宁夏银川市六盘山高级中学2015-2016学年高二下学期第一次月考数学试卷(文科) 含解析

2015-2016学年宁夏银川市六盘山高级中学高二（下）第一次月考
数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内,点（1，2）对应的复数为（）
A．B． C．1+2i D．i+2
2．调查某种药是否对心脏病有治疗作用时，得k≈4。

56,则认为此药物与心脏病之间（）A．有95%的把握认为两者有关
B．约有95％的心脏病患者使用药物有作用
C．有99％的把握认为两者有关
D．约有99％的心脏病患者使用药物有作用
3．计算的结果是()
A．2i B．2+2i C．2﹣2i D．﹣2+2i
4．下面几种推理过程是演绎推理的是(）
A．某校高三8个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{a n｝中,,通过计算a2，a3，a4推理出{a n｝
的通项公式
5．关于相关指数R2，下列说法正确的是（)
A．R2越大，线性相关系数r越小
B．R2越小，线性相关系数越小
C．R2越大，线性相关程度越小，R2越接近0，线性先关程度越大
D．R2≥0且R2越接近1，线性相关程度越大，R2越接近0，线性相关程度越小
6．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直,想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是(）
A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．其它推理
7．用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线"的过程归纳为以下三个步骤:
①则A,B，C,D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误,即直线AC、BD也是异面直线；
③假设直线AC、BD是共面直线；
则正确的序号顺序为（）
A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①
8．有一个回归直线方程为=﹣2x+3，则当变量x增加一个单位时,下面结论正确的是（）
A．y平均增加2个单位B．y平均减少2个单位
C．y平均增加3个单位D．y平均减少3个单位
9．已知x，y∈R，且（x+y)+2i=4x+（x﹣y）i，则（)
A．B．C．D．
10．有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α,则直线b∥直线a”,结论显然是错误的,这是因为（)
A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误
11．已知数列{a n}满足a1=0，a n
=(n∈N*），则a20=（）
+1
A．0 B．C．D．
12．复数z=x+yi（x，y∈R）满足方程|z﹣1｜=2｜z|，则在复平面上表示复数z的动点Z的轨迹图形是（）
A．直线 B．圆C．椭圆 D．抛物线
二、填空题（每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)
13．设,则f（1）+f（﹣1）=，f（2）+f（﹣2)=,f(3）+f（﹣3)=则根据上述结果,可以提出猜想：．
14．某同学在证明命题“"时作了如下分析，请你补充完整．
要证明,只需证明，只需证明，
展开得，即，只需证明14＜18，,
所以原不等式:成立．
15．在研究某新措施对“埃博拉”的防治效果问题时,得到如列联表:
存活数死亡数合计新措施132 150
对照m n 150
合计54
则对照组存活数m=；死亡数n═．
16．对于任意两个复数z1=x1+y1i，z2=x2+y2i（其中x1，y1，x2，y2∈R），定义运算⊙为：z1⊙z2=x1x2+y1y2，设非零复数ω1，ω2满足ω1⊙ω2=0，ω1，ω2在平面直角坐标系中对应的点分别为W1，W2，那么在△W1OW2（其中O为坐标原点）中，∠W1OW2的大小为．
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．求证2sinαcosβ=sin（α+β）+sin（α﹣β）．
18．设复数z满足|z｜=1，且（3+4i）•z是纯虚数,求．
19．求证: +＜2．
20．在某次试验中,有两个试验数据x,y，统计的结果如表格．
x 1 2 3 4 5
y 2 3 4 4 5 （1）在给出的坐标系中画出x,y的散点图；
(2）求出y对x的回归直线方程，并估计当x为10时y的值是多少？21．复数z=2x+（x2﹣1）i,其中x∈R．
（1）若z是实数,求x的值；
（2）求证:|z｜的最小值是1．
22．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞)上的增函数，a，b∈R．
（Ⅰ）若a+b≥0，求证:f（a）+f(b)≥f（﹣a）+f（﹣b）；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论．
2015—2016学年宁夏银川市六盘山高级中学高二（下）第
一次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，点（1，2）对应的复数为（）
A．B． C．1+2i D．i+2
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由复数和复平面内点的对应关系可得结论．
【解答】解：由复数和复平面内点的对应关系可得：
点（1，2）对应的复数为:z=1+2i
故选C
2．调查某种药是否对心脏病有治疗作用时，得k≈4。

