高考数学一轮复习方案 滚动基础训练卷(6) 理 (含解析)

45分钟滚动基础训练卷(六)
(考查范围：第25讲～第27讲 分值：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →
＝( )
A.13a ＋23b
B.23a ＋13b
C.35a ＋45b
D.45a ＋35
b 2．若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，a ≠±b ，则a 与b 一定满足( ) A ．a 与b 的夹角等于α－β B ．a ⊥b C ．a ∥b
D ．(a ＋b )⊥(a －b ) 3．设a ，b 是非零向量，若函数f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图像是一条直线，则必有( ) A ．a ⊥b B ．a ∥b
C ．|a|＝|b|
D ．|a|≠|b|
4．已知下列命题：①若k ∈R ，且k b ＝0，则k ＝0或b ＝0；②若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③若不平行的两个非零向量a ，b ，满足|a |＝|b |，则(a ＋b )·(a －b )＝0；④若a 与b 平行，则a·b ＝|a |·|b |.其中真命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．已知向量a ，e 满足：a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则( ) A ．a ⊥e B ．a ⊥(a －e )
C ．e ⊥(a －e )
D ．(a ＋e )⊥(a －e )
6．如图G6－1，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →
的值等于( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．－4
7．[2013·皖南八校联考] 在△ABC 中，若BA →·BC →
＝3，S △ABC ∈32，332
，则角B 的取值
范围是( )
A.π4，π3
B.π6，π4
C.π6，π3
D.π3，π2
8．[2013·黄冈中学月考] 函数y ＝f (x )为定义在R 上的减函数，函数y ＝f (x －1)的图
像关于点(1，0)对称，x ，y 满足不等式f (x 2－2x )＋f (2y －y 2
)≤0，M (1，2)，N (x ，y )，O 为
坐标原点，则当1≤x ≤4时，OM →·ON →
的取值范围为( )
A ．[12，＋∞)
B ．[0，3]
C ．[3，12]
D ．[0，12]
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．
10．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →
)，则实数m ＝________．
11．在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →
＋BC →2
的最小值是________．
三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a －k b |＝3|k a ＋b |，其中k >0. (1)试用k 表示a·b ，并求出a·b 的最大值及此时a 与b 的夹角θ的值；
(2)当a·b 取得最大值时，求实数λ，使|a ＋λb |的值最小，并对这一结果作出几何解释．
13．[2013·郑州模拟] 已知二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，
设向量a sin x ＝(sin x ，2) ，b ＝⎝
⎛⎭⎪⎫2sin x ，12，c ＝(cos2x ，1)，d ＝(1，2)，当x ∈[0，π]时，求不等式f (a ·b )＞f (c ·d )的解集．
14．如图G6－2，平面上定点F 到定直线l 的距离|FM |＝2，P 为该平面上的动点，过P
作直线l 的垂线，垂足为Q ，且(PF →＋PQ →)·(PF →－PQ →
)＝0.
(1)试建立适当的平面直角坐标系，求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点N ，已知NA →＝λ1AF →，NB →＝λ2BF →
，求证：λ1＋λ2为定值．
45分钟滚动基础训练卷(六)
1．B [解析] 由角平分线的性质得|AD →|＝2|DB →|，即有AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →
)＝23
(a －b )．
从而CD →＝CA →＋AD →
＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13
b .故选B.
2．D [解析] ∵a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)， a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，
∴(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－cos 2β＋sin 2α－sin 2
β＝1－1＝0， 可知(a ＋b )⊥(a －b )．
3．A [解析] f (x )＝(x a ＋b )·(a －x b )的图像是一条直线，
而(x a ＋b )·(a －x b )＝x |a |2－x 2a ·b ＋a·b －x |b |2
， 故a·b ＝0，又∵a ，b 为非零向量，∴a⊥b ，故应选A.
4．C [解析] ①是对的；②也可能a⊥b ；③(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2
＝0； ④平行时分两向量的夹角为0°和180°两种，a·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |.
