陕西省汉中学市南郑区红庙镇初级中学2024届中考猜题数学试卷含解析

陕西省汉中学市南郑区红庙镇初级中学2024届中考猜题数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知一组数据1、2、3、x、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列计算正确的是（）
A．（a2）3＝a6B．a2•a3＝a6C．a3+a4＝a7D．（ab）3＝ab3
3．为了增强学生体质，学校发起评选“健步达人”活动，小明用计步器记录自己一个月（30天）每天走的步数，并绘制成如下统计表：
步数（万步） 1.0 1.2 1.1 1.4 1.3
天数 3 3 5 7 12
在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是（）
A．1.3，1.1 B．1.3，1.3 C．1.4，1.4 D．1.3，1.4
4．下面的图形是轴对称图形，又是中心对称图形的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．由6个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，比较它的正视图、左视图和俯视图的面积，则（）
A．三个视图的面积一样大B．主视图的面积最小
C．左视图的面积最小D．俯视图的面积最小
62的等腰直角三角形与边长为3的等边三角形在同一水平线上，等腰直角三角形沿水平线从左
向右匀速穿过等边三角形时，设穿过时间为t ，两图形重合部分的面积为S ，则S 关于t 的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，⊙O 的直径AB =2，C 是弧AB 的中点，AE ，BE 分别平分∠BAC 和∠ABC ，以E 为圆心，AE 为半径作扇形EAB ，π取3，则阴影部分的面积为（ ）
A 13
24
﹣4 B ．2﹣4
C ．6﹣
524
D ．
325
2
8．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线2
4y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y ＞＞ B ．213y y y ＞＞ C ．231y y y ＞＞ D ．312y y y ＞＞
9．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a 个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为1
3
，则a 等于（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．一组数据：3，2，5，3，7，5，x ，它们的众数为5，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，连接BD与AM，AN分别交于E，F点，则下列结论正确的有_____．
①MN=BM+DN
②△CMN的周长等于正方形ABCD的边长的两倍；
③EF1=BE1+DF1；
④点A到MN的距离等于正方形的边长
⑤△AEN、△AFM都为等腰直角三角形．
⑥S△AMN=1S△AEF
⑦S正方形ABCD：S△AMN=1AB：MN
⑧设AB=a，MN=b，则b
a
≥12﹣1．
12．计算
22
11
x
x x
-
--
的结果为_____．
13．函数y=
1
3
x-
+1
x-的自变量x的取值范围是_____．
14．如图，点A，B在反比例函数y＝1
x
(x＞0)的图象上，点C，D在反比例函数y＝
k
x
(k＞0)的图象上，AC∥BD∥y
轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为3
2
，则k的值为_____．
15．已知m=
4
44
15
3
，n=
4
40
5
3
，那么2016m﹣n=_____．
16．春节期间，《中国诗词大会)节目的播出深受观众喜爱，进一步激起了人们对古诗词的喜爱，现有以下四句古诗词：①锄禾日当午；②春眠不觉晓；③白日依山尽；④床前明月光.甲、乙两名同学从中各随机选取了一句写在纸上，则他们选取的诗句恰好相同的概率为________．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF 交AC的延长线于F．
（1）求证：∠CBF=1
2
∠CAB．（2）若AB=5，sin∠CBF=
5
5
，求BC和BF的长．
18．（8分）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
求反比例函数和一次函数的解析式；直接写出当x＞0时，的解集．点P是x轴上
的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
19．（8分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)
20．（8分）目前节能灯在城市已基本普及，今年某省面向农村地区推广，为响应号召，某商场用3300元购进节能灯100只，这两种节能灯的进价、售价如表：
进价(元/只)售价(元/只)
甲种节能灯30 40
乙种节能灯35 50
()1求甲、乙两种节能灯各进多少只？
()2全部售完100只节能灯后，该商场获利多少元？
21．（8分）解方程：2(x-3)=3x(x-3)．
22．（10分）如图，已知∠A=∠B，AE=BE，点D在AC边上，∠1=∠2，AE与BD相交于点O．求证：EC=ED．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝1．在BC上求作一点P，使PA+PB＝BC；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)求BP的长．
