高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》单元汇编及答案解析

新高考数学《三角函数与解三角形》专题解析(2)
一、选择题
1．已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，则cos α的值为( ) A ．
35
B ．35
-
C ．
45
D ．45
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据已知角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，结合三角函数的定义即可得到cos α的值. 【详解】
因为角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -， 所以34
,,155
x y r =-==， 所以3cos 5
α=-， 故选B. 【点睛】
该题考查的是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题，涉及到的知识点有三角函数的定义，属于简单题目.
2．能使sin(2))y x x θθ=+++为奇函数，且在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．
5π3
B ．
43
π C ．
23
π D ．
3
π
【答案】C 【解析】 【分析】
首先利用辅助角公式化简函数，然后根据函数的奇偶性和单调性求得θ的值. 【详解】
依题意π2sin 23y x θ⎛⎫=++
⎪
⎝
⎭，由于函数为奇函数，故ππ
π,π33
k k θθ+==-，当1,2k =时，2π3θ=
或5π3θ=，由此排除B,D 两个选项.当2π3
θ=时，
()2sin 2π2sin 2y x x =+=-在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦π上是减函数，符合题意.当5π3θ=时，
()2sin 22π2sin 2y x x =+=，在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是增函数，不符合题意.
故选C. 【点睛】
本小题主要考查诱导公式的运用，考查三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题.
3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至
BC ，在旋转的过程中，记([0,])2
ABP x x π
∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区
域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤
∈
⎥⎝⎦
时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯;
根据正切函数图象可知选D. 【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.
4．已知函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的部分图象如图所示，其中()01f =，
5
||2
MN =
，则点M 的横坐标为（ ）
A ．
12
B ．25
-
C ．1-
D ．23
-
【答案】C 【解析】 【分析】 由(0)1f =求出56
πϕ=，由5||23MN π
ω=⇒=，再根据()2f x =可得答案.
【详解】
由函数()2sin()0,,2f x x πωϕωϕπ⎛⎫
⎡⎤=+>∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭的部分图象，
可得(0)2sin 1f ϕ==，56
πϕ∴=
， 2
2512||2243MN ππωω⎛⎫
==+⋅= ⎪
⎝⎭， ∴函数5()2sin 3
6f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
令52sin 236x π
π⎛⎫
+
= ⎪⎝⎭
， 得
52,03
62
x k k π
ππ
π+
=+=得1x =-. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3
π
ω=
，属于中档题.
5．如图所示，已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线的右支上
一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线
C 的离心率是( )
A ．
27
7
B ．
52
C ．
72
D ．7
【答案】C 【解析】 【分析】
利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过求解三角形转化求解离心率即可． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于
原点O 的对称点为B ，满足120AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，可得||||2BF AF a -=，||AF a =，||3BF a =，
60F BF ∠'=︒，所以2222cos60F F AF BF AF BF '=+-︒g ，可得22221
4962
c a a a =+-⨯，
2247c a =，
所以双曲线的离心率为：7e =． 故选：C ．
【点睛】
本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
6．在△ABC 中，7b =，5c =，3
B π
∠=，则a 的值为 A ．3
B ．4
C ．7
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值. 【详解】
因为7,5,3
b c B π
==∠=
，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，
即2
1
4925252
a a =+-⨯⨯
，整理得25240a a --=， 解得8a =或5a =-（舍去），故选D. 【点睛】
该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果.
7．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos a B b A +=，
1a =，b =
c =（ ）
A B ．1
C
D 【答案】B 【解析】 【分析】
先由正弦定理将cos cos a B b A +=中的边转化为角，可得sin()A B +=可求出角6
C π
=，再利用余弦定理可求得结果.
【详解】
解：因为cos cos a B b A +=
，
所以正弦定理得，sin cos sin cos 2cos C
A B B A C
+=
所以sin()A B +=
sin C =
因为sin 0C ≠，所以cos C =， 又因为(0,)C π∈，所以6
C π
=
，
因为1a =
，b =
所以由余弦定理得，2222cos 13211c a b ab C =+-=+-⨯=， 所以1c = 故选：B 【点睛】
此题考查的是利用正、余弦定理解三角形，属于中档题.
8．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c
，若
()sin 03A B C π⎛
⎫+++= ⎪⎝⎭
，b =
2
c =，则角B =（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
512
π 【答案】B 【解析】 【分析】
先由()sin 03A B C π⎛
⎫+++= ⎪⎝
⎭求出3A π=
，然后用余弦定理算出a =再用余弦定理算出cos B 即可. 【详解】
因为()sin 03A B C π⎛⎫
+++= ⎪⎝
⎭
所以
11sin sin 022A A A A A +==
所以tan A =0,2A π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以3A π=
所以由余弦定理得：
222
22co 1
2322s a b c bc A -=+-=+=⎝⎭
所以a =
所以2
222
322cos 2a c b B ac ⎛+- +-===
因为0,2B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以4
B π
=
故选：B
【点睛】
本题考查的是利用余弦定理解三角形，数据不特殊，计算能力是解题的关键.