56，则认为此药物与心脏病之间（）A．有95%的把握认为两者有关
B．约有95%的心脏病患者使用药物有作用
C．有99%的把握认为两者有关
D．约有99%的心脏病患者使用药物有作用
【考点】独立性检验．
【分析】由于k≈4.56＞3。

841，即可判断出结论．
【解答】解：∵k≈4。

56＞3。

841，
则认为此药物与心脏病之间：约有95%的心脏病患者使用药物有作用．
故选:B．
3．计算的结果是(）
A．2i B．2+2i C．2﹣2i D．﹣2+2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接利用复数的除法运算法则进行计算．
【解答】解:=．
故选：D．
4．下面几种推理过程是演绎推理的是（）
A．某校高三8个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班人数都超过50人B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分
D．在数列{a n｝中，，通过计算a2，a3，a4推理出｛a n}的通项公式
【考点】进行简单的演绎推理．
【分析】需逐个选项来验证，B选项属于类比推理,A选项和D选项都属于归纳推理，只有C 选项符合题意．
【解答】解：A选项，某校高三8个班,1班51人,2班53人，3班52人，由此推测各班人数都超过50人,属于归纳推理，
B选项，由三角形的性质,推测空间四面体性质，属于类比推理；
C选项，具有明显的大前提,小前提，结论,属于典型的演绎推理的三段论形式．
D选项,在数列｛a n｝中，,通过计算a2，a3，a4推理
出{a n}的通项公式，属于归纳推理；
综上，可知,只有C选项为演绎推理．
故选C．
5．关于相关指数R2，下列说法正确的是(）
A．R2越大，线性相关系数r越小
B．R2越小，线性相关系数越小
C．R2越大，线性相关程度越小，R2越接近0，线性先关程度越大
D．R2≥0且R2越接近1，线性相关程度越大，R2越接近0，线性相关程度越小
【考点】相关系数．
【分析】根据相关指数R2，越接近于1时线性相关程度越大，模型的拟合效果越好，R2越接近0时,线性相关程度越小,即可判断结果．
【解答】解：相关指数R2用来刻画回归的效果，在含有一个解释变量的线性模型中,R2恰好等于相关系数r的平方．
R2取值越大,意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好;
所以,相关指数R2≥0且R2越接近1，线性相关程度越大，R2越接近0，线性相关程度越小，D正确．
故选:D．
6．由直线与圆相切时,圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（）
A．归纳推理 B．演绎推理 C．类比推理 D．其它推理
【考点】类比推理．
【分析】从直线想到平面,从圆想到球，即从平面类比到空间．
【解答】解：从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间．用的是类比推理．故选C
7．用反证法证明命题：“若直线AB、CD是异面直线,则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：
①则A,B,C，D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；
②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；
③假设直线AC、BD是共面直线；
则正确的序号顺序为（）
A．①②③ B．③①② C．①③② D．②③①
【考点】反证法．
【分析】根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，可得结论．
【解答】解：用反证法证明命题:“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程：
假设直线AC、BD是共面直线，
则A，B，C，D四点共面，所以AB、CD共面,这与AB、CD是异面直线矛盾，
故所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线，
故选B．
8．有一个回归直线方程为=﹣2x+3，则当变量x增加一个单位时，下面结论正确的是（）
A．y平均增加2个单位B．y平均减少2个单位
C．y平均增加3个单位D．y平均减少3个单位
【考点】回归分析．
【分析】由回归方程的意义可得．
【解答】解：∵﹣2是斜率的估计值,
说明x每增加一个单位，y平均减少2个单位．
故选B
9．已知x，y∈R,且（x+y）+2i=4x+（x﹣y)i，则(）
A．B．C．D．
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】直接利用实部等于实部，虚部等于虚部列式求解x，y的值．
【解答】解：由x，y∈R,且(x+y）+2i=4x+（x﹣y）i,
得,由①得：﹣3x+y=0③．
②+③得：x=﹣1，代入③得：y=﹣3．
∴．
故选:C．
10．有一段演绎推理是这样的：“若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线：已知直线b∥平面α,直线a⊂平面α,则直线b∥直线a”，结论显然是错误的，这是因为(）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误 D．非以上错误
【考点】演绎推理的基本方法．
【分析】分析该演绎推理的三段论,即可得出错误的原因是什么．
【解答】解：该演绎推理的大前提是:若直线平行于平面，则该直线平行于平面内所有直线；小前提是：已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α;
结论是:直线b∥直线a；
该结论是错误的,因为大前提是错误的,
正确叙述是“若直线平行于平面,过该直线作平面与已知平面相交，则交线与该直线平行”．
故选:A．
=（n∈N*）,则a20=（)