24．如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是度．若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、B
【解题分析】
先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算．
∵数据1、2、3、x、5的平均数是3，
∴1235
5
x
++++
=3，
解得：x=4，
则数据为1、2、3、4、5，
∴方差为1
5
×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2，
故选B．
【题目点拨】
本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．
2、A
【解题分析】
分析：根据幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方公式即可得出答案．
详解：A、幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，原式计算正确；B、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，原式=5a，故错误；C、不是同类项，无法进行加法计算；D、积的乘方等于乘方的积，原式=33
a b，计算错误；故选A．
点睛：本题主要考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、积的乘方计算法则，属于基础题型．理解各种计算法则是解题的关键．
3、B
【解题分析】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，得到这组数据的众数；把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个数的平均数是中位数．
【题目详解】
在这组数据中出现次数最多的是1.1，即众数是1.1．
要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第15、16个两个数都是1.1，所以中位数是1.1．
故选B．
【题目点拨】
本题考查一组数据的中位数和众数，在求中位数时，首先要把这列数字按照从小到大或从的大到小排列，找出中间一个数字或中间两个数字的平均数即为所求．
4、B
【解题分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各个图形进行逐一分析即可．
解：第一个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
第二个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
第三个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图形即是轴对称图形，又是中心对称图形；
∴既是轴对称图形，又是中心对称图形的有两个，
故选：B．
【题目点拨】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．
5、C
【解题分析】
试题分析：根据三视图的意义，可知正视图由5个面，左视图有3个面，俯视图有4个面，故可知主视图的面积最大. 故选C
考点：三视图
6、B
【解题分析】
先根据等腰直角三角形斜边为2，而等边三角形的边长为3，可得等腰直角三角形沿水平线从左向右匀速穿过等边三角形时，出现等腰直角三角形完全处于等边三角形内部的情况，进而得到S关于t的图象的中间部分为水平的线段，再根据当t=0时，S=0，即可得到正确图象
【题目详解】
根据题意可得，等腰直角三角形斜边为2，斜边上的高为1，而等边三角形的边长为3，高
完全处于等边三角形内部的情况，故两图形重合部分的面积先增大，然后不变，再减小，S
关于t的图象的中间部分为水平的线段，故A，D选项错误；
当t＝0时，S＝0，故C选项错误，B选项正确；
故选：B
【题目点拨】
本题考查了动点问题的函数图像，根据重复部分面积的变化是解题的关键
7、A
【解题分析】
∵O的直径AB=2，
∴∠C=90°，
∵C是弧AB的中点，
∴AC BC
=，
∴AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB=∠EBA=22.5°，
∴∠AEB=180°−1
2
(∠BAC+∠CBA)=135°，
连接EO，
∵∠EAB=∠EBA，
∴EA=EB，
∵OA=OB，
∴EO⊥AB，
∴EO为Rt△ABC内切圆半径，
∴S△ABC=1
2
(AB+AC+BC)⋅EO=
1
2
AC⋅BC，
∴2−1，
∴AE2=AO2+EO2=122−1)22，
∴扇形EAB的面积135(422)
π-9(22)
-
△ABE的面积=
1
2
AB⋅2−1，
∴弓形AB的面积=扇形EAB的面积−△ABE的面积22132
-
，
∴阴影部分的面积=12O 的面积−弓形AB 的面积=32−4，
故选：A. 8、C 【解题分析】
首先求出二次函数2
4y x x m =--的图象的对称轴x=2b
a
-
=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞． 故选C ．
点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数
20y ax bx c a =++≠（）的图象性质．
9、A 【解题分析】
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：21
233
a =++， 解
得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A. 10、C 【解题分析】
