静定结构内力计算.ppt

【例3－5】截面法求扭矩 （1）AB段：Mn1=MA （2）BC段：Mn2=MA-MB （3）CD段：
（左）Mn3=MA-MB+MC 或（右） Mn3=MD
3.4 平面弯曲内力 3.4.1 梁的平面弯曲 3.4.1.1梁的变形和平面弯曲 弯曲变形：
外力垂直于杆的轴线， 直杆的轴线变为曲线 挠曲线：弯曲变形后的轴线。 横向力：垂直于杆轴线的外力
2、受力分析——画受力图（未知力按正方向假设）
3、平衡方程：X = 0 FND - F - F =0
FND =2F
3.2 轴向拉伸（压缩）时的内力 3.2.1 轴向拉伸（压缩）的概念
1、工程实例
2、特点：
A B
受力特点：直杆、外力作用线与杆的轴线相重合。
变形特点：沿杆轴线方向的伸长或缩短
（也叫纵向伸长或缩短） 简化以后的受力图是：
【例3－3】结点G、D、F
【例3－4】求指定杆件25、34、35内力 25杆：∑M3＝0； 34杆：∑M5＝0； 35杆：∑M1＝0：FN35移到5点，分解
【图3－14】联合桁架——联合应用结点法和截面法
3.3 剪切与扭转的内力 3.3.1 剪切的概念
剪切变形：
一对力大小相等、方向相反、
作用线垂直于杆轴线且距离很近
1
2
1
2
3.2.3 轴力图
表示沿杆长各截面轴力变化规律的图形
• 坐标系：以平行杆轴线坐标x，表示截面的位置
• 轴力的大小：以垂直 于杆轴的坐标FN
•
表示相应截面上轴力
• 正值的轴力画在x轴的上侧
轴力图作用： 1）可以显示各段杆的轴力的
大小、拉压性质及作用截面位置 2）迅速确定杆内最大（小）轴力的位置 3）可以显示各段杆变形（拉压）情况
X = 0 FQ = 0 X= L FQ = -qL 由M(x)可知梁上的弯矩M是X的二次函数式， 弯矩沿梁的轴线按抛物线规律变化。
X=0, M=0 X= L/2 ，M = -qL2/8 X= L， M = -qL2/2
B X
ql ql2/2
【例3－8】悬臂梁在自由端受集中力作用
1、建立内力方程
F
3 静定结构内力计算
3.1 杆件变形的概念
3.1.1 变形体及其基本假设
结构构件——非刚体，内部受力、变形 受力产生变形：拉压、弯曲、剪切等
3.1.1.1 变形体
变形体——固体材料，外力作用，产生变形
弹性变形——外力撤除，恢复原来形状和尺寸的变形 塑性变形——外力撤除，变形不能完全消失，
有残余变形
设
【例3－2】 （FP2位置有误） （1）各段轴力
AB
BC
CD
（2）轴力图
3.2.4 平面桁架的内力计算
计算简图 （1）杆轴线为直线 （2）不考虑自重 （3）结点——理想铰 （4）外力作用在结点上，
与轴线同一平面 ——各杆只有轴力
基本计算方法： 1、结点法 汇交力系（结点脱离体）
——两个独立平衡方程
Σ FY=0, 11-12-FQ1=0 Σ M1=0, M1A+12×1-11×2=0
FQ1= -1kN, M1A=10kN∙m
(3)2-2截面：（图3）
Σ FY=0, FQ2+9-4×1=0 Σ M1=0, M2B+4×1×0.5-9×1=0
FQ2= -5kN, M2B=7kN∙m
3.5 梁的内力图 3.5.1 函数法作梁的内力图
已知力按实际方向画（包括前面步骤求出的力） ——未知力结果符号即未知力符号（正，负） ——M的方向确定杆件的受拉面
【例】（类同【例3－7】） (1)支座反力：（图1） Σ MB=0,
12×3+2×4×1- 4×FAY=0 Σ FY=0, 11+FB-12-2×4=0
FAY=11kN, FB=9kN (2)1-1截面：（图2）
a
M
FYA
FQ
结论：梁弯曲时横截面上的内力有两种：
1）剪力（FQ） ——位于（或相切于）横截面上的内力
2）弯矩（M）——作用面垂直横截面（于对称平面内） 的内力偶
3.4.2.2 剪力和弯矩的符号 1、剪力的正负号
剪力FQ：对脱离体顺时针——为正；反之为负
返回
2、弯矩的正负号 弯矩M：使脱离体弯曲变形为上凹下凸时，
3.5.2.2 内力图的规律（p98，表3－1） 荷载： q = 0， q = c， F作用点，集中力偶M， 铰处