9．已知函数()()sin 3cos 0x f x x ωωω=->，若集合()(){}
0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A ．35,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．35,22⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．725,
26⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．725,26⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣
3
π
）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：
令2sin （ωx ﹣
3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=
76
π
+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω
，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，
则x A=32
2
ππ
ωω
+，x B=
4
6
ππ
ωω
+，
∵方程f（x）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，∴x A＜π≤x B，
即32
2
ππ
ωω
+＜π≤
4
6
ππ
ωω
+，解得
725
26
ω≤
＜．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知
sin sin(sin cos)0
B A
C C
+-=，a=2，c
，则C=
A．
π
12
B．
π
6
C．
π
4
D．
π
3
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，
∴cosAsinC+sinAsinC=0，
∵sinC≠0，
∴cosA=﹣sinA，
∴tanA=﹣1，
∵π
2
＜A＜π，
∴A= 3π
4
，
由正弦定理可得
c
sin sin
a
C A
=，
∵a=2，
，
∴sinC=
sin
c A
a
=1
2=
22
，
∵a＞c，
∴C=π
6
，
故选B ．
点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
11．函数()2sin sin cos y x x x =+的最大值为（ ）
A ．1
B 1
C
D ．2
【答案】A 【解析】
由题意，得()2
2sin sin cos 2sin 2sin cos sin2cos21y x x x x x x x x =+=+=-+
π
2114x ⎛
⎫=-+≤ ⎪⎝
⎭；故选A.
12．已知函数()3cos(
2)2
f x x π
=+，若对于任意的x ∈R ，都有12()()()f x f x f x 剟
成立，则12x x -的最小值为（ ） A ．4 B ．1
C ．
1
2
D ．2
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意得出()f x 的一个最大值为()2f x ，一个最小值为()1f x ，于此得出12x x -的最小值为函数()y f x =的半个周期，于此得出答案． 【详解】
对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟
成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12min
22
T
x x -=
=，故选D ． 【点睛】
本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．
13．将函数cos y x =的图象先左移4
π，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的1
2，所得图象
的解析式为（ ）
A ．sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
B ．13sin 2
4y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭
C ．1
sin 2
4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
D ．3sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角函数的平移伸缩变换法则得到答案. 【详解】
cos sin 2y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝
⎭向左平移4π个单位，故变为3sin 4y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
纵坐标不变，横坐标缩为原来的12
，变为3sin 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D . 【点睛】
本题考查了三角函数的平移伸缩变换，意在考查学生对于平移伸缩变换的理解和掌握.
14．若函数tan 23y x k π⎛
⎫
=-+ ⎪⎝
⎭，0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图象都在x 轴上方，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．)
+∞ B ．
)
+∞
C ．()
+∞
D ．()
【答案】A 【解析】 【分析】
计算tan 203x π⎛
⎫
<-< ⎪⎝
⎭，tan 23x k π⎛
⎫->- ⎪⎝⎭
恒成立，得到答案.
【详解】
∵0,
6x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，∴203
3x π
π
-<-
<，∴tan 203x π⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，
函数tan 23y x k π⎛⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭，0,6x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
的图象都在x 轴上方， 即对任意的0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，都有tan 203x k π⎛⎫-+> ⎪⎝
⎭，即tan 23x k π⎛⎫->- ⎪⎝⎭，
∵tan 23x π⎛
⎫
-> ⎪⎝
⎭
k -≤，k ≥ 故选：A . 【点睛】
本题考查了三角函数恒成立问题，转化为三角函数值域是解题的关键.
15．函数2()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则()f x 的最大值为（ ）
A ．2
B
C ．
D 或【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称，则有()(0)2
f f π
-=，解得a ，得到函数再求最值. 【详解】
因为函数2
()sin cos 2cos f x a x a x x =+-的图象关于直线4
π
x =-对称， 所以()(0)2f f π
-=，
即220a a +-=， 解得2a =-或1a =，
当2a =-时，()sin 2cos 2cos 44f x x x x x π⎛⎫
=--=-
⎪⎝
⎭
，此时()f x 的最大值为
；
当1a =时，()sin cos 2cos 4f x x x x x π⎛
⎫=+-=- ⎪⎝
⎭，此时()f x ；
综上()f x 或. 故选：D 【点睛】
本题主要考查三角函数的性质，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =
c =( )
A ．
B ．2
C
D ．1
【答案】B 【解析】
1sin A ===cos A =
,
所以2
22122
c c =
+-，整理得2
320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，00
30,60A C B ===不满足内角和定理，排除.
【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.
当求出cos A =
00
30,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.
17．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8
【答案】B 【解析】
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．
18．设函数()()sin f x x x x R =∈，则下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间2,63
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减 D ．3f x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭的一个零点为6
x π
= 【答案】D 【解析】 【分析】
先利用两角和的正弦公式化简函数()f x ，再由奇偶性的定义判断A ；由三角函数的有界性判断B ；利用正弦函数的单调性判断C ；将6
x π
=代入
3f x π⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
判断D . 【详解】
()
sin f x x x = 23sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭， ()f x 周期22,1
T A π
π=
=正确； ()f x 的最大值为2，B 正确，
25,
,,63
326
x x πππππ⎛⎫⎛⎫
∈∴+∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
Q ， ()f x ∴在2,
63
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，C 正确；
6
x π
=
时，1032f x f ππ⎛⎫
⎛⎫+
==≠ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 6x π
=不是3f x π⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的零点，D 不正确. 故选D. 【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断，综合考查两角和的正弦公式以及三角函数的单调性、三角函数的周期性、三角函数的最值与零点，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.
19．化简
21
sin 352sin 20︒︒
-=（ ）
A ．
12 B ．12
-
C ．1-
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】
依题意，原式1cos701
1cos701sin 20122sin 202sin 202sin 202
--
==-⨯=-⨯=-
o o o o o o ，故选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.
20．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
关于（ ） A ．直线3πθ=对称 B ．直线6π
θ=对称 C ．点2,6π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
D ．极点对称
【答案】A 【解析】 【分析】 由4sin 6πρθ⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，得直角坐标方程：22
20x x y -+-=
，圆心为( ，又因为直线3
π
θ=
即：y =
过点(，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭，即：
2
4sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，化简得曲线
的直角坐标方程：2220x x y -+-= ，故圆心为( .
又因为直线3
π
θ=,直角坐标方程为：y = ，直线y =过点(，故曲线关于
直线3
π
θ=
对称
故选：A. 【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.。