解三角形题中的边与的转化策略,DOC

解三角形题中的边与角的转化策略
舒云水
解答一些解三角形的题目，常常需要运用正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理等知识，将已知条件中的边的关系转化为角的三角函数关系式或将角的三角函数关系式转化为边的关系式，下面谈谈解三角形题中的边与角转化的常见策略﹒
5sin 4
B ，
1=b ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+ac c a ”是解，且
2sin a A 分析：本题已知条件“2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++”是一个边角混合等式，对于这种等式，一般有两种转化思路可考虑：一是将边转化为角；二是将角转化为边﹒本题若将边转化为角，即将已知等式转化为“C B C B C B A sin )sin sin 2(sin )sin sin 2(sin 22+++=”，再化简求A 比较困难﹒而将角化成边“c b c b c b a )2()2(22+++=”，化简得：22b a =bc c ++2，再利用余弦定理很容易求出A
﹒
解：由已知，根据正弦定理得
c b c b c b a )2()2(22+++=，即bc c b a ++=222．
由余弦定理得：A bc c b a cos 2222-+=﹒
故1cos 1202
A A =-=﹒
例3
5
=
．求t a n t a n A
B
“cos a C sin 因此，有B A B A sin cos 5
8
cos sin 52=，
tan 4tan A
B
=﹒ 点拨：运用正弦定理将已知的边角混合关系式转化为只含角的关系式是解决本题的关键﹒
例4设ABC △的内角A 、B 、
C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且c o s 3a B =，sin 4b A =．求
边长a ﹒
分析：本题是一道求边长的题目，先将两个已知等式“sin 4b A =”和“cos 3a B =”整合，即将两个等式左、右两边分别相除，再用正弦定理将a
b 转化为
A
B
sin sin ，化简求出B tan ，再进一步求出B cos 、a ﹒
解：将cos 3a B =、sin 4b A =两式相除，有
4sin sin sin b A B A
2c a
b
-=
，则B C B C B A B A sin cos 2cos sin 2cos sin sin cos +=+，
)sin(2)sin(B C B A +=+，而π=++C B A ，
则A C sin 2sin =，即
2sin sin =A
C
． 思路2：将角转化为边．直接运用余弦定理将A cos 、B cos 、C cos 转化为边，得到边的关系式a c 2=，再运用正弦定理将边的关系转化为角的关系，即可求出
sin sin C
A
的
值．
解法2：在ABC △，由
cos 2cos 2cos A C c a
B b
--=
可得 B a B c C b A b cos cos 2cos 2cos -=-．
由余弦定理可得
c
b c a a b c a a c b a c a c b 222
22222222222-+--+=-+--+．
例C b cos +. （边，式：
sin 3A )将转化
为A sin 3
3
2=
得C C sin 2cos +=3，再根据平方关系1cos sin 22=+C C ，便可求出C sin ．
解：（1）由C b B c A a cos cos cos 3+=及正弦定理得
A A A sin cos sin 3=，
所以3
1
cos =A ．
（2）32
2cos 1sin 2=
-=A A ． 由3
32cos cos =
+C B 得
3
3
2cos )cos(=
+--C C A π，展开易得 C C sin 2cos +=3．
又)是成功C
，
则1(+
2，求b
a
． 答案：1.33；2.4
π
；3.2．。