Q图： (Q=0)
(Q=0)
(变号)
M图：
(M极值)
【例3－10】
(1)支座反力
(2)作FQ图－直线 每段2点
(3)作M图－抛物线 每段3点
【例3 －11】
分3段 绘制
校核
3.5.3 叠加原理作梁内力图 3.5.3.1 叠加原理
2、截面法 求m-m上的内力 假想沿m-m截面将梁截开， 取左（或右） MA=0 FY=0
FYA
得： FYA=F/3 FYB=2F/3
a
m
m 2L/3
F
B L/3 FYB
2、内力（A－m段）
FY = 0 FYA - FQ = 0 FQ = F/3
Mm = 0 M - FYA a = 0 M = Fa/3
B Fs(x)= FYA- qx
0≤X≤L
x= 0 Fs= qL/2
x= L Fs= - qL/2
M0≤(xX)≤=FLYAx- qx2 /2
x= 0 M=0
x= L M=0
3）求极值：
令dM(x)/dx=0 qL/2 qL/2- qx =0 x=L/2
dM2(x)/dx2= - q<0
由截面法求出：
A
B
FQ= - F M= - F • x
0xL 0 ≤x ≤L
L X
2、作剪力图弯矩图 正值的剪力画在X轴的上方 正值的弯矩画在X轴的下方
M（X） Fs（X）
F FL
【例3–9 】
A X
q L
A
FYA
M（X） Fs（X）
qL/2
FQ
M: qL2/8
1)求支反力
FYA=FYB=qL/2 2)列内力方程——绘制内力图
＝剪力方程；
微分关系的应用 利用微分关系可画出剪力图和弯矩图， 也可检查已画出的内力图的正确性。 （1）无分布荷载， q(x) =0
剪力FQ=常量， ∴剪力图——水平线， 弯矩图——斜直线。
（2）均布荷载， q(x) =常量。 FQ：x 一次函数， ∴剪力图——斜直线。 M ：x 二次函数， ∴弯矩图——抛物线。
零杆判定
（1）L型结点：无荷载，N1=N2=0 （2）T型结点：无荷载，其中二杆共线
N1=N2，N3=0, （3）X型结点：无荷载，两两共线
N1=N2 ，N3=N4 （4）K型结点：无荷载，其中二杆共线，其余二杆在同
侧，且夹角相等。N3=－N4
三角分解（比例关系）
Fy
FN Fx Fy l lx ly
∴ 有极大值（下凸）
Mmax= qL2/8
画FQ、M 图的具体步骤：
1）利用静力平衡方程求支反力。 2）截面法（取x段）列FQ、M方程。 3）根据剪力方程和弯矩方程作图。
①根据方程确定图形的形状
②定点（找控制点）
水平线： 1点 斜直线： 2点 抛物线： 3点 ③正值的剪力画在X轴的上方， 正值的弯矩画在X轴的下方（杆受拉一侧）。 4）确定最大剪力和最大弯矩的数值 以及它们所在截面的位置。
3、内力的性质：指一截面上分布内力的合力， 像外力一样内力可以是一个力也可是一个力偶（弯矩）
外力→变形－内力 → 材料强度－破坏
3.1.3.2 截面法
1、求内力目的：为了研究杆件的强度
——求出由外力的作用而引起的内力。
2、确定内力的方法：截面法（图3-3）
m
A
CD
F
F
B
F
F
FND
B
m
截面法：求D截面内力——轴力FND 1、假想一横截面在D处切开，取一段为隔离体
3.5.2 利用荷载～内力关系作内力图 3.5.2.1 q、M、FQ的关系
弯矩、剪力、荷载集度间的微分关系
q
FQ = -qx
A
B
X
X
M= - qx2/2
dFS dx
q(x)


dM dx
FS
剪力方程 对x的一阶导数 ＝分布荷载集度；
弯矩方程 对 x的一阶导数
ql ql2/2
杆件——长度 >> 其他两个方向的尺寸
几何元素：横截面、轴线
等截面直杆——轴线为直线、横截面相同的杆件
建筑力学——研究：等截面直杆
3.1.2.2 杆件变形的基本形式（图3－2） 1. 轴向拉伸（压缩）
受大小相等方向相反，作用线与杆轴重合的二力作用 杆件伸长（缩短）
2. 剪切
受大小相等、方向相反， 作用线与杆轴垂直 且有很小距离的二力作用 引起杆的两部分 沿着外力作用方向 发生相对错动的变形
