集合与函数,三角,不等式,向量练习20160422

集合与函数，三角，不等式，向量练习20160422
一、单选题（共10题）
1. 已知函数，若，则等于（）A．B．C．D．
2. 函数的定义域为[-1,1]，且存在零点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
3. 方程的实根个数是（）
A．3B．2C．1D．0
4. 函数的最小正周期是( )
A．B．2C．4D．
5. 设集合，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．
6. 已知函数且，则实数的值为（）A．B．C．或D．或或
7. 函数的单调递增区间（）
A．B．C．D．
8. 设常数，集合，若
，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
9. 设集合，若集合
只有一个子集，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
10. 若函数，则该函数在上是( )
A．单调递减；无最小值B．单调递减；有最小值
C．单调递增；无最大值D．单调递增；有最大值
二、填空题（共10题）
11. 已知集合集合且
则__________，__________
12. 已知sin＝，那么cosα＝________．
13. 计算:________________．
14. 计算
15. 函数y= -8cosx的单调递减区间为
16. 函数的定义域为
17. 若任意a∈A，则∈A，就称A是“对偶”集合，则在集合M＝{－1，0，，
，1，2，3，4}的所有非空子集中，“对偶”集合的个数为．
18. 在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，
，，则
19. 已知为奇函数，当时，，则______．
20. 设a为非零实数，偶函数(xÎR)在区间(2,3)上存在唯一
零点，则实数a的取值范围是
三、解答题（共10题）
21. 已知，其中向量, (R). （1）求的最小正周期和最小值；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为、、，若，a=2，
，求边长的?
22. 已知函数在轴
右侧的第一个最高点的横坐标为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点横坐标
伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的最大值及单调递减区间．
23. 已知函数。

（1）求出使成立的的取值范围；
（2）在（1）的范围内求的最小?
24. 设函数，其中，且a≠0.
（Ⅰ）当a=2时，求函数在区间[1，e]上的最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间
25. 已知；求的?
26. 已知全集为,集合，集合.
求：（Ⅰ）；（Ⅱ）．
27. 已知函数是幂函数且在上为减函数，函数
在区间上的最大值为2，试求实数的?
28. 已知偶函数在上是减函数，求不等式的解集
29. 已知集合
（1）当时，求；
（2）若，求的取值范围．
30. 已知函数，.
（1）用定义证明：不论为何实数在上为增函数；（2）若为奇函数，求的值；
（3）在（2）的条件下，求在区间[1，5]上的最小?
答案与解析:
1. 答案：A
解析：试题分析：即，
=，
所以，=，关系A。

考点：主要考查对数函数的性质，函数的奇偶性。

点评：典型题，通过考查的奇偶性，得到与
的关系
2. 答案：A
解析：试题分析：由题意在[-1,1]上有根且恒成立，又
且在[-1,1]恒有意义，所以
考点：函数的零点对应函数的单调性与特殊点
点评：若函数有零点，则对应方程有根，如果函数的解析式含有参数，则可以转化成对应方程的形式，将方程改写为参数的函数，然后利用求函数值域的方法，进行求解
3. 答案：C
解析：试题分析：直接解此方程有一定的困难，要转化成图解法，由x3-6x2+9x-10=0得，x3=6x2-9x+10，分别作出函数y=x3和y=6x2-9x+10，的图象，
观察两个函数的图象的交点情况即可. 解；由由x3-6x2+9x-10=0得，x3=6x2-9x+10，画图，由图得一个交点．故选C
考点：零点问题
点评：数形结合是解决零点问题的有力工具，要善于将原问题转化成两个函数图象的交点问题是解决此问题的关键．数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质
4. 答案：B
解析：试题分析：函数的最小正周期是，故选B。

考点：本题主要考查正切函数的周期。

点评：简单题，形如的最小正周期为
5. 答案：C
6. 答案：C
解析：试题分析：当时，有，∴；当时，有
，∴。

综上实数的值为或，故选C
考点：本题考查了方程的求法
点评：解决分段函数求值问题时，要注意自变量的取值范围，属基础题
7. 答案：D
解析：试题分析：用导数求函数的单调区间，先求函数的导数，再令其大于0，解出不等式的解集，即得其单调区间. 解：f′（x）=e x-e，令f′（x）＞0得x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．故选D
考点：函数的单调性及单调区间
点评：本题考点是函数的单调性及单调区间，本题求单调区间用的是导数法，其步骤是先求出导数，令导数大于为，求单调增区间
8. 答案：B
9. 答案：B
解析：试题分析：集合P 是一条直线，集合Q是一条曲线，因为集合只有一个子集，所以,
又，故.选B.
考点：交集及运算
点评：本题考查交集及其运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意数形结合思想的合理运用,属基础题．
10. 答案：A
11. 答案：
12. 答案：
13. 答案：1
14. 答案：2
15. 答案：
解析：试题分析：的单调性与的单调性相反，所以
,写成区间形式，
.
考点：三角函数的单调区间
16. 答案：
解析：试题分析：根据题意，使得函数有意义时，则满足
,故可知答案为。