11．已知数列{a n}满足a1=0,a n
+1
A．0 B．C．D．
【考点】数列递推式．
【分析】经过不完全归纳,得出
,…发现此数列以3为周期的周期数列，根据周期可以求出a20的值．
【解答】解；由题意知：
∵
∴…
故此数列的周期为3．
所以a20=．
故选B
12．复数z=x+yi（x,y∈R)满足方程|z﹣1｜=2|z｜，则在复平面上表示复数z的动点Z的轨迹图形是(）
A．直线 B．圆C．椭圆 D．抛物线
【考点】轨迹方程；复数求模．
【分析】由题意把｜z﹣1|=2｜z|平方可得关于x、y的方程，化简方程可判其对应的图形．【解答】解：∵z=x+yi，｜z﹣1｜=2|z｜，
∴｜z﹣1|2=(2|z|）2,
∴｜x﹣1+yi|2=（2|x+yi|）2，
∴(x﹣1）2+y2=4（x2+y2），
化简可得3x2+3y2+2x﹣1=0，
可得22+02﹣4×3×（﹣1）=16＞0，
故该方程表示的图形为圆，
故选:B．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．设，则f（1）+f（﹣1）=﹣1,f（2）+f（﹣2）=﹣1，f（3）+f （﹣3）=﹣1则根据上述结果，可以提出猜想：f(n）+f（﹣n）=﹣1(n∈N+)．
【考点】归纳推理．
【分析】利用函数的解析式分别求解函数值，然后利用结果，猜想结论．
【解答】解：，则f(1）+f（﹣1）=﹣1+﹣1=﹣1；
f（2）+f（﹣2)=﹣1+﹣1=﹣1；
f（3）+f(﹣3)=﹣1+﹣1=﹣1；
可以提出猜想：f（n)+f（﹣n）=﹣1．（n∈N+)．
故答案为：﹣1;﹣1；﹣1;f(n）+f(﹣n）=﹣1．（n∈N+）．
14．某同学在证明命题“"时作了如下分析，请你补充完整．
要证明，只需证明，只需证明
，
展开得，即，只需证明14＜18，因为14＜18显然成立, 所以原不等式：成立．
【考点】分析法和综合法．
【分析】把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件,直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止．
【解答】解：要证明,只需证明+＜+，
只需证＜，展开得，即,只需证明14
＜18，
因为14＜18显然成立，
故原不等式：成立．
故答案为+＜+，＜,因为14＜18显然成立．
15．在研究某新措施对“埃博拉”的防治效果问题时，得到如列联表:
存活数死亡数合计新措施132 150
对照m n 150
合计54
则对照组存活数m=114；死亡数n═36．
【考点】独立性检验．
【分析】由题意，求出新措施死亡数，可得n，即可求出m．
【解答】解：由题意,新措施死亡数=150﹣132=18，
所以n=54﹣18=36,
所以m=150﹣36=114．
故答案为：114，36
16．对于任意两个复数z1=x1+y1i，z2=x2+y2i（其中x1,y1,x2，y2∈R），定义运算⊙为：z1⊙
z2=x1x2+y1y2，设非零复数ω1，ω2满足ω1⊙ω2=0,ω1，ω2在平面直角坐标系中对应的点分别
为W1，W2，那么在△W1OW2（其中O为坐标原点）中,∠W1OW2的大小为．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】根据题意得，z1⊙z2=，故有z1⊙z2 =0 时，=0，OZ1⊥OZ2．则w1⊙w2=0时，∠W1OW2的大小为．
【解答】解:∵z1⊙z2=x1x2+y1y2表示坐标运算结果，
∴当z1⊙z2=x1x2+y1y2=0 时，=0，即∠z1 Oz2=，OZ1⊥OZ2．
如果w1⊙w2=0，那么在△W1OW2中，∠W1OW2的大小为，
故答案为：．
三、解答题(本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．求证2sinαcosβ=sin（α+β）+sin（α﹣β)．
【考点】三角函数恒等式的证明．
【分析】根据两角和与差的正弦公式，证明右边=左边即可．
【解答】证明：根据两角和与差的正弦公式，得
右边=sin（α+β）+sin（α﹣β）
=（sinαcosβ+cosαsinβ)+（sinαcosβ﹣cosαsinβ）
=2sinαcosβ=左边．
18．设复数z满足|z｜=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求．
【考点】复数的基本概念;复数求模．
【分析】设出复数z,｜z｜=1可得一个方程，化简（3+4i)•z是纯虚数，又得到一个方程，求得z，然后求．
【解答】解:设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得;
（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi)=3a﹣4b+（4a+3b）i是纯虚数，
则3a﹣4b=0，，
．
19．求证： +＜2．
【考点】不等式比较大小．
【分析】直接法不易求证，可用分析法进行证明．
【解答】证：∵和都是正数，
若证
只需证:
整理得：
即证：21＜25
∵21＜25当然成立
∴原不等式成立
20．在某次试验中，有两个试验数据x，y，统计的结果如表格．
x 1 2 3 4 5
y 2 3 4 4 5 (1）在给出的坐标系中画出x,y的散点图;
(2）求出y对x的回归直线方程，并估计当x为10时y的值是多少？
【考点】线性回归方程；散点图．
【分析】（1)利用所给数据，可得散点图；
（2）利用公式，计算回归系数,即可得到回归方程;x=10代入回归方程，即可得到结论．
【解答】解：（1）散点图如图所示；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
(2）=3，=3.6﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴==0.7﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴=3.6﹣0。

