y R y x A =∈=∈，则A B =
（A ）{}1
（B ）{}1,2
（C ）{}3,1,2-
（D ）{}3,0,1-
3．向量(1,1),(1,3a x b x =-=+，则“2x =”是“a ∥b ”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充要条件
（D ） 既不充分也不必要条件
4. 已知点)1,1(-A 及圆 04442
2
=++-+y x y x ，则过点A ，且在圆上截得最长的弦所在的直线方程是 （A ）01=-x
（B ）0=+y x
（C ）01=+y
（D ）02=--y x
5. 设函数)(x f 为偶函数，且当)2,0[∈x 时x x f sin 2)(=，当),2[+∞∈x 时
x x f 2log )(=，则=+-)4()3
(f f π
（A ）23+-
（B ） 1
（C ）3
（D ）23+
6. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为
2
（第9题）
（A ）16k ≥? （B ）8k <? （C ）16k <? （D ）8k ≥?
7. 若函数()(1)(01)x x f x k a a a a -=-->≠且在R 上既是奇函
（A （B ）12 （C ）2
（D ）13
9. 如图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 是棱1DD 的中点，F 是 侧面11C CDD 上的动点，且F B 1//平面BE A 1，则F B 1与平面 11C CDD 所成角的正弦值构成的集合是
（A ）{}2 （B ） ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧552
（C ）|23t t ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭
（D ）|t t ⎧≤⎨⎩ 10. 定义在上R 的函数()f x 满足(6)1f =，'()f x 为()f x 的导函数，已知'
()y f x =的图象如图所示，若两个正数,a b 满足
(32)1f a b +>，则
1
1
b a -+的取值范围是 （A ）1(,2)3
-
（B ）1(,)3
-+∞
（C ）1
(,)[0,)3
-∞-⋃+∞
（D ）[2,)+∞
Ⅱ 非选择题部分（共100分）
二、填空题（本题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置） 11.在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的 0.04
0.030.020.01
（第10题）
3
成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩 在[60,70）的学生有40人,则成绩在[70,90）的 有 ▲ 人．
12．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ▲ ．
13.若{}n b 是等比数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有
正确的结论：1n
m
p
p m n n p m b b b b b b ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
．
类比上述性质，相应地，若{}n a 是等差数列，,,m n p 是互不相等的正整数，则有正确的结论： ▲ .
14.在1,2,3,4,5这五个数中，任取两个不同的数记作,a b ，则满足2()f x x ax b =-+有两个不同零点的概率是 ▲ ．
15.为了测量正在海面匀速直线行驶的某航船的速度，在海岸上选取距离为1千米的两个观察点,C D ,在某时刻观察到该航船在
A 处，此时测得30ADC ∠=，3分钟后该船行驶至
B 处，此
时测得60ACB ∠=，45,60BCD ADB ∠=∠=，则船速为 ▲ 千米/分钟．
16.已知圆22
:(2)(1)5C x y -+-=及点B (0,2)，设Q P ,分别是直线02:=++y x l 和圆
C 上的动点，则PQ PB +的最小值为 ▲ .
17．如图，扇形AOB 的弧的中点为M ，动点D C ,分别在
OB OA ,上，且.BD OC =若1=OA ，120AOB ∠=，则
MC MD ⋅的取值范围是 ▲ ．
俯视图
正视图 侧视图
（第12题）
（第15题）
C
（第17题）
B
C
D
A
4
三、解答题（本题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18．（本题满分14分）
已知函数2()cos 2cos f x x x x a ωωω=-+(,0)x R ω∈>的
最小正周期为π，最大值为3. （Ⅰ）求ω和常数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.
19. （本题满分14分）已知数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列.数列{}n a 满足
2log 311n n a b n =-+，n S 是{}n a 的前n 项和.