考点：函数的定义域
点评：主要是考查了函数的定义域的求解，属于基础题
17. 答案：15
解析：试题分析：∵由和3，和2，-1，1组成集合，和3，和2都以整体出现，∴有24个集合∵集合为非空集合，∴有24-1个。

故答案为：15。

考点：本题考查元素与集合关系的判断。

点评：本题关键看清楚-1和1本身也具备这种运算，这样由-1，1，3和，2和四“大”元素组成集合
18. 答案：
19. 答案：
解析：试题分析：解：当x＜0时，-x＞0，∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）∴f（x）=-f（-x）=-，那么可知-2，故填写答案为-2.
考点：函数奇偶性的性质
点评:本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据奇函数的定义f（-x）=-f （x），求出当x＜0时的解析式，是解答本题的关键．
20. 答案：
解析：试题分析：由函数为偶函数可得，即，
在区间上存在唯一零点，由零点存在定理可得，从而
，解得．
考点：偶函数的定义，函数的零点．
21. 答案：(1) f(x)的最小正周期为π，最小值为-2.(2) c=2或c=6。

解析：试题分析：(1) f(x)=a·b-1=(sin2x,2cosx)·(,cosx)-1
＝sin2 x +2cos2 x -1=sin2x+cos2x=2sin（2x＋） 4分
∴f(x)的最小正周期为π，最小值为-2. 6分
(2) f()=2sin（＋）=
∴sin（＋）＝8分
∴＋＝∴A＝或（舍去）10分
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA
52＝64＋c2-8c即c2-8c+12="0"
从而c=2或c=6 12分
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，三角函数和差倍半公式，三角函数性质，余弦定理的应用。

点评：典型题，为研究三角函数的图象和性质，往往需要利用三角函数和差倍半公式将函数“化一”。

本题由平面向量的坐标运算得到f(x)的表达式，通过“化一”，利用三角函数性质，求得周期、最小值。

（2）则利用余弦定理，得到c的方程，达到解题目的
22. 答案：（Ⅰ）（Ⅱ），
23. 答案：(1) ；(2)0.
解析：试题分析：解：①
……………………4分
………………………7分
②
………………………………9分
设
在上是增函数……………………13分
当时，
从而………………15分
考点：本题考查对数的性质；函数的单调性；函数的最值。

点评：在判断函数的单调性时，一定要先求函数的定义域，不然容易出错。

其单调区间一定是定义域的子集
24. 答案：（Ⅰ）－1（Ⅱ）当a＜0时，函数区间（0，+∞）上单调递减，当a＞0时，函数在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减
解析：试题分析：（Ⅰ）由题意。

1分
令。

2分
当x 变化时，的变化情况如表：
即函数在（1，2）上单调递增，在（2，e）上单调递减。

4分
因为，
所以当x=1时，在区间[1，e]上有最小值－1。

5分
（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞）。

6分
求导，得。

7分
当a＜0时，
由x＞0，得。

所以在区间（0，+∞）上单调递减；9分
当a＞0时，
令＝0，得x=a。

10分
当x 变化时，
与的变化情况如下表：
25. 答案：
解析：试题分析：由诱导公式可将
可化为
， 再将所以求式子用诱导公式进行化简可得 ， 将
代入可化为
.
试题解析：解：
，
， 且. 6分
∴原式=
. 14分
考点：诱导公式 26. 答案：（Ⅰ）
；（Ⅱ）
=
.
解析：试题分析：（Ⅰ）解一元二次不等式得到集合
和解绝对值不等式得到 ， 然后对集合和进行并集运算；
（Ⅱ）先计算再将它和
进行交集计算.
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）
=
考点：1、解一元二次不等式和绝对值不等式；2、集合的基本运算
27. 答案：
解析：试题分析：解：因为函数是幂函数且在上为减函数，所以有
，解得，
——————————5’
①当是的单调递减区间，
————————7’
②当，
解得——————————9’
③
，解得————————11’
综合①②③可知————————12’
考点：幂函数与二次函数
点评：解决的关键是对于常见的基本初等函数性质的熟练运用，属于基础题
28. 答案：
29. 答案：（1）（2）或
解析：试题分析：
（1）由得，，
则
（2）由得，
或
解得或
考点：集合的交并补运算及包含关系
点评：集合的并集即两集合中所有元素构成的集合，补集即全集中除去该集合中的元素剩余的元素构成的集合。

集合运算常借助于数轴求解
30. 答案：（1）见解析；（2）；（3）.
解析：试题分析：(1) 的定义域为R, 任取,------------1分
则=. -----------3分
,∴.
∴，即.
所以不论为何实数总为增函数.————————5分
(2) 在上为奇函数,
∴, ------------7分
即.解得. —————————————10分
(3)由(2)知，,
由(1) 知，为增函数,
∴在区间上的最小值为. ------------13分
∵，
∴在区间上的最小值为.———————————————15分
考点：本题考查用定义法证明函数的单调性；函数的奇偶性；函数的最值。

点评：（1）用的定义法证明函数单调性的步骤：一设二作差三变形四判断符号五得出结论。

（2）灵活应用奇函数的性质：若x=0在函数的定义域内，则f（0）=0。

属于基础试题。