7×3=1.5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴=0.7x+1.5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
当x=10时，=8.5
∴预测y的值为8.5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
21．复数z=2x+（x2﹣1）i，其中x∈R．
(1）若z是实数，求x的值；
（2)求证：|z｜的最小值是1．
【考点】复数求模．
【分析】（1）z是实数，可得x2﹣1=0,解得x．
(2）｜z｜==x2+1，利用二次函数的单调性即可得出最小值．
【解答】（1）解：∵z是实数,∴x2﹣1=0,解得x=±1．
（2）证明：|z｜===x2+1≥1，当x=0时取等号．
∴｜z｜的最小值是1．
22．已知函数f（x）是（﹣∞,+∞）上的增函数，a,b∈R．
(Ⅰ）若a+b≥0，求证：f(a）+f（b）≥f(﹣a）+f(﹣b）；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．
【考点】函数单调性的性质;命题的真假判断与应用．
【分析】(I)由已知中函数f(x）是（﹣∞,+∞)上的增函数,根据a+b≥0，易得a≥﹣b，且b≥﹣a，进而根据单调性的性质和不等式的性质,即可得到答案．
（II）(I)中命题的逆命题为若f（a）+f（b）≥f(﹣a）+f(﹣b)，则a+b≥0，根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假．
【解答】证明：(Ⅰ）因为a+b≥0，所以a≥﹣b．
由于函数f(x)是(﹣∞，+∞）上的增函数，
所以f（a）≥f（﹣b）．
同理,f（b）≥f(﹣a)．
两式相加，得f（a）+f（b）≥f(﹣a）+f(﹣b）．…
（Ⅱ）逆命题：
若f(a）+f（b）≥f（﹣a)+f（﹣b）,则a+b≥0．
用反证法证明
假设a+b＜0,那么
所以f(a）+f（b）＜f（﹣a）+f（﹣b)．
这与f(a）+f（b）≥f（﹣a）+f（﹣b）矛盾．故只有a+b≥0，逆命题得证．
…
2016年10月19日。