（Ⅰ）求n S
（Ⅱ）设同时满足条件：①
2
1()2
n n n c c c n N *+++≤∈；②n c M ≤(n N *∈，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n c 叫“特界”数列.判断（1）中的数列{}n S 是否为“特界”数列，并说明理由．
20．（本题满分14分）如图,在三棱锥D ABC -中,
ADC ABC ⊥平面平面,AD DCB ⊥平面,2,AD CD ==4,AB =M 为线段AB 的中点．
（Ⅰ）求证：BC ACD ⊥平面；
（Ⅱ）求二面角A CD M --的余弦值．
21. （本题满分15分）已知函数2
1()ln 22
f x x ax x =-
-. （Ⅰ）当3a =时，求函数()f x 的极大值；
（Ⅱ）若函数()f x 存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．
22.（本题满分15分）已知抛物线2
:4C x y =的焦点为F ，过点()0,1K -的直线l 与C 相
交于,A B 两点，点A 关于y 轴的对称点为D . （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设8
9
FA FB ⋅=
，求DBK ∠的平分线与y 轴的交点坐标. （第20题）
A
B
C
D
M
1
台州市 2011学年
第一学期 高三年级期末质量评估试题
数 学（文）答题卷2012.01
一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分．
二、填空题：本大题共有7小题，每小题4分，共28分．
11．
________________________ 12．________________________ 13． 14．________________________ 15．________________________ 16．________________________ 17．________________________
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效
2
请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效
3
请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效…………………………………………装……………………………………订……………………………………线……………………………………
4
5
台州市2011学年
第一学期高三年级期末质量评估试题
数学（文）参考答案及评分标准
2012.1 一、选择题：
1-10． C B A B D A A C D B 二、填空题：
11．25 12．13
3
π 13．()()()0p n m p n m m a a n a a p a a -+-+-= 14．920 15
．
．31[,]82
三、解答题： 18．（本小题14分）
（I ）
解：2()cos 2cos f x x x x a ωωω=-+ ……………………………………
1分
2cos21x x a ωω=--+2sin(2)16
x a π
ω=-
+-， ………………………
3分
由22T π
πω
=
=，得1ω=． ………………………5分
又当sin(2)16
x π
ω-
=时，max 213y a =+-=，得2a =． (7)
分
（Ⅱ）解：由（I ）知()2sin(2)16
f x x π
=-+，由222()2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-
≤-
≤+
∈Z ，
9分 得6
3
k x k π
π
ππ-≤≤+
， ………………
12分
故()f x 的单调增区间为[,]63
k k π
π
ππ-+()k ∈Z ． …………………
14分 19．（本小题14分）
（I ）解：1112n n n b b q --==, …………2分
122log 311log 2311102n n n a b n n n -=-+=-+=-, …………
4分
21(1)
92n n n S na d n n +=+
=-+．
…………7分
（Ⅱ）解：由
2211211()()102222
n n n n n n n n n S S S S S S a a d
S ++++++++-----====-<，
6
得2
12
n n n S S S +++<，故数列{}n S 适合条件①； …………………10分
又2
2
981
9()(*)2
4
n S n n n n =-+=--+
∈N ，故当4n =或5时，n S 有最大值20， 即n S ≤20，故数列{}n S 适合条件②． …………13分
综上，数列{}n S 是“特界”数列. …………14分 20．（本小题14分）
（Ⅰ）证:取AC 的中点O ，连接DO ，则DO AC ⊥， ∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，
∴DO ⊥BC ． ………3分 又∵AD ⊥平面BCD ，∴AD ⊥BC ． ………6分 ∵DO ∩AD =D ，∴BC ⊥平面ACD ．…………………7分 （Ⅱ）解：取CD 的中点N ，连接,,MO NO MN ,
则MO ∥BC ，∴MO ⊥平面ACD ，∴MO ⊥CD ． …………………8分
∵AD ⊥CD ，ON ∥AD ，∴ON ⊥CD ． 又∵MO ∩ON ＝O ，∴CD ⊥平面MON ， ∴CD ⊥MN ，∴∠MNO 是所求二面角的平面角． ………11分
在Rt △MON
中，12MO BC =
=1
12
ON AD ==， ∴MN ＝22NO MO +＝3，∴cos ∠MNO ＝MN NO ＝3
3
． ………………14分
(其它解法相应给分) 21．（本题满分15分）
（Ⅰ）解：23()ln 22f x x x x =--,2'
321()(0)x x f x x x
+-=-
>． ……………２分
由'()0f x >，得103x <<，由'()0f x <，得1
3
x >． ……………5分
所以()y f x =存在极大值1
5
()ln 33
6
f =--． ……………7分
（Ⅱ）解：2'
21
()(0)ax x f x x x +-=->，
……………
（第20题）
O A
C
D
M
N
7
8分
依题意()0f x '<在(0,)+∞上有解，即2210ax x +->在(0,)+∞上有解． (9)
分
当0a ≥时，显然有解； ……………11分
当0a <时，由方程2
210ax x +-=至少有一个正根，得10a -<<； ……………14分
所以1a >-． ……………15分
另解：依题意()0f x '<在(0,)+∞上有解，即2210ax x +->在(0,)+∞上有解． ………9分 212x a x ->
在(0,)+∞上有解，即2min 12x a x -⎛⎫> ⎪⎝⎭ ， ………11分 由2min
121x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得1a >-． ……………15分
22．（本题满分15分）
（Ⅰ）解:设()()1122,,,A x y B x y ,11(,)D x y -，l 的方程为1y kx =-，
由21,
4,y kx x y =-⎧⎨=⎩得2
440x kx -+=， 从而124x x k +=，124x x =． …………2分
直线BD 的方程为()211121
y y y y x x x x --=++，即()2121144x x x y x x --=+， 令0x =，得1214
x x y ==，所以点F 在直线BD 上. …………6分（Ⅱ）解:因为 ()()()()11221212,1,111FA FB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=+-- 284k =-，
故28849k -=
，解得43k =±， …………9分
8 所以l 的方程为4330,4330x y x y --=++=．
又由（Ⅰ）得
21x x -==，故直线BD
的斜率为2143x x -=±， 因而直线BD
33330y y -+=+-=． ……12分
设DBK ∠的平分线与y 轴的交点为()0,M t ，
则()0,M t 到l 及BD 的距离分别为315t + ，31
4t -， 由313
1
54t t +-=，得1
9t =，或9t =（舍去），
所以D B ∠的平分线与y
轴的交点为10,9M ⎛⎫
⎪⎝⎭. ……15分。