5．C [解析] 由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2
对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，
∴t 2
－2a·e ·t ＋2a·e －1≥0对t ∈R 恒成立，
即Δ＝4(a·e )2
－8a·e ＋4≤0恒成立．
∴(a·e －1)2
≤0恒成立，
而(a·e －1)2
≥0，∴a·e －1＝0.
即a·e ＝1＝e 2
，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．
6．B [解析] BD ＝AB cos30°＝23，所以BD →
＝32BC →.
故AD →＝BD →－BA →
＝32
BC →－BA →.又AC →＝BC →－BA →.
所以AD →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32BC →－BA →·(BC →－BA →)＝32BC →2－⎝
⎛⎭⎪⎫1＋32BA →·BC →＋BA →2，BC →2＝BA →2＝16，BC →·BA
→
＝4×4×cos30°＝83，
代入上式得AD →·AC →
＝83－⎝
⎛⎭⎪⎫1＋32×83＋16＝4.
7．C [解析] BA →，BC →的夹角为B ，BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ＝3，∴|BA →||BC →
|＝3cos B
.又S
△ABC
＝12|BA →||BC →|sin B ＝12×3cos B ×sin B ＝32tan B ∈32，332，∴33
≤tan B ≤3， ∴B ∈π6，π3.
8．D
[解析] 函数y ＝f (x －1)的图像关于点(1，0)对称，所以f (x )为奇函数，
∴f (x 2－2x )≤f (y 2－2y )，又y ＝f (x )为减函数，∴x 2－2x ≥y 2
－2y ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥y 2－2y ，1≤x ≤4， 即⎩
⎪⎨⎪⎧（x －y ）（x ＋y －2）≥0，1≤x ≤4，画出可行域，可得x ＋2y ∈[0，12]，即OM →·ON →＝x ＋2y ∈[0，12]．
9．北偏西30° [解析] 如图，渡船速度为OB →，水流速度为OA →
，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知，|OA →|＝12.5，|OB →|＝25，由于四边形OADB 为平行四边形，则|BD →|＝|OA →|，又OD ⊥BD ，
∴在Rt △OBD 中，∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.
10．1 [解析] 取BC 的中点D ，则OB ＋OC ＝2OD ，且OD ⊥BC ，AH ⊥BC . 由OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →
)，
可得OA →＋AH →＝m (OA →＋2OD →
)， ∴AH →＝(m －1)OA →＋2mOD →. AH →·BC →＝(m －1)·OA →·BC →＋2m ·OD →·BC →，
即0＝(m －1)·OA →·BC →
＋0，故m ＝1.
11．2 3 [解析] 方法一：问题可转化为已知△PBC 的面积为1，求PC →·PB →＋BC →2
的最小值．
设△PBC 中，有P ，B ，C 所对的边分别为p ，b ，c ， 由题设知bc sin P ＝2， ∴PC →·PB →＋BC →2＝bc cos P ＋(b 2＋c 2－2bc cos P )＝b 2＋c 2
－bc cos P ≥2bc －bc cos P ＝2（2－cos P ）
sin P
，
从而进一步转化为求2－cos P
sin P
的最小值．(可数形结合，可引入辅助角化为一个三角函数
的形式，也可用万能公式转化后换元等，下略)
方法二：建立坐标系，立即得目标函数．
由题设知，△PBC 的面积为1，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴，过点B 与直线BC 垂直
的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设C (a ，0)，P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t ，2a (a >0)，
则PB →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－t ，－2a ，PC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －t ，－2a ，
∴PC →·PB →＋BC →2＝－t (a －t )＋4a 2＋a 2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋4a 2＋3a 24
≥0＋23，
当且仅当t ＝a
2，a ＝4163
时取等号，∴PC →·PB →＋BC →2
的最小值是2 3.