分析：众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据，一组数据可以有多个众数，也可以没有众数；中位数是指将数据按大小顺序排列起来形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据．根据定义即可求出答案． 详解：∵众数为5， ∴x=5， ∴这组数据为：2,3,3,5,5,5,7， ∴中位数为5， 故选C ． 点睛：本题主要考查的是众数和中位数的定义，属于基础题型．理解他们的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11、①②③④⑤⑥⑦． 【解题分析】
将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ．证明△MAN ≌△HAN ，得到MN=NH ，根据三角形周长公式计算判断①；判断出BM=DN 时，MN 最小，即可判断出⑧；根据全等三角形的性质判断②④；将△ADF 绕点A 顺时针性质90°得到△ABH ，连接HE ．证明△EAH ≌△EAF ，得到∠HBE=90°，根据勾股定理计算判断③；根据等腰直角三角形的判定定理判断⑤；根据等腰直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，判断⑥，根据点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长、三角形的面积公式计算，判断⑦．
【题目详解】
将△ABM 绕点A 逆时针旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADH ． 则∠DAH=∠BAM ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠BAN+∠DAN=45°， ∴∠NAH=45°， 在△MAN 和△HAN 中，
AM AH MAN HAN AN AN ⎧⎪
∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝， ∴△MAN ≌△HAN ，
∴MN=NH=BM+DN ，①正确；
∵
（当且仅当BM=DN 时，取等号） ∴BM=DN 时，MN 最小，
∴BM=1
2
b ， ∵DH=BM=1
2
b ，
∴DH=DN ， ∵AD ⊥HN ， ∴∠DAH=
1
2
∠HAN=11.5°， 在DA 上取一点G ，使DG=DH=
12
b ， ∴∠DGH=45°，
b ， ∵∠DGH=45°，∠DAH=11.5°， ∴∠AHG=∠HAD ， ∴
AG=HG=
2
b ， ∴
AB=AD=AG+DG=
2
b+12
b=12b=a ，
∴222221b a ==-+， ∴222b a
≥-， 当点M 和点B 重合时，点N 和点C 重合，此时，MN 最大=AB ，
即：
1b a
=， ∴222-≤b a ≤1，⑧错误； ∵MN=NH=BM+DN
∴△CMN 的周长=CM+CN+MN=CM+BM+CN+DN=CB+CD ，
∴△CMN 的周长等于正方形ABCD 的边长的两倍，②结论正确；
∵△MAN ≌△HAN ，
∴点A 到MN 的距离等于正方形ABCD 的边长AD ，④结论正确；
如图1，将△ADF 绕点A 顺时针性质90°得到△ABH ，连接HE ．
∵∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，∠DAF=∠BAE ，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
∵EA=EA ，AH=AD ，
∴△EAH ≌△EAF ，
∴EF=HE ，
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD ，
∴∠HBE=90°，
在Rt △BHE 中，HE 1=BH 1+BE 1，
∵BH=DF ，EF=HE ，
∵EF 1=BE 1+DF 1，③结论正确；
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ADC=90°，∠BDC=∠ADB=45°，
∵∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠EDN，
∴A、E、N、D四点共圆，
∴∠ADN+∠AEN=180°，
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形，
同理△AFM是等腰直角三角形；⑤结论正确；
∵△AEN是等腰直角三角形，同理△AFM是等腰直角三角形，
∴
，
，
如图3，过点M作MP⊥AN于P，在Rt△APM中，∠MAN=45°，
∴MP=AMsin45°，
∵S△AMN=1
2
AN•MP=
1
2
AM•AN•sin45°，
S△AEF=1
2
AE•AF•sin45°，
∴S△AMN：S△AEF=1，
∴S△AMN=1S△AEF，⑥正确；
∵点A到MN的距离等于正方形ABCD的边长，
∴S正方形ABCD：S△AMN=
2
1
2
AB
MN AB
=1AB：MN，⑦结论正确．
即：正确的有①②③④⑤⑥⑦，
故答案为①②③④⑤⑥⑦．
【题目点拨】
此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形．
12、﹣2
【解题分析】
根据分式的运算法则即可得解.
【题目详解】
原式＝221x x --＝2(1)1x x ---＝2-， 故答案为：2-．
【题目点拨】
本题主要考查了同分母的分式减法，熟练掌握相关计算法则是解决本题的关键.
13、x≥1且x≠3
【解题分析】
根据二次根式的有意义和分式有意义的条件，列出不等式求解即可． 【题目详解】
根据二次根式和分式有意义的条件可得：
1030,x x -≥⎧⎨-≠⎩
解得：1x ≥且 3.x ≠
故答案为：1x ≥且 3.x ≠
【题目点拨】
考查自变量的取值范围，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键.