一对力大小相等、方向相反的力偶作用
——杆件在二力之间的截面
沿着外力偶作用方向发生相对转动
扭转角φ：两个截面发生相对转动的角度
剪切角γ ：杆件表面纵向直线转动的角度
外3.扭3.矩2.M2T：扭外矩力偶
扭矩与（外M力n偶）平衡的截面内力 单位：N·m、kN·m
右手螺旋法则——方向： 拇指指向离开截面为正
F
拉
F
压
F
3.2.2 轴力
直杆的轴向拉伸或压缩—— 直杆内部截面受沿杆轴线的一对力作用， 发生的纵向变形
——杆：拉杆或压杆 ——力：轴力 轴力：轴向拉压杆的内力，
作用线沿杆件的轴线
——轴力 FN 单位：（与外力相同）
牛顿（N），千牛顿（kN）。 符号：拉为正
【例3－1】
（1）AB段
（2）BC段
注意： 计算杆件内力时 力的可传性和 力偶的可移性 ——不适用 仅在研究对物体的 运动效果时适用
（3）若分布荷载向下：dFs/dx= d2M/d2x= -q(x)<0 , FQ图递减（↘），M图下凹（ ）。
（4）在集中力作用处 剪力图有突变，突变值＝集中力 弯矩图－折线，折点－集中力处
在集中力偶作用处， 剪力图不变。 弯矩图有突变，突变值＝集中力偶
（5） M图的极值 二次抛物线， 则dM/dx=0即FQ=0的截面上，取得极值。 直线，在端部 即在集中力、 集中力偶作用处
——杆件在二力之间截面，沿外力作用方向相对错动
1）受剪面（剪切面）：发生相对错动截面
2）剪力（Fs）：构件在剪切时受剪面内力
单位：N、kN *剪切受力和变形复杂，实用计算法，
（图3－16）
均匀分布τ=F/A，结果与实际接近
螺栓、铆钉
键、销钉
3.3.2 扭转 3.3.2.1 扭转的概念
扭转变形： 在垂直于杆轴线的平面内，
材料——均匀连续、各向同性的弹性体
（1）均匀连续： 连续：固体内部毫无空隙——变形、位移等连续 均匀：物体内处处材料力学性质是相同的
（2）各向同性： 物体在各个方向上具有完全相同的力学性质。
（3）完全弹性体： 外力不超过一定限度，物体视为完全弹性体
3.1.2 杆件变形的基本形式 3.1.2.1 杆件
2、截面法 平面一般力系（两个以上结点隔离体）
——三个独立平衡方程
求解步骤 （1）反力 （2）零杆判断 （3）结点脱离体
求解方法
——按几何组成的相反次序求解
避免解联立方程
每个结点隔离体仅二个未知力。 平衡方程
力方程：适当投影轴 力矩方程： 平衡——平面内任意点，主矩 = 0 力——沿作用线可任意平移 力矩——将力可分解为投影计算
3. 扭转
在垂直于杆轴线的 两平面内的力偶作用下， 杆的横截面发生相对转动
4. 弯曲
在垂直于杆轴的横向力作用下， 或一对力偶作用 杆件轴线成弯曲
3.1.3 内力、截面法
3.1.3.1 内力
1、外力：一个物体对另一个物体的作用。 例：荷载、支座反力、重力。
2、内力：在外力的作用下发生变形， 引起构件内部相邻各部分间的相互作用。
剪力、弯矩函数（方程）
用函数表示剪力和弯矩随截面位置X的变化规律 FQ = FQ（X） M = M（X）
剪力图和弯矩图
用图形表示剪力和弯矩随截面位置X的变化规律
• FQ、M方程： （0≤x≤L） FQ = -qx M= - qx2/2
q
A X
M（X）
Fs（X）
由FQ(x)可知梁上的剪力FQ是X的一次函数式， 剪力沿梁的轴线按直线规律变化。
平面弯曲的概念：
横截面：至少有一个对称轴 纵向对称平面：
对称轴与梁轴线组成 外力（荷载、反力）：
都在此对称平面内 ——平面弯曲
3.4.1.2 梁的类型 （1）简支梁 （2）外伸梁 （3）悬臂梁
3.4.2 梁的内力 3.4.2.1 剪力和弯矩
1、内力分析：梁横截面——内力——计算
（图3-23）简支梁AB，外力F作用，求m-m截面的内力
即使脱离体下面受拉——弯矩为正；反之为负
3.4.2.3 求指定截面的剪力和弯矩 截面法——求指定截面内力
将杆件在拟求内力截面截开 ——取一侧作脱离体
受力分析——受力图 平衡方程——求所有内力
脱离体受力图
全部联系（约束）要截断，以相应的约束力代替 全部所受的力要画全（荷载、约束力） 未知力按正方向假设，