12．解：(1)|a －k b |＝3|k a ＋b |⇒(a －k b )2＝3(k a ＋b )2
⇒a ·b ＝－1＋k 2
4k
(k >0)．
∴a ·b ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ≤－1
2
，
∴a ·b 的最大值为－12，此时cos θ＝－12，θ＝2π
3
.
故a 与b 的夹角θ的值为2π
3.
(2)由题意，(a·b )max ＝－1
2
，
故|a ＋λb |2＝λ2
－λ＋1＝⎝
⎛⎭⎪⎫λ－122＋34，
∴当λ＝12时，|a ＋λb |的值最小，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ·b ＝0，这表明当⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋12b ⊥b 时，|a ＋λb |的值最小．
13．解：设f (x )的二次项系数为m ，由条件二次函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )成立得f (x )的图像关于直线x ＝1对称，若m ＞0，则当x ≥1时，f (x )是增函数 ；
若m ＜0，则当x ≥1时，f (x )是减函数．
∵a ·b ＝(sin x ，2)·⎝
⎛⎭⎪⎫2sin x ， 12＝2sin 2
x ＋1≥1，
c ·
d ＝(cos2x ，1)·(1，2)＝cos2x ＋2≥1，
∴当m ＞0时，f (a ·b )＞f (c ·d )⇔f (2sin 2
x ＋1)＞f (cos2x ＋2)
⇔ 2sin 2
x ＋1＞cos2x ＋2⇔1－cos2x ＋1＞cos2x ＋2
⇔cos2x ＜0⇔2k π＋π2＜2x ＜2k π＋3π
2
，k ∈Z ，
⇔k π＋π4＜x ＜k π＋3π
4
， k ∈Z ，
∵0≤x ≤π，∴π4＜x ＜3π
4
，
当m ＜0时，同理可得不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ＜
π4或3π
4＜x ≤π 综上所述，不等式f (a ·b )＞f (c ·d )的解集是：
当m ＞0时，为⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪⎪π4
＜x ＜3π4 ；
当m <0时，为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ＜
π4或3π
4＜x ≤π. 14.
解：(1)方法一：如图，以线段FM FM 所在的直线为y 轴建立直
角坐标系xOy ，则F (0，1)．
设动点P 的坐标为(x ，y )，则动点Q 的坐标为(x ，－1)， PF →＝(－x ，1－y )，PQ →
＝(0，－1－y )， 由(PF →＋PQ →)·(PF →－PQ →)＝0，得x 2
＝4y .
方法二：由(PF →＋PQ →)·(PF →－PQ →)＝0，得|PQ →|＝|PF →
|.
所以，动点P 的轨迹C 是抛物线，以线段FM 的中点为原点O ，以线段FM 所在的直线为y
轴建立直角坐标系xOy ，可得轨迹C 的方程为x 2
＝4y .
(2)证明：方法一：如图，设直线的方程为＝＋1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2k ，－1.
联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧x 2
＝4y ，y ＝kx ＋1，消去y 得，
x 2－4kx －4＝0，Δ＝(－4k )2＋16>0，
故⎩
⎪⎨
⎪⎧x 1＋x 2＝4k ，
x 1x 2＝－4.
由NA →＝λ1AF →，NB →＝λ2BF →
得，
x 1＋2k ＝－λ1x 1，x 2＋2
k
＝－λ2x 2，
整理得，λ1＝－1－
2
kx 1
，λ2＝－1－
2
kx 2
，
λ1＋λ2＝－2－2k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1
x 1＋1x 2
＝－2－2k ·x 1＋x 2x 1x 2＝－2＋2k ·4k
4
＝0.
方法二：由已知NA →＝λ1AF →，NB →＝λ2BF →
，得λ1·λ2<0.
于是，|NA →||NB →|＝－λ1|AF →|λ2|BF →|
，①
如图，过A ，B 两点分别作准线l 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，
则有|NA →||NB →|＝|AA 1→||BB 1→|＝|AF →||BF →|，②
由①、②得λ1＋λ2＝0.。