14、1
【解题分析】
过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，求出A （1，1），B （2，
12
），C （1，k ），D （2，2k ），将面积进行转换S △OAC ＝S △COM ﹣S △AOM ，S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 进而求解．
【题目详解】
解：过A 作x 轴垂线，过B 作x 轴垂线，
点A ，B 在反比例函数y ＝
1x （x ＞0）的图象上，点A ，B 的横坐标分别为1，2， ∴A （1，1），B （2，
12
）， ∵AC ∥BD ∥y 轴，
∴C （1，k ），D （2，2
k ）， ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为32
， 111112222
OAC COM AOM k S S S k ∴=-=⨯-⨯⨯=-， S △ABD ＝S 梯形AMND ﹣S 梯形AAMNB 1k 11k 1111122224-⎛⎫⎛⎫=
+⨯-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1132242
k k -∴-+=， ∴k ＝1，
故答案为1．
【题目点拨】
本题考查反比例函数的性质，k 的几何意义．能够将三角形面积进行合理的转换是解题的关键．
15、1 【解题分析】
根据积的乘方的性质将m 的分子转化为以3和5为底数的幂的积，然后化简从而得到m=n ，再根据任何非零数的零次幂等于1解答.
【题目详解】
解：∵m=444153=4?444353
=44053， ∴m=n ，
∴2016m-n =20160=1．
故答案为：1
【题目点拨】
本题考查了同底数幂的除法，积的乘方的性质，难点在于转化m 的分母并得到m=n.
16、14
【解题分析】
用列举法或者树状图法解答即可.
【题目详解】
解：如图，
由图可得，甲乙两人选取的诗句恰好相同的概率为41164P =
=. 故答案为：14
. 【题目点拨】
本题考查用树状图法或者列表法求随机事件的概率，熟练掌握两种解答方法是关键.
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）证明略；（2）BC=52，BF=
3
20. 【解题分析】
试题分析：（1）连结AE.有AB 是⊙O 的直径可得∠AEB=90°再有BF 是⊙O 的切线可得BF ⊥AB ，利用同角的余角相等即可证明；
（2）在Rt △ABE 中有三角函数可以求出BE ，又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,
过点C 作CG ⊥AB 于点G .可求出AE,再在Rt △ABE 中，求出sin ∠2，cos ∠2.然后再在Rt △CGB 中求出CG ，最后证出△AGC ∽△ABF 有相似的性质求出BF 即可.
试题解析：
（1）证明：连结AE.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°.
∵BF 是⊙O 的切线，∴BF ⊥AB ， ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1.
∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴∠1=
2
1∠CAB. ∴∠CBF=21∠CAB.
（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G .∵sin ∠CBF=55，∠1=∠CBF ， ∴sin ∠1=5
5. ∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB·sin ∠1=5.
∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=52.
在Rt △ABE 中，由勾股定理得5222=-=BE AB AE .
∴sin ∠2=552，cos ∠2=55. 在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3.
∵GC ∥BF ， ∴△AGC ∽△ABF. ∴
AB
AG BF GC =， ∴320=⋅=AG AB GC BF . 考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.
18、（1），y ＝﹣x+5；（2）0＜x ＜1或x ＞4；（3）P 的坐标为（，0），见解析.
【解题分析】
（1）把A （1，4）代入y ＝，求出m ＝4，把B （4，n ）代入y ＝，求出n ＝1，然后把把A （1，4）、（4，1）代入y ＝kx+b ，即可求出一次函数解析式；
（2）根据图像解答即可；
（3）作B 关于x 轴的对称点B′，连接AB′，交x 轴于P ，此时PA+PB ＝AB′最小，然后用待定系数法求出直线AB′的解析式即可.
【题目详解】
解：（1）把A （1，4）代入y ＝，得：m ＝4，
∴反比例函数的解析式为y ＝；
把B （4，n ）代入y ＝，得：n ＝1，
∴B （4，1），
把A （1，4）、（4，1）代入y ＝kx+b ，
得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；
（2）根据图象得当0＜x＜1或x＞4，一次函数y＝﹣x+5的图象在反比例函数y ＝的下方；
∴当x＞0时，kx+b ＜的解集为0＜x＜1或x＞4；
（3）如图，作B关于x轴的对称点B′，连接AB′，交x轴于P，此时PA+PB＝AB′最小，
∵B（4，1），
∴B′（4，﹣1），
设直线AB′的解析式为y＝px+q，
∴，
解得，
∴直线AB′的解析式为，
令y＝0，得，
解得x ＝，
∴点P 的坐标为（，0）．
【题目点拨】
本题考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，利用图像解不等式，轴对称最短等知识.熟练掌握待定系数法是解（1）的关键，正确识图是解（2）的关键，根据轴对称的性质确定出点P的位置是解答（3）的关键.
19、电视塔OC高为1003米，点P的铅直高度为
) 10031
3
-
（米）．
【解题分析】
过点P作PF⊥OC，垂足为F,在Rt△OAC中利用三角函数求出OC=1003,根据山坡坡度＝1：2表示出PB＝x，AB ＝2x, 在Rt△PCF中利用三角函数即可求解.
【题目详解】
过点P作PF⊥OC，垂足为F．
在Rt△OAC中，由∠OAC＝60°，OA＝100，得OC＝OA•tan∠OAC＝1003（米），
过点P作PB⊥OA，垂足为B．
由i＝1：2，设PB＝x，则AB＝2x．
∴PF＝OB＝100+2x，CF＝1003﹣x．
在Rt△PCF中，由∠CPF＝45°，
∴PF＝CF，即100+2x＝1003﹣x，
∴x＝1003100
3
-
，即PB＝
1003100
3
-
米．
【题目点拨】
本题考查了特殊的直角三角形,三角函数的实际应用,中等难度,作出辅助线构造直角三角形并熟练应用三角函数是解题关键.
20、()1甲、乙两种节能灯分别购进40、60只；()2商场获利1300元．
【解题分析】
（1）利用节能灯数量和所用的价钱建立方程组即可；
（2）每种灯的数量乘以每只灯的利润，最后求出之和即可．
【题目详解】
（1）设商场购进甲种节能灯x只，购进乙种节能灯y只，
根据题意，得
30353300 x100
x y
y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解这个方程组，得
40
60 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
答：甲、乙两种节能灯分别购进40、60只．
（2）商场获利()()4040306050351300(=⨯-+⨯-=元)，
答：商场获利1300元．
【题目点拨】
此题是二元一次方程组的应用，主要考查了列方程组解应用题的步骤和方法，利润问题，解本题的关键是求出两种节能灯的数量．
21、1223,3
x x ==
. 【解题分析】
先进行移项，在利用因式分解法即可求出答案.
【题目详解】 ()()2333x x x -=-，
移项得：()()23330x x x ---=，
整理得：()()3230x x --=，
30x -=或230x -=，
解得：13x =或223
x =
． 【题目点拨】
本题考查了解一元一次方程-因式分解，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键.
22、见解析
【解题分析】
由∠1=∠2，可得∠BED =∠AEC ，根据利用ASA 可判定△BED ≌△AEC ，然后根据全等三角形的性质即可得证.
【题目详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED ，
即∠BED=∠AEC ，
在△BED 和△AEC 中，
，
∴△BED ≌△AEC （ASA ），
∴ED=EC ．
【题目点拨】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
23、(1)见解析；(2)2.
【解题分析】
（1）作AC的垂直平分线与BC相交于P；（2）根据勾股定理求解.
【题目详解】
(1)如图所示，点P即为所求．
(2)设BP＝x，则CP＝1﹣x，
由(1)中作图知AP＝CP＝1﹣x，
在Rt△ABP中，由AB2+BP2＝AP2可得42+x2＝(1﹣x)2，
解得：x＝2，
所以BP＝2．
【题目点拨】
考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线.
24、（1）50；（2）①6；②1
【解题分析】
试题分析：（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
试题解析：解：（1）∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°．∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°．故答案为50；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM=BM，∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC．∵AB=8，△MBC的周长是1，∴BC=1﹣8=6；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，∴P与M重合时，PA+PC=AC，
